Lov om komposisjon

I matematikk , og mer presist i generell algebra , gitt to sett E og F , en sammensetning lov (eller simpelthen lov ) på E er enten et kart av F x E i E , eller et kart over E x F i e . Med andre ord er det en binær operasjon som settet E er stabilt for .

Det er to typer lov om sammensetning:

hvis F = E, snakker vi om intern komposisjonslov ;
hvis F ≠ E, snakker vi om en ekstern komposisjonslov .

I praksis bruker mange forfattere "lov om komposisjon" som et synonym for "lov om intern komposisjon" (f.eks. Bourbaki og Lang).

De interne og eksterne lovene for sammensetning tjener til å definere algebraiske strukturer , som opptar et privilegert sted i generell algebra .

Detaljert definisjon

En komposisjonslov * : E × F → G , med G = E eller G = F , er et kart fra E × F til G som assosieres med hvert par ( x , y ) av E × F , et element av G betegnet vanligvis " x * y " (i stedet for den funksjonelle betegnelsen "* ( x , y )") og kalles en forbindelse av x og y , eller produktet av x og y .

x og y er noen ganger kvalifisert som operander , fordi en lov ikke er noe annet enn en binær funksjon , derfor et bestemt tilfelle av operasjon (dvs. n-ar funksjon).

G må være lik E eller F . Mer presist :

hvis E = F = G , blir loven *: E × E → E kalt loven for intern sammensetning i E ;
hvis E ≠ F og G = F , blir loven *: E × F → F kalt loven om ekstern sammensetning til venstre på F eller lov om ekstern sammensetning , og E er da operatørens domene ;
hvis E ≠ F og G = E , Law *: E × F → E kalles loven om ekstern komposisjons riktig på E domene F .

Interne komposisjonslover

sammendrag

Lover intern sammensetning (noen ganger kalt "interne lover") er anvendelser av E x E → E . De brukes til å definere de algebraiske strukturene som studeres i generell algebra : grupper , ringer , felt osv.

En intern lov om sammensetning kan ha forskjellige egenskaper: kommutativitet , assosiativitet osv.

Eksempler på interne kommutative komposisjonslover

i tillegg i , , , eller $\ mathbb {N}$ $\ mathbb {Z}$ $\ mathbb {Q}$ $\ mathbb {R}$ $\ mathbb {C}$
den multiplikasjon i , , , eller . $\ mathbb {N}$ $\ mathbb {Z}$ $\ mathbb {Q}$ $\ mathbb {R}$ $\ mathbb {C}$
hvilken som helst lov i en abelsk gruppe
hvilken som helst additivlov for en ring
hvilken som helst additivlov i et felt
hvilken som helst additivlov i et vektorrom
hvilken som helst multiplikasjonslov for en kommutativ ring
hvilken som helst multiplikasjonslov i et kommutativt felt

Andre eksempler på interne komposisjonslover

den subtraksjon i , , eller $\ mathbb {Z}$ $\ mathbb {Q}$ $\ mathbb {R}$ $\ mathbb {C}$
den divisjon i , eller ${\ displaystyle \ mathbb {Q} ^ {*}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {*}}$ ${\ mathbb {C}} ^ {*}$
den matrisemultiplikasjonen
de funksjoner sammensetning
hvilken som helst lov i en gruppe
hvilken som helst mangfoldig lov av en ring
hvilken som helst multiplikativ lov til et legeme

Eksterne komposisjonslover

sammendrag

Lover ekstern komposisjons (noen ganger kalt "ytre lover") er programmer F × E → E . De tjener også til å definere algebraiske strukturer studert i generell algebra .

Men i motsetning til en intern komposisjonslov involverer en ekstern komposisjonslov elementer fra utsiden, kalt operatører eller skalarer . En ekstern sammensetning lov kan derfor ses på som en operasjon av F på E . Vi sier da at " F opererer på E ".

Eksempler på eksterne komposisjonslover

Det hele potenser av reelle tall er en lov i . ${\ displaystyle \ mathbb {R} \ times \ mathbb {N}}$ $\ mathbb {R}$
For K - vektorrommet E , den multiplikasjon av en vektor med en skalar er en lov av K x E i E .

Notasjoner

Det er flere notasjoner for lovene om sammensetning:

den vanligste er infiks- notasjonen ; det krever bruk av parenteser for å spesifisere rekkefølgen for utførelse av operasjoner, hvis det er flere:

{\ displaystyle x * y}

lovens symbol er noen ganger utelatt, multiplikasjonen er for eksempel ofte bemerket ved enkel sidestilling:

{\ displaystyle xy}

prefikset , eller polsk , notasjon trenger ikke parenteser:

{\ displaystyle * xy}

, noen ganger

{\ displaystyle * x, y}

den suffiks notasjon , eller omvendt polsk , dispenserer også med parenteser:

{\ displaystyle xy *}

, noen ganger

{\ displaystyle x, y *}

Se også

Merknader

jfr. Bourbaki s. A I.1
jfr. Lang s. 3.

Referanser

N. Bourbaki , Elements of mathematics , vol. II: Algebra, kapittel 1 til 3 , Berlin, Springer,1970( Repr. 2007), to th ed. ( ISBN 978-3-540-33849-9 , online presentasjon ).
(en) Serge Lang , Algebra , New York / Berlin / Heidelberg etc., Springer, koll. "Undergraduate Texts in Mathematics",2002( Repr. 2010), 3 e ed. , 914 s. ( ISBN 0-387-95385-X , leses online ).