I matematikk , i en ring , er en divisor på null et element som ikke er null, hvis produkt av et element som ikke er null er null.
La en ring og slik at , hvor er det nøytrale elementet for loven .
Vi sier at det er en deler på null til venstre i if
Vi sier at det er en deler på null til høyre i if
Vi sier det er en divisor av null i hvis er en divisor av null til venstre i eller en divisor av null til høyre i .
Et element av sies å være vanlig hvis det verken er null eller en skiller på null.
En deler på null kan ikke være inverterbar ; spesielt inneholder ikke et kommutativt felt (eller til og med et venstre felt ) en skillelinje på null. Faktisk, det vil si et element i en skillelinje på null. Vi antar at det er inverterbart. Så per definisjon eksisterer det ikke-null slik at , og ved å komponere fra venstre kommer det , motsetning.
En kommutativ ring sies å være integrert hvis den ikke reduseres til null og ikke tillater noen skillelinje på null.
Ringen Z av relative heltall er integrert, så vel som kommutativt felt med rasjonelle eller reelle eller komplekse tall (hvilket som helst felt generelt).
I Z / 6 Z- ringen er klassen 4 en divisor på null, fordi 4 × 3 er kongruent til 0 modulo 6, mens 3 og 4 ikke er kongruente til 0 modulo 6.
Mer generelt, i ringen Z / n Z for n > 0, som i en hvilken som helst endelig ring, er ethvert vanlig element inverterbart, slik at delerne på null er nøyaktig de ikke-null og ikke- inverterbare elementene . Følgelig (ifølge Bachet-Bézout-teoremet ) er dette modulo n- klassene av relative heltall som verken er delelig med n eller prime med n .
Ringen av firkantede matriser med to rader og to virkelige kolonner inneholder delere på null. For eksempel matrisen
er en divisor av null, faktisk er den ikke-null, og vi har
Mer generelt er delerne av null til høyre i en algebra av matriser med koeffisienter i et felt de ikke- surjektive matriser, og delene til venstre er de ikke- injiserende matriser . Når , venstre og høyre delere av null sammenfaller, og disse er de ikke-inverterbare matrisene.
Funksjonssettet i seg selv er en ring som innrømmer delere på null. Faktisk hvis vi tar den karakteristiske funksjonen til rasjonelle så vel som den karakteristiske funksjonen til irrasjonelle, er det klart at disse to funksjonene er forskjellige fra nullfunksjonen , men deres produkt gir nullfunksjonen, fordi et reelt tall er rasjonelt eller ellers irrasjonelt.
Mer generelt, hvis er en assosiativ algebra , la oss betegne med algebra av funksjoner , hvor er noe ikke-fritt sett. Delene på null av er nøyaktig funksjonene som ikke er null som har null eller en deler på null i bildet.