Faktorring

I matematikk er en faktorring et spesielt tilfelle av en integrert ring . I likhet med heltall , er det en ekvivalent av den grunnleggende setningen til aritmetikk for en slik struktur. Ethvert element i en faktorring brytes ned til et produkt av et inverterbart element og irredusible elementer , og denne nedbrytningen er unik bortsett fra inverterbare elementer. For eksempel i Z , ringen med relative heltall , –2 er ikke reduserbar.

Eksempler på en faktorring er ikke uvanlig. Enhver hovedring (det vil si integreres og som hvert ideal er prinsipiell for ) er faktisk. Det omvendte er ikke sant. Dermed er en ring av polynomer med koeffisienter i en faktorring k alltid også faktoriell, men er kun prinsipiell hvis ringen k er et felt . I denne forstand generaliserer begrepet faktorring den som hovedringen. Den kan i sin tur generaliseres ved å forlate unikhetshypotesen om nedbrytningen til et produkt av irreduserbare faktorer. Vi får dermed den større klassen med atomringer .

Noen vanlige resultater av elementær regning gjelder for en faktorring. Dermed blir lemma av Euclid blir kontrollert, og det er mulig å definere en største felles divisor og minste felles multiplum fordel nesten vanlig egenskaper Z .

Definisjoner

Gjennom dette avsnittet betegner A en integrert ring . Den enheter gruppe består av elementer som har en invers i A .

Begrepet faktorring er basert på tre definisjoner:

et element av A sies å være ureduserbart hvis det verken er inverterbart eller produkt av to ikke-inverterbare elementer;
to elementer som ikke er null , a og b av A sies å være assosiert hvis det eksisterer et inverterbart element u slik at a = ub (denne relasjonen er en ekvivalensrelasjon );
et element p av A sies å være primært hvis det ikke er null og ikke-inverterbart og tilfredsstiller Euclids lemma , dvs. hvis for et produkt ab som er multiplum av p , er a eller b multiplikasjon av p .

Den vanligste definisjonen av en faktorring er:

A sies å være faktoriell hvis den tilfredsstiller følgende to egenskaper:

For ethvert ikke-null og ikke-inverterbart element a av A eksisterer det en endelig sekvens p 1 , ..., p n av irredusible elementer av A hvorav a er produktet:

a = p_ {1} \ cdots p_ {n} \;

Hvis vi for et slikt element a har to slike sekvenser p 1 ,…, p n og q 1 ,…, q m , så m = n og det eksisterer en permutasjon σ av settet {1,…, n } som samt inverterbare elementer u 1 ,…, u n slik at p i = u i q σ ( i ) for alle i (nedbrytningen av a er unik ned til rekkefølgen av faktorer og opp til assosiasjon).

Det er denne definisjonen som brukes i det følgende, men vi vil se, takket være de første egenskapene nedenfor , at den tilsvarer en enklere definisjon:

A sies å være faktorielt hvis noe ikke-null og ikke-inverterbart element i A er et produkt av hovedelementer.

Eksempel: Ringen Z for relative heltall er faktoriell. Dens inverterbare elementer er –1 og 1, så to ikke-null heltall er assosiert når de er like eller motsatte. De irredusible elementene er heltall først og deres motsetninger. Ethvert ikke-null-element av Z nedbrytes til et produkt av irredusible elementer. For eksempel nedbrytes –28 til (–2) .2.7. Man kan også nedbryte den for eksempel i (–7) .2.2 men denne siste nedbrytningen blir sett på som den samme som den første, fordi den er utledet fra den ved å permere faktorene og ved å multiplisere dem med invertibler.

Noen ringer har spesielle irredusible elementer, så et irreduserbart og positivt element av Z kalles et primtall. I K [ X ] (hvis K er et felt), er de spesielle elementene de enhetlige irredusible polynomene , det vil si hvis koeffisienten til det dominerende monomialet er lik 1. Hver ekvivalensklasse inneholder et unikt irredusibelt element spesielt. Denne tilnærmingen gjør det mulig å normalisere nedbrytningen til irreduserbare faktorer slik at det unike er absolutt, og ikke lenger bare opp til permutasjon og assosiasjon.

Det er alltid mulig å etablere en standardisering av denne art. Det er tilstrekkelig for å definere en familie ( p- i ) av ikke-reduserbare elementer slik at hvis jeg er forskjellig fra j da p jeg ikke er assosiert med p- j og en hvilken som helst ikke-reduserbare element er forbundet med en p- i . Den aksiom valg viser at det alltid er mulig å finne en maksimal familie av reduserbare elementer to av to ikke forbundet: vi tar én representant per klasse av sammenslutning av reduserbare elementer. Denne standardiseringen brukes i resten av artikkelen: den er ikke nødvendig, men gjør det mulig å lette påstandene. Et ikke-null- element a av en faktorring er således skrevet på en unik måte:

a = u \ prod _ {{i \ in I}} p_ {i} ^ {{v _ {{p_ {i}}} (a)}} ~,

der u er et inverterbart element. Funksjonen v p i , fra A til mengden N av naturlige heltall, kalles en p -adisk verdsettelse . Verdien v p i ( a ) kalles også rekkefølgen for multiplikasjonen av p i i a .

I resten av artikkelen betegner A en faktorring og ( p i ) en slik familie av irredusible elementer (med mindre annet er uttrykkelig angitt).

Motivasjon

Den aritmetiske i ringen av relative heltall tillater bevis på mange teoremer. Demonstrasjonene bruker det faktum at denne ringen er euklidisk og derfor rektor. På den annen side er mange ringer ikke, for eksempel polynomer med koeffisienter i relative heltall eller til og med polynomer i flere ubestemte på et kommutativt felt.

Dette siste eksemplet er viktig: algebraiske manifolder er definert som røttene til et ideal av polynomer med flere variabler. Dermed er den virkelige sfæren definert som de vanlige røttene til polynomer med tre ubestemte multipler av X 2 + Y 2 + Z 2 - 1. Ringen av polynomfunksjoner definert på sfæren er verken euklidisk eller til og med prinsipiell. På den annen side er det faktisk.

På en faktorring forblir noen grunnleggende teoremer om hovedringene sanne. Dermed forblir Euklids lemma, egenskapene til de minste felles multipler og de største fellesdelere eller til og med den grunnleggende teoremet for aritmetikk gyldig (sistnevnte er bekreftet per definisjon).

Ikke alle gjelder lenger, så et hovedideal er ikke alltid maksimalt. I Z [ X ], ringen av polynomer med koeffisienter i ringen Z av relative heltall, er den ideelle 2 Z [ X ] ikke maksimal og Z [ X ] / 2 Z [ X ] er ikke et felt fordi klassen X er ikke inverterbar. Den identitet Bézout er ikke alltid sant: i Z [ X ], sak 2 og X har ingen felles faktor, men den ideelle generert ved 2 og X er ikke hele ringen. Faktisk er en faktorring der Bézouts identitet er tilfreds en hovedring.

Eksempler og moteksempler

Z- ringen er et enkelt eksempel på en faktorring. Et annet eksempel er Z [i] -ringen av Gauss-heltall : kompleksene skrevet i form a + i b der a og b er relative heltall.
Hvis K er et felt, er ringen K [ X ] av polynomer med koeffisienter i K faktisk. Mer generelt, så snart A er faktisk, er det det samme for A [ X 1 ,…, X n ].
Vi beviser at enhver hovedring (enda mer hvilken som helst euklidisk ring ) også er faktisk.
En ikke-faktoriell (selv om den er helt lukket ) kvadratisk heltallring er Z [i √ 5 ]. For eksempel brytes 6 ned i både 2 x 3 og (1 + i √ 5 ) x (1 - i √ 5 ).
Blant Z [ζ] der ζ er en rot til enhet , er bare tretti faktoriske . For eksempel er Z [ $e i2π / n$ ] faktoriell for 1 ≤ n ≤ 22, men ikke for n = 23. For å finne en veldig generell løsning på denne vanskeligheten, skaper Ernst Kummer ideelle tall , nå formalisert av Richard Dedekinds arbeid gjennom konseptet med Dedekind-ringen .
Enhver sub-ring strengt mellom Z og Z [ $e i2π / 3$ ] er ikke-faktoriell (fordi det ikke er helt stengt). Et kjent moteksempel er underringen Z [i √ 3 ], der 4 har to forskjellige nedbrytninger: 4 = 2 × 2 = (1 + i √ 3 ) (1 - i √ 3 ). Vi mistenker sterkt at Leonhard Euler implisitt stolte på faktoraliteten til Z [i √ 3 ] for et viktig og uberettiget argument for beviset hans for Fermats siste setning i saken n = 3 ( Algebra 1770).
Et "geometrisk" moteksempel er kvotienten til K [ X , Y , Z ] av idealet som genereres av X 2 - YZ . La p være anvendelsen av passasje til kvotienten; p ( X 2 ) innrømmer to forskjellige nedbrytninger til irreduserbare faktorer: vi har p ( X 2 ) = p ( X ) p ( X ), men også p ( X 2 ) = p ( Y ) p ( Z ).
Et lignende moteksempel er ringen til trigonometriske polynomer , der sin 2 = (1 + cos) (1 - cos). Det er isomorf til kvotienten til K [ X , Y ] ved idealet som genereres av X 2 + Y 2 - 1 = Y 2 - (1 + X ) (1– X ) eller igjen, til kvotienten i forrige moteksempel ved det ideelle som genereres av p ( Y + Z - 2).
Et mer anekdotisk mot-eksempel er Z / 4 Z- ringen : ethvert ikke-null og ikke-inverterbart element skrives der på en unik måte (bortsett fra en tilknytning) som et produkt av irredusible elementer, men Z / 4 Z n 'er ikke faktorielt for mangel på integritet.

Eiendommer

Første eiendommer

Enhver faktorring er en GCD-ring .
Se neste avsnitt for mer informasjon. En slik ring tilfredsstiller Gauss lemma . Derfor :
- I en faktorring er hvert irreduserbart element prime.
- Enhver faktorring A er helt lukket.
  Med andre ord, er de eneste deler av kroppen av fraksjonene som er heltall fra A (det vil si at røttene til en monic polynom med koeffisientene i A ) er de elementer av A .

En integrert ring er faktoriell hvis og bare hvis den tilfredsstiller følgende to egenskaper:

(1) Hver økende sekvens av hovedidealer er stasjonære. (2) Hvert irredusjerbart element er prime. Demonstrasjon

Hvis A tilfredsstiller de to egenskapene (1) og (2), er det faktisk: se for eksempel Antoine Chambert-Loir , " Commutative algebra " , University of Rennes 1 ,2005, s. 66-68 eller avsnittet “Faktoritet av A , primær nedbrytning” i leksjonen om ringer på Wikiversity .
Hvis ringen er faktoriell, tilfredsstiller den egenskapene (1) og (2):
La σ være funksjonen til A \ {0} i mengden N av naturlige heltall som til en assosierer antall ikke-inverterbare faktorer i nedbrytningen inn i irredusible faktorer av en . Det unike ved dekomponering i en faktorring viser at funksjonen σ er veldefinert.
Enten en og b to ikke-null elementer av A . Det unike ved nedbrytningen viser også at σ ( ab ) = σ ( a ) + σ ( b ). Så hvis c strengt deler a , så er σ ( a ) strengt større enn σ ( c ).
- Enhver økende sekvens av hovedidealer er stasjonær:
  La ( a n A ) være en økende sekvens av hovedidealer. Hvis sekvensen ( a n ) er konstant lik 0, er sekvensen stasjonær. Ellers, selv om det betyr Indeksering sekvensen anta at en 0 er ikke null. Å si at idealet a n + 1 A strengt inneholder idealet a n A betyr at et n +1 strengt deler et n . Dette kan bare skje for et endelig antall (mindre enn eller lik σ ( a 0 )) av heltall n , som viser at sekvensen er konstant fra en viss rang, det vil si stasjonær.
- Hvert irreduserbart element er førsteklasses:
  Dette er Euklids lemma.

Vi utleder for eksempel:

Hver hovedring er faktisk.

I tillegg demonstrerer vi i artikkelen " Hovedring ":

Enhver faktoriell Dedekind-ring er rektor .

Felles divisor og multiple

La ( en n ) en familie av ikke-null elementer av A .

Den største felles divisoren av disse elementene er, blant divisorene som er felles for en n , den som er flere av alle de andre. Det er unikt opp til produktet av en inverterbar: det er et produkt av alle de irreducibles p jeg til stede i dekomponering til ureduserbare faktorer av hver en n , hver tilordnet en eksponent lik det minste av sine ordre fra mangfoldighet i en n .
Det minst vanlige multiplumet av et n er blant multiplene som er felles (hvis noen) for disse elementene, det som er deler av alle de andre. Det er unikt med unntak av produktet ved en inverterbar hvis den eksisterer (som alltid er tilfellet hvis settet med en n er endelig): det er et produkt av de faktorene p jeg til stede i dekomponering til ureduserbare faktorer av minus en av en n , hver tildelt en eksponent lik den største av rekkefølgen av mangfold i a n .
Det sies at a n er primær innbyrdes , eller primer innbyrdes som en helhet , hvis deres største felles divisor er lik 1. De sies å være primære innbyrdes to og to hvis for noe par { m , n } av indekser, en meter og et n er coprime.

Disse definisjonene generaliserer forestillingene om minst vanlig multiplum og største felles divisor . I denne sammenhengen gjelder fortsatt noen av egenskapene som er sanne på en hovedring, noen ikke. Den delvise orden forhold anvendt her (eller mer nøyaktig: delvis pre-order ) er deleligheten: en er mindre enn b hvis det er en divisor av b . Det uttrykkes i termer av idealer ved omvendt rekkefølge for inkludering: a er mindre enn b hvis idealet generert av a inneholder idealet generert av b .

La ( en n ) en familie av ikke-null elementer av A og en , b to ikke-null elementer av A .

Det finnes et inverterbart element u slik at ${\ text {pgcd}} (ba_ {n}) = u ~ b ~ {\ text {pgcd}} (a_ {n}).$
Hvis familien ( a n ) er endelig, eksisterer det et inverterbart element u slik at ${\ text {ppcm}} (ba_ {n}) = u ~ b ~ {\ text {ppcm}} (a_ {n}).$
Hvis familien ( a n ) er endelig, og hvis a n er koprime mellom dem to og to, eksisterer det et inverterbart element u slik at ${\ text {ppcm}} (a_ {n}) = u ~ \ prod _ {n} a_ {n}.$
Det finnes et inverterbart element u slik at $ab = u ~ {\ text {ppcm}} (a, b) ~ {\ text {pgcd}} (a, b).$
Det minste hovedidealet som inneholder alt a n er idealet som genereres av den største fellesdeleren til a n .

Faktisk er det nok å legge merke til at en hoved ideal, som genereres av et element d , inneholder alle en n hvis og bare hvis d skiller alle de en n , det vil si skiller deres største felles divisor, ellers sier om dette idealet inneholder som generert av den største felles divisoren. Denne minste hoved ideell inneholder alle en n inneholder den ideelle generert av familien, men når de sistnevnte er ikke viktigste, er strengt inkluderingen. Således i Z [ X ] er idealet som genereres av 2 og X settet med polynomer som har konstant jevnhet, men det minste hovedidealet som inneholder det er hele ringen. I en hovedring er de to idealene like. Dette resultatet er kjent som Bachet-Bézout-teoremet .

Hvis a n innrømmer et minst vanlig multiplum, er skjæringspunktet mellom idealene generert av a n det viktigste idealet som genereres av dette minst vanlige multiple.
Hvis R betegner ekvivalens forhold av foreningen er definert i “definisjoner”, punkt og A * settet av ikke-null elementer i ringen, så kvotienten settet A * / R i foreningen klasser, som følger med det GCD og ppcm operatører , danner et gitter .

Ringer av polynomer

De polynomringer representerer den første historiske motivasjon for de faktorielle ringene. Hvis koeffisientene velges i et kommutativt felt, har ringen en euklidisk inndeling , ellers vises en annen aritmetikk . I 1801 publiserte Carl Friedrich Gauss en avhandling i begynnelsen som han viste en eiendom, i dag kalt Gauss 'lemma om polynomer , som er den spesielle saken for ringen Z i lemmaet nedenfor om "innhold".

I dette avsnittet betegner A en faktorring og K dens brøkfelt . Det er nyttig å studere polynomer med koeffisienter i A , å forklare to definisjoner:

Et polynom P av A [ X ] sies å være primitivt hvis de eneste elementene i A som deler alle koeffisientene til P samtidig er de invertible, med andre ord hvis P ikke kan deles med et konstant ikke-inverterbart polynom .
Den Innholdet av en polynomet P ikke-null-koeffisienter i K er et element en av K slik at det er et primitivt polynom Q fra A [ X ] slik at aQ er lik P . I denne artikkelen betegner vi innholdet av P med cont ( P ) :

P = {\ text {cont}} (P) Q, \ quad {\ text {cont}} (P) \ i K, \ quad Q \ i A [X], \ quad Q \ {\ text {primitive} }.

Blant de følgende egenskapene gir de to første betydning for denne definisjonen av innhold:

Ethvert ikke-null polynom med koeffisienter i A (resp. K) har et innhold som tilhører A (resp. K).
Innholdet i et polynom er unikt opp til produktet av et inverterbart element av A.
La P og Q være to ikke-null polynomer med koeffisienter i K, følgende likhet er verifisert, bortsett fra produktet av et inverterbart element i A: ${\ text {cont}} (PQ) = {\ text {cont}} (P) {\ text {cont}} (Q).$

Følgende resultat er kjent som det Gaussiske lemmaet i tilfelle hvor A er ringen ℤ av relative heltall:

Et ikke-konstant polynom med koeffisienter i A er irredusibelt i A [ X ] hvis og bare hvis det er primitivt i A [ X ] og irredusibelt i K [ X ].

Vi utleder følgende resultat:

For hvert naturlige tall n er ringen til ubestemte n polynomer A [ X 1 ,…, X n ] faktisk.

Demonstrasjoner

Ethvert ikke-null polynom P med koeffisienter i A (resp. K ) har et innhold som hører til A (resp. K ):
Hvis P har koeffisienter i A , er det tilstrekkelig å sette kont ( P ) = gcd av koeffisientene: kvotienten til P med dette elementet i A vil være ganske primitiv. Hvis nå koeffisientene til P bare er i K , dvs. er fraksjoner av elementene i A , går vi tilbake til forrige tilfelle ved å redusere disse brøkene til en fellesnevner b (for eksempel produktet av deres respektive nevnere): P skrives R / b med b ikke-null element av A og R polynom med koeffisienter i A , som begynnelsen av resonnementet gjelder. Fra R = fortsett ( R ) Q med primitiv Q trekker vi altså P = (forts. ( R ) / b ) Q , som viser proposisjonen.
Innholdet av et ikke-null polynom er unikt bortsett fra produktet av et inverterbart element av A :
Hvis P har koeffisienter i A , kan innholdet bare være gcd av koeffisientene. Det bestemmes derfor på en unik måte opp til produktet av en inverterbar. Hvis nå P = R / b med de samme notasjonene som før, fra P = fortsett ( P ) Q trekker vi ut R = b. Kont ( P ) Q derfor fortsetter ( R ) = b. Kont ( P ), slik at innholdet av P , lik kvotienten av b av den for R , er, i likhet med ham, bestemt på en unik måte opp til produktet av en inverterbar.
La P og Q være to ikke-null polynomer med koeffisienter i K , er følgende likhet bekreftet, bortsett fra produktet av et inverterbart element i A : ${\ text {cont}} (PQ) = {\ text {cont}} (P) {\ text {cont}} (Q)$ Per definisjon av innholdet kan vi anta at P og Q har koeffisienter i A , og det er tilstrekkelig å vise at det er deres produkt hvis de er primitive. Nå hvis p er et irreduserbart element i A og hvis r (resp. S ) er den største av indeksene til koeffisientene til P (resp. Q ) som ikke kan deles med p , så er koeffisienten for indeks r + s for PQ a summen av produkter som alle er unntatt en delelig med p , slik at denne summen ikke kan deles med p . (En mer abstrakt variant av dette resonnementet er følgende: p er prim i A siden A er faktoriell, så A / pA er integrert, så ringen ( A / pA ) [ X ] er også. Da P og Q er primitive, bildene deres av den kanoniske morfismen fra A [ X ] til ( A / pA ) [ X ] er ikke-null, derfor er ikke bildet av PQ , produkt av disse to bildene, ikke-null.) Dermed er ikke noe element irredusierbart p av A er ikke en divisor som er felles for alle koeffisientene til PQ , og dette produserte polynomet er derfor ganske primitivt.
La P være en nonconstant polynom med koeffisientene i A . Polynomet er irredusibelt i A [ X ] hvis og bare hvis det er primitivt i A [ X ] og irredusibelt i K [ X ]:
Det er et spørsmål om å bevise at hvis P er irredusible i A [ X ] så er det primitivt, og at hvis P er primitiv, så er irredusibiliteten (eller reduserbarheten) i A [ X ] ekvivalent med den i K [ X ].
Anta at P ikke kan reduseres i A [ X ] og observer nedbrytningen P = fortsett ( P ) Q : de to faktorene er i A [ X ], så en av de to må være inverterbar, men det kan ikke være Q (som er av det samme grad som P ). Følgelig er cont ( P ) inverterbar i A [ X ] derfor i A , slik at P er primitiv.
Anta nå P primitiv og vis at den er reduserbar i K [ X ] hvis og bare hvis den er reduserbar i A [ X ]. Hvis P er reduserbar i K [ X ], så er det foreligge to polynomer B og C i K [ X ], ikke null og reversibel, og derfor ikke er konstant, for eksempel P = B . C . Den forrige proposisjonen viser eksistensen i A [ X ] av to polynomer Q og R av samme grad som B og C , derfor ikke inverterbar, slik som: $P = {\ text {cont}} (BC) QR = {\ text {cont}} (P) QR = QR,$ slik at P kan reduseres i A [ X ]. Omvendt, hvis P er reduserbar i A [ X ], det vil si produkt av to ikke-inverterbare elementer av A [ X ], så (siden P er primitiv) er de to faktorene ikke konstante, derfor ikke inverterbare i K [ X ] , slik at P kan reduseres i K [ X ].
Ringen A [ X ] er faktoriell:
Den vanlige metoden for å demonstrere eksistensen og "unikheten" (unntatt permutasjon og assosiasjon) av nedbrytningen av et ikke-null-element P av A [ X ] til produkt d 'ureduserbart, består ved å bruke nedbrytningen i ringen K [ X ], som vi vet er faktoriell (og til og med euklidisk ).
La P = P 1 ... P m være en nedbrytning av P til et produkt av ikke-reduserbare elementer P i fra K [ X ]. For hver indeks i , betegner vi ved c i “av” innhold (opp til produktet av en enhet av A ) av P- i , og Q i det primitive polynomet P I / c i . I følge forrige proposisjon er Q i ikke reduserbar i A [ X ]. Nå er P = c Q 1 … Q m , betegner c produktet av c i . Dette elementet c er lik innholdet av P , slik at den tilhører A . Merk deretter c = s 1 ... p n "sin" ikke-reduserbare nedbrytning i A . Vi oppnår en nedbrytning av P i produktet av irreducibles av A [ X ]: P = p 1 ... p n Q 1 ... Q m .
Hvis P = r 1 ... r n ' S 1 … S m' er en annen (ved å skille på samme måte blant faktorene, ved forskjellige notasjoner, konstante og ikke-konstante polynomer), da ved "unikhet" av dekomponeringen av P i K [ X ], m, = m , og (selv om det betyr omordning av S i ) S i = u i Q i hvor u i er a priori i K , men er i virkeligheten lik innholdet av S i , derfor er et element reversering av A . Ved å fjerne de to produkt- p 1 ... p n og r 1 ... r n ' er derfor forbundet i A . Ved faktoritet av A har de (samme antall faktorer, n '= n og) samme faktorer (opp til permutasjon og assosiasjon), som avslutter beviset på unikhet ved nedbrytningen av P i A [ X ].
La n være et naturlig heltall, ringen A [ X 1 , ..., X n ] er faktisk:
Denne proposisjonen (umiddelbar for n = 0 siden det da er ringen A ) blir trukket fra den forrige ved induksjon på tallet n av ubestemte, ved hjelp av den naturlige isomorfismen av ringer mellom A [ X 1 ,…, X n - 1 ] [ X n ] og A [ X 1 ,…, X n ].

Den foregående egenskapen innrømmer en omvendt hvis bevis er lett: hvis en ring A er slik at A [ X ] er faktoriell, så er A faktoriell.

Merknader og referanser

I en Noetherian-ring eksisterer nedbrytningen, men er ikke unik generelt.
(in) Pierre Samuel , " Unique Factorization " , Amer. Matte. Måned. , vol. 75, n o 9,November 1968, s. 945-952 ( les online )demonstrere det som et eksempel på anvendelse av et Nagata- setning (delvis omvendt av det faktum at en hvilken som helst ring av brøkdeler av en faktorring er faktoriell).
Denne karakteriseringen er angitt i øvelse 6 i kapittel 2 av Daniel Perrin , Cours d'Algebre [ detalj av utgaver ], s. 61 , med presisjonen om at hypotesen om at ikke er eterisk, ikke er nødvendig.
(i) Hale F. Trotter , " Et eksempel på oversett ikke-unik faktorisering " , Amer. Matte. Måned. , vol. 95, n o 4,April 1988, s. 339-342 ( les online ).
Se for eksempel avsnittet "Factorialité of A , primary decomposition" i leksjonen om ringene på Wikiversity ..
Carl Friedrich Gauss , Disquisitiones arithmeticae ,1801[ detalj av utgaver ], § 42 .
Disse to definisjonene finnes, for eksempel på siden Faktoritetens varighet (Gauss) på nettstedet les-mathematiques.net. Noen forfattere velger å definere bare innholdet i et polynom med koeffisienter i A [ X ], for eksempel Chambert-Loir 2005 , s. 73.
Denne teoremet strekker seg til enhver ring av polynomer i en uendelig ubestemt periode, ved å bruke at en slik ring er foreningen av dens underringer av polynomer til et endelig antall ubestemte: jfr. N. Bourbaki , Elements of mathematics , AC VII § 3, øvelse 2.
Demoen er hentet fra (i) Serge Lang , Algebra , Addison-Wesley ,1965, s. 127.
De to siste demonstrasjonene er inspirert av Lang 1965 , s. 126-128.

Se også

(en) PM Cohn , “ Unique Factorization Domains ” , Amer. Matte. Måned. , vol. 80, n o 1,Januar 1973, s. 1-18 ( DOI 10.2307 / 2319253 ) - Generell informasjon om faktoralitet, inkludert tilfellet med ikke-kommutative ringer.