Kva-triangulær Hopf-algebra

I matematikk sies en Hopf-algebra å være kvasi-trekantet hvis det er et inverterbart element som tilfredsstiller: $H$ ${\ displaystyle R \ in H \ otimes H}$

${\ displaystyle \ forall x \ i H, \ \ Delta ^ {op} (x) = R \ Delta (x) R ^ {- 1}}$
${\ displaystyle (1 \ otimes \ Delta) (R) = R_ {13} R_ {12}}$
${\ displaystyle (\ Delta \ otimes 1) (R) = R_ {13} R_ {23}}$

eller:

$\ Delta$ er samprodukt av $H$
Hvis , da ${\ displaystyle \ Delta (x) = \ sum x_ {i} ^ {(1)} \ otimes x_ {i} ^ {(2)}}$ ${\ displaystyle \ Delta ^ {op} (x) = \ sum x_ {i} ^ {(2)} \ otimes x_ {i} ^ {(1)}}$
Hvis , da R=∑påJeg⊗bJeg{\ displaystyle R = \ sum a_ {i} \ ganger b_ {i}} ${\ displaystyle R = \ sum a_ {i} \ ganger b_ {i}}$
- ${\ displaystyle R_ {12} = \ sum a_ {i} \ otimes b_ {i} \ otimes 1}$
- ${\ displaystyle R_ {13} = \ sum a_ {i} \ ganger 1 \ ganger b_ {i}}$
- ${\ displaystyle R_ {23} = \ sum 1 \ ganger a_ {i} \ otimes b_ {i}}$

applikasjoner

Statistisk mekanikk

Fra de tidligere relasjonene, viser vi at det gir en løsning på Yang-Baxter (in) kvanteligningen: $R$

{\ displaystyle R_ {12} R_ {13} R_ {23} = R_ {23} R_ {13} R_ {12}}

Dataene fra en kvasitriangulær Hopf-algebra gjør det mulig å konstruere representasjoner av flettegruppen . Mer presist er kategorien representasjoner av en kvasi-trekantet Hopf-algebra en flettet monoid kategori .

Se også

Hopf-algebra
kvasi-Hopf-algebra
Løg algebra
kohomologi av løgnegrupper

Referanser

(en) Christian Kassel , Quantum Groups , Springer , koll. " GTM " ( nr . 155)1995