Løg algebra

I matematikk er en Lie-algebra , oppkalt til ære for matematikeren Sophus Lie , et vektorrom som er utstyrt med en Lie-brakett , dvs. en bilinær , antisymmetrisk og intern komposisjonslov. Som verifiserer Jacobis forhold . En Lie-algebra er et spesielt tilfelle av algebra over et felt .

Definisjoner, eksempler og første egenskaper

Definisjon

La K være et kommutativt felt .

En Ligg algebra på K er en vektor plass på K utstyrt med en bilineær kart over i som tilfredsstiller de følgende egenskaper: g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}} (x,y)↦[x,y]{\ displaystyle (x, y) \ mapsto [x, y]}g×g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}} \ times {\ mathfrak {g}}}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}

1. ∀x∈g, [x,x]=0{\ displaystyle \ forall x \ i {\ mathfrak {g}}, \ [x, x] = 0} ;
2. ∀x,y,z∈g, [x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0.{\ displaystyle \ forall x, y, z \ i {\ mathfrak {g}}, \ [x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0.}

Produktet kalles Lie kroken (eller rett og slett kroken) av og . Siden braketten er en alternerende bilinær funksjon av , har vi også identiteten for alle i . Identiteten (2) ovenfor kalles Jacobi-identiteten . [x,y]{\ displaystyle [x, y]}x{\ displaystyle x}y{\ displaystyle y}x,y{\ displaystyle x, y}[x,y]=-[y,x]{\ displaystyle [x, y] = - [y, x]}x,y{\ displaystyle x, y}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}

En Lie-subalgebra av er et vektorunderområde av stabilt for Lie-braketten. Enhver Lie-subalgebra av er åpenbart utstyrt med en struktur av Lie-algebra over K.g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}

Merk  : i motsetning til algebraer i tensor (og Clifford-algebraer , inkludert utvendige algebraer ) er Lie-algebraer verken enhetlige eller assosierende .

Noen klassiske eksempler på Lie algebras

• Enhver vektorrommet kan være forsynt med et Lie algebra struktur av innstillingen, . En slik Lie-algebra, der Lie-braketten er identisk null, kalles abelian.E{\ displaystyle E}∀x,y∈E, [x,y]=0{\ displaystyle \ forall x, y \ i E, \ [x, y] = 0}
• Fra en assosiativ algebra over et felt kan vi konstruere en Lie-algebra som følger: vi setter (det er kommutatoren for de to elementene x og y ). Det er lett å verifisere at vi på denne måten definerer en struktur av Lie algebra. (PÅ,∗){\ displaystyle (A, *)}∀x,y∈PÅ, [x,y]=x∗y-y∗x{\ displaystyle \ forall x, y \ i A, \ [x, y] = x * åå * x}PÅ{\ displaystyle A}Omvendt er enhver Lie-algebra inneholdt i en assosiativ algebra, kalt omsluttende algebra , der Lie-kroken sammenfaller med kroken som er definert ovenfor. Hvis det ikke er null, er den omsluttende algebraen mye større enn seg selv.g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}
• Som et konkret eksempel på den ovennevnte situasjon, vurdere den plass av matriser med koeffisienter i K. er det en assosiativ algebra for vanlig matriseproduktet. Vi kan derfor også gi den en struktur av Lie algebra, med braketten . Vi betegner denne algebraen når vi vurderer dens Lie-algebrastruktur.Mikke(K){\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {n} (K)} ikke×ikke{\ displaystyle n \ times n}[PÅ,B]=PÅB-BPÅ{\ displaystyle [A, B] = AB-BA}glikke(K){\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} _ {n} (K)}
• Åpenbart er ethvert vektorunderområde av stabilt ved braketten en Lie-algebra. Dermed kan vi kontrollere at settet med null spor matriser er en Lie algebra, som vi betegner . glikke(K){\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} _ {n} (K)}slikke(K){\ displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {n} (K)}Faktisk Ado teorem viser at noen endelig dimensjonalt Lie algebra kan sees som en subalgebra av .glikke(K){\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} _ {n} (K)}
• Et annet grunnleggende, mer geometrisk eksempel er følgende. La være et differensialmanifold . Deretter vektorrommet som dannes av vektorfelt på har en naturlig Lie algebra struktur, uten å være en algebra .M{\ displaystyle M}M{\ displaystyle M}
• Spesielt settet med drepefelt i en Riemannian eller pseudo-Riemannian manifold danner en Lie algebra, som tilsvarer gruppen av isometrier til den ansettte manifolden.
• Det tredimensjonale euklidiske rommet ℝ 3 med kryssproduktet som Lie-braketten er en Lie-algebra.

Morfismer og idealer

En morfisme av Lie-algebraer er et lineært kart som respekterer Lie-braketten, dvs. slik at g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}} ϕ{\ displaystyle \ phi}

∀på,b∈g, ϕ([på,b])=[ϕ(på),ϕ(b)]{\ displaystyle \ forall a, b \ i {\ mathfrak {g}}, \ \ phi ([a, b]) = [\ phi (a), \ phi (b)]}.

Et ideal for er et vektorunderrom slik at . Det er spesielt en Lie-subalgebra. Hvis en Lie-algebra ikke innrømmer et ikke-trivielt ideal, sies det å være enkelt. g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}h{\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}∀g∈g, ∀h∈h, [g,h]∈h{\ displaystyle \ forall g \ i {\ mathfrak {g}}, \ \ forall h \ i {\ mathfrak {h}}, \ [g, h] \ i {\ mathfrak {h}}}

Hvis er et ideal for , kan vi danne kvotienten av by  : det er kvotientvektorrommet , forsynt med braketten definert av . Projeksjonen er da en morfisme av Lie-algebraer. h{\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}h{\ displaystyle {\ mathfrak {h}}} g/h{\ displaystyle {\ mathfrak {g}} / {\ mathfrak {h}}}[g+h,g′+h]=[g,g′]+h{\ displaystyle [g + {\ mathfrak {h}}, g '+ {\ mathfrak {h}}] = [g, g'] + {\ mathfrak {h}}}g→g/h{\ displaystyle {\ mathfrak {g}} \ til {\ mathfrak {g}} / {\ mathfrak {h}}}

En representasjon av en Lie-algebra er en morfisme . Det er med andre ord et lineært kart som . g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}ϕ:g→glikke(K){\ displaystyle \ phi \ ,: \, {\ mathfrak {g}} \ til {\ mathfrak {gl}} _ {n} (K)}ϕ([g,h])=ϕ(g)ϕ(h)-ϕ(h)ϕ(g){\ displaystyle \ phi ([g, h]) = \ phi (g) \ phi (h) - \ phi (h) \ phi (g)}

Morfismen definert av definerer en representasjon av , kalt en anneksrepresentasjon (in) . Jacobis identitet uttrykker nettopp det faktum at annonse respekterer kroken. Kjernen i denne representasjonen er sentrum for Lie algebra . annonse:g→gl(g){\ displaystyle {\ text {ad}}: {\ mathfrak {g}} \ til {\ mathfrak {gl (g)}}}annonse(g)(h)=[g,h]{\ displaystyle {\ text {ad}} (g) (h) = [g, h]}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}} Z(g)={g∈g,∀h∈g,[g,h]=0}{\ displaystyle Z ({\ mathfrak {g}}) = \ {g \ i {\ mathfrak {g}}, \ forall h \ i {\ mathfrak {g}}, [g, h] = 0 \}}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}

Forhold til løgnegrupper og algebraiske grupper

Lie algebras er naturlig forbundet med Lie grupper . Hvis er en Lie-gruppe og e dens nøytrale element , så er det tangente rommet ved e to en Lie-algebra; den nøyaktige konstruksjonen av denne algebraen er beskrevet i den tilsvarende delen av artikkelen Lie Group . Den samme konstruksjonen gjelder for algebraiske grupper . Vi betegner generelt med små gotiske bokstaver Lie-algebra knyttet til en Lie-gruppe, eller en algebraisk gruppe. Således, som vi allerede har sett, betegner settet med firkantede matriser av størrelse n og betegner settet med firkantede matriser av størrelse n med null spor. På samme måte betegner du settet med firkantede matriser A av størrelse n antisymmetrisk, etc. I alle disse eksemplene, er Lie braketten ingenting annet enn bryteren: . G{\ displaystyle G}G{\ displaystyle G}glikke{\ displaystyle {\ mathfrak {gl_ {n}}}}slikke{\ displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {n}}soikke{\ displaystyle {\ mathfrak {so_ {n}}}}[PÅ,B]=PÅB-BPÅ{\ displaystyle [A, B] = AB-BA}

Dersom er en gruppe morphism mellom to Lie grupper og , og hvis vi antar differensierbar, da dens differensial i identitet vil være en morphism mellom Lie algebraer og av og . Spesielt til en representasjon av differensierbar knytter vi en representasjon av . ϕ{\ displaystyle \ phi}G{\ displaystyle G}H{\ displaystyle H}ϕ{\ displaystyle \ phi}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}h{\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}G{\ displaystyle G}H{\ displaystyle H}G{\ displaystyle G}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}

Klassifiseringen av Lie-algebraer er avgjørende for studiet av Lie-grupper, algebraiske grupper og deres representasjoner.

Klassifisering

Hvis og er to Lie-subalgebras av en Lie-algebra , la oss betegne vektors underrom generert av elementene i skjemaet for og . på{\ displaystyle {\ mathfrak {a}}}b{\ displaystyle {\ mathfrak {b}}}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}[på,b]{\ displaystyle [{\ mathfrak {a}}, {\ mathfrak {b}}]}[på,b]{\ displaystyle [a, b]}på∈på{\ displaystyle a \ in {\ mathfrak {a}}}b∈b{\ displaystyle b \ in {\ mathfrak {b}}}

Nilpotentes Lie algebras

En Lie-algebra sies å være nilpotent når en hvilken som helst sekvens av kommutatorer ender med å være null, når n blir tilstrekkelig stor. [[g1,g2],g3],...,gikke]{\ displaystyle [[g_ {1}, g_ {2}], g_ {3}], \ prikker, g_ {n}]}

Mer presist, la oss definere av og . VSJeg{\ displaystyle C_ {i}}VS0=g{\ displaystyle C_ {0} = {\ mathfrak {g}}}VSJeg+1=[VSJeg,g]{\ displaystyle C_ {i + 1} = [C_ {i}, {\ mathfrak {g}}]}

Hvis det eksisterer en i slik at = 0, sier vi at det er nilpotente. Denne oppfatningen skal sammenlignes med den for den nilpotente gruppen . Enhver abelisk Lie-algebra er nilpotent. VSJeg{\ displaystyle C_ {i}}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}

Algebra av strenge trekantede matriser, det vil si form, gir et eksempel på nilpotente Lie-algebra. ikke{\ displaystyle {\ mathfrak {n}}}(0⋆⋯⋆⋮⋱⋆⋮⋮0⋱⋆0⋯⋯0){\ displaystyle \ left ({\ begin {matrix} 0 & \ star & \ cdots & \ star \\\ vdots & \ ddots & \ star & \ vdots \\\ vdots & 0 & \ ddots & \ star \\ 0 & \ cdots & \ cdots & 0 \\\ slutt {matrise}} \ høyre)}

Den Engel teorem angir at en Lie algebra er nilpotent hvis og bare hvis bildet av den adjungerte representasjonen er kombinert med en sub-algebra . ikke{\ displaystyle {\ mathfrak {n}}}

Imidlertid viser eksemplet med abelian Lie algebra (derav nilpotente) at det eksisterer nilpotente subalgebras som ikke er konjugert til en subalgebra av . gl1(K){\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} _ {1} (K)}glikke(K){\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} _ {n} (K)}ikke{\ displaystyle {\ mathfrak {n}}}

Løsbare Lie algebras

Definere ved induksjon av ogDJeg{\ displaystyle D_ {i}}D0=g{\ displaystyle D_ {0} = {\ mathfrak {g}}}DJeg+1=[DJeg,DJeg]{\ displaystyle D_ {i + 1} = [D_ {i}, D_ {i}]}

Hvis det eksisterer et i slik at = 0, sier vi at det er løselig. Som i tilfellet med nilpotente algebraer, tilsvarer denne oppfatningen den for en løsbar gruppe . Det er lett å se at enhver nilpotent Lie-algebra er løselig. DJeg{\ displaystyle D_ {i}}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}

Et eksempel på en løsbar Lie-algebra er gitt av algebra av øvre trekantede matriser i . b{\ displaystyle {\ mathfrak {b}}}glikke(K){\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} _ {n} (K)}

De Lie teoremet viser at hvis K er algebraisk stengt og karakteristiske null, da en hvilken som helst under løsbar Lie algebra er kombinert med en sub-algebra . glikke(K){\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} _ {n} (K)}b{\ displaystyle {\ mathfrak {b}}}

Semi-enkle og reduktive Lie-algebraer

Vi sier at en Lie-algebra er semi-enkel når den ikke inneholder et ikke-trivielt løselig ideal. sies å være reduktiv når den tilstøtende representasjonen er semi-enkel . g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}

Når K har null karakteristikk, og det har en begrenset dimensjon, tilsvarer semi-enkelheten den ikke-degenerasjonen av drapsformen definert av , der tr betegner sporet. Dessuten er det reduktivt hvis og bare hvis det er semi-enkelt. g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}} K(x,y){\ displaystyle K (x, y)}K(x,y)=tr(påd(x)påd(y)){\ displaystyle K (x, y) = tr (ad (x) ad (y))}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}[g,g]{\ displaystyle [{\ mathfrak {g}}, {\ mathfrak {g}}]}

Vi kan vise at, under de samme forutsetningene, er enhver semi-enkel Lie-algebra faktisk en direkte sum av enkle Lie- algebraer .

Endelig dimensjonal enkel Lie algebras over feltet ℂ av komplekse tall er klassifisert etter Dynkin-diagrammer . Det er derfor 4 familier med enkle Lie-algebraer (eller 3 hvis vi betrakter og som den samme familien) og 5 eksepsjonelle Lie-algebraer, som hver tilsvarer et annet Dynkin-diagram. Bikke{\ displaystyle B_ {n}}Dikke{\ displaystyle D_ {n}}

• Til et Dynkin-diagram av typen tilsvarer Lie algebra .PÅikke(ikke≥1){\ displaystyle A_ {n} (n \ geq 1)}slikke+1(VS){\ displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {n + 1} (\ mathbb {C})}
• Til et Dynkin-diagram av typen tilsvarer Lie algebra .Bikke(ikke≥2){\ displaystyle B_ {n} (n \ geq 2)}so2ikke+1(VS){\ displaystyle {\ mathfrak {so}} _ {2n + 1} (\ mathbb {C})}
• Til et Dynkin-diagram av typen tilsvarer Lie algebra .VSikke(ikke≥3){\ displaystyle C_ {n} (n \ geq 3)}ss2ikke(VS){\ displaystyle {\ mathfrak {sp}} _ {2n} (\ mathbb {C})}
• Til et Dynkin-diagram av typen tilsvarer Lie algebra .Dikke(ikke≥4){\ displaystyle D_ {n} (n \ geq 4)}so2ikke(VS){\ displaystyle {\ mathfrak {so}} _ {2n} (\ mathbb {C})}
• De eksepsjonelle Lie-algebraene, tilsvarende de gjenværende Dynkin-diagrammene (av type E 6 , E 7 , E 8 , F 4 og G 2 ) har ikke en så enkel tolkning.

Lie-algebra er reduktiv, og dens avledede Lie-algebra er . glikke(VS){\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} _ {n} (\ mathbb {C})}slikke(VS){\ displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {n} (\ mathbb {C})}

Endelige dimensjonale semi-enkle Lie-algebraer over feltet ℝ av reelle tall klassifiseres etter involveringene av komplekse Lie-algebraer eller, ekvivalent, av involveringene av rotsystemer  (en) . Dette tilsvarer forestillingen om symmetrisk Lie algebra  (en) . Som en virkelig enkel Lie algebra-klasse kan vi sitere:

• Kompakte Lie-algebraer. Dette er Lie-algebraene til kompakte grupper. Det er akkurat en som tilsvarer hver komplekse Lie-algebra.
• Komplekse Lie-algebraer sett på som ekte Lie-algebraer.
• De andre kan klassifiseres i familiene AI, AII, AIII, BI, CI, CII, DI, DIII og i eksepsjonelle algebraer

EI, EII, EIII, EIV (type ) EV, EVI, EVII (type ) EVIII, EIX (type ) FI, FII (type ) og GI (type ) etter Helgason (de) notasjon ). E6{\ displaystyle E_ {6}}E7{\ displaystyle E_ {7}}E8{\ displaystyle E_ {8}}F4{\ displaystyle F_ {4}}G2{\ displaystyle G_ {2}} 

Uendelig dimensjon

Det er ingen generell klassifisering av uendelige dimensjonale Lie-algebraer, men flere klasser av slike algebraer har blitt studert.

• En Kac-Moody- algebra er en Lie-algebra definert abstrakt i form av generatorer og relasjoner kodet av en generalisert Cartan-matrise som ikke nødvendigvis er positiv. De kan derfor være av uendelig dimensjon. Deres generelle klassifisering er fortsatt utenfor rekkevidde, men flere undertyper er kjent
  • En algebra av Kac-Moody affine  (In) har den egenskapen at alle underdiagrammer Dynkin, Dynkin-diagrammet, tilsvarer sub-Lie-algebraer med endelig dimensjon. Den generaliserte Cartan-matrisen er deretter av corang 1. Affine Kac-Moody algebras ble klassifisert av Victor Kac . De brukes mye i teoretisk fysikk i studiet av konforme feltteorier og spesielt i studien av WZW-modeller .
  • En hyperbolsk Kac-Moody-algebra har et koblet Dynkin-diagram med egenskapen at hvis vi fjerner en rot fra den, får vi en endelig-dimensjonal semi-enkel Lie-algebra eller en affin Kac-Moody-algebra. De har også blitt klassifisert og har en maksimal rangering på 10. Deres generaliserte Cartan-matrise er ikke-degenerert og av Lorentzian-signatur (det vil si nøyaktig en negativ retning).
• algebra generalisert Kac-Moody  (in) eller algebra Borcherds: dette er en type Lie-algebra som generaliserer begrepet algebra Kac-Moody hvis generaliserte Cartan-matrise kan ha enkle røtter kalt imaginær som Diagonalelementet i den generaliserte Cartan-matrisen er negativ. De ble introdusert av Richard Ewen Borcherds som en del av studien av den monstrøse måneskinsgissingen .

Generalisering

Det finnes forskjellige typer generaliseringer av Lie algebra kan nevnes er Lie-ringer  (i) de Lie superalgebras , de kvantegrupper , den algebra Leibniz , den pre-Lie algebra  (i) .

Relaterte artikler

• Kva-triangulær Hopf-algebra
• Baker-Campbell-Hausdorff-formel
• Trotter-Kato formel

Merknader og referanser

1. Djohra Saheb Koussa , Abdelhak Djoudi og Mustapha Koussa , “  Analyse for nettilkoblet vindkraftsystem i den tørre regionen  ”, IREC2015 Den sjette internasjonale fornybare energikongressen , IEEE,mars 2015( ISBN  978-1-4799-7947-9 , DOI  10.1109 / irec.2015.7110927 , leses online , åpnes 15. september 2020 )
2. (in) Sigurdur Helgason , Differential Geometry and Symmetric Spaces , AMS ,1962, 487  s. ( ISBN  978-0-8218-2735-2 , les online )

• N. Bourbaki , Elements of mathematics , Groups and Lie algebras
• Jacques Dixmier , Enveloping Algebras , Éditions Jacques Gabay, Paris, 1996 ( ISBN  978-2-87647-014-9 )
• (no) James E. Humphreys , Introduksjon til Lie Algebras and Representation Theory , New York, Springer , koll.  "  GTM  " ( n o  9)1978, 2 nd  ed. , 173  s. ( ISBN  978-0-387-90053-7 )
• (en) Nathan Jacobson , Lie algebras , New York, Dover ,1979( 1 st  ed. 1962), 331  s. ( ISBN  978-0-486-63832-4 , online presentasjon )
• Erdmann, Karin & Wildon, Mark. Introduksjon til Lie Algebras , 1. utgave, Springer, 2006. ( ISBN  1-84628-040-0 ) .