Padé tilnærming til den eksponensielle funksjonen
I matematikk er en Padé-tilnærming til den eksponensielle funksjonen en rasjonell brøk h ( x ) / k ( x ), hvor h ( x ) betegner et polynom av grad p og k ( x ) av grad q , slik at den begrensede utvidelsen av brøken til rekkefølgen p + q er identisk med den eksponentielle. Studiet av dette spørsmålet er det innledende eksemplet som Henri Padé valgte for teorien om tilnærminger som bærer navnet hans.
Eksistensen av sekvenser av rasjonelle brøker med den eksponensielle grensen er et spørsmål som allerede er adressert før Padés arbeid. Leonhard Euler åpner ballen med to uttrykk, hvorav det ene gir utvidelsen til en uendelig kontinuerlig brøkdel av e , og beviser dermed sin irrasjonalitet ; Jean-Henri Lambert demonstrerer denne utviklingen strengere, Joseph-Louis Lagrange finner to andre og Carl Friedrich Gauss enda en.
Padés arbeid består i å generalisere disse tidligere verkene for å illustrere ved et eksempel en generell teori som gjelder enhver analytisk funksjon . Det behandler dette spørsmålet under fire aspekter: det viser eksistensen av en tilnærming av Padé av indeks ( p , q ), etablerer gjentakelsesrelasjonene som tillater å bestemme en høyere orden tilnærming, trekker de forskjellige uttrykkene i form av kontinuerlig (generalisert) brøkdeler av det eksponentielle og viser den ensartede konvergensen av visse sekvenser av tilnærminger.
Presentasjonen her tilsvarer en omformulering av 1899 og en berikelse av en del av hans avhandlingsarbeid.
Redusert eksponensiell funksjon
I resten av artikkelen betegner p og q to positive heltall . Det første resultatet etablerer eksistensen og unikheten , opp til en multiplikasjonsfaktor , av to polynomer h p, q og k p, q av respektive grader p og q , slik at:
-
De heltall serie utvidelser ved punktet 0 av den rasjonelle fraksjon h p, q / k p, q og av eksponensialfunksjonen faller sammen på den første p + q + 1 betingelser.
En slik rasjonell brøkdel kalles en “Padé approximant”. For å etablere dette resultatet, er matematikeren basert på følgende uttrykk for et antiderivativ av e tx f ( x ) der t er en parameter, x variabelen og f et polynom der graden er betegnet med n :
∫eksp(tx)f(x)dx=eksp(tx)∑Jeg=0ikke(-1)Jegf(Jeg)(x)tJeg+1.{\ displaystyle \ int \ exp (tx) f (x) {\ rm {d}} x = \ exp (tx) \ sum _ {i = 0} ^ {n} (- 1) ^ {i} {\ frac {f ^ {(i)} (x)} {t ^ {i + 1}}}.}
Han utleder følgende uttrykk:
hs,q(t)=∑Jeg=0ss!/(s-Jeg)!(s+q)!/(s+q-Jeg)!tJegJeg!ogks,q(t)=∑j=0q(-1)jq!/(q-j)!(s+q)!/(s+q-j)!tjj!.{\ displaystyle h_ {p, q} (t) = \ sum _ {i = 0} ^ {p} {\ frac {p! / (pi)!} {(p + q)! / (p + qi) !}} {\ frac {t ^ {i}} {i!}} \ quad {\ text {et}} \ quad k_ {p, q} (t) = \ sum _ {j = 0} ^ {q } (- 1) ^ {j} {\ frac {q! / (Qj)!} {(P + q)! / (P + qj)!}} {\ Frac {t ^ {j}} {j! }}.}
Konfigurasjonen har mange analogier med fortsatte brøker , noe som rettferdiggjør følgende definisjon:
Den rasjonelle brøkdelen h p, q / k p, q kalles den reduserte rekkefølgen eller indeksen ( p , q ) for den eksponensielle funksjonen.
Vi har egenskaper som:
-
hvis ( r , s ) er lik ( p + 1, q ), ( p , q + 1) eller ( p + 1, q + 1), så h p , q k r , s - h r , s k p , q er en monomial (ikke null) grad p + q + 1;
- de to polynomene h p, q og k p, q er unike (opp til normalisering ) og primer for hverandre.
Demonstrasjoner
La n være heltallet p + q .
-
For ethvert polynom f av grad n :∫eksp(tx)f(x)dx=eksp(tx)∑k=0ikke(-1)kf(k)(x)tk+1.{\ displaystyle \ int \ exp (tx) f (x) {\ rm {d}} x = \ exp (tx) \ sum _ {k = 0} ^ {n} (- 1) ^ {k} {\ frac {f ^ {(k)} (x)} {t ^ {k + 1}}}.}Bekreftelsen er øyeblikkelig, ved å differensiere med hensyn til x høyre side.
- La a og b være to realer og f , α og β er polynomene definert avf(x)=(x-på)q(x-b)s,α(t)=∑Jeg=0s(-1)Jegf(ikke-Jeg)(på)tJeg,β(t)=∑j=0q(-1)jf(ikke-j)(b)tj.{\ displaystyle f (x) = (xa) ^ {q} (xb) ^ {p}, \ quad \ alpha (t) = \ sum _ {i = 0} ^ {p} (- 1) ^ {i } f ^ {(ni)} (a) t ^ {i}, \ quad \ beta (t) = \ sum _ {j = 0} ^ {q} (- 1) ^ {j} f ^ {(nj )} (b) t ^ {j}.}
-
Følgende likhet er verifisert:β(t)eksp(bt)-α(t)eksp(påt)=(-1)ikketikke+1∫påbeksp(tx)f(x)dx.{\ displaystyle \ beta (t) \ exp (bt) - \ alpha (t) \ exp (at) = (- 1) ^ {n} t ^ {n + 1} \ int _ {a} ^ {b} \ exp (tx) f (x) {\ rm {d}} x.}Siden f ( k ) ( a ) her er null hvis k er strengt mindre enn q og f ( k ) ( b ) er null hvis k er strengt mindre enn p , viser det foregående uttrykket, brukt mellom a og b , attikke+1∫påbeksp(tx)f(x)dx=eksp(tb)∑k=sikke(-1)kf(k)(b)tikke-k-eksp(tpå)∑k=qikke(-1)kf(k)(på)tikke-k=(-1)ikke(eksp(tb)β(t)-eksp(tpå)α(t)).{\ displaystyle {\ begin {justert} t ^ {n + 1} \ int _ {a} ^ {b} \ exp (tx) f (x) {\ rm {d}} x & = \ exp (tb) \ sum _ {k = p} ^ {n} (- 1) ^ {k} f ^ {(k)} (b) t ^ {nk} - \ exp (ta) \ sum _ {k = q} ^ {n} (- 1) ^ {k} f ^ {(k)} (a) t ^ {nk} \\ & = (- 1) ^ {n} {\ Big (} \ exp (tb) \ beta (t) - \ exp (ta) \ alpha (t) {\ Big)}. \ slutt {justert}}}
-
“De eksplisitte uttrykkene for koeffisientene til α og β blir lett utledet fra utvidelsene av f i henhold til kreftene , enten av x - a eller av x - b . »
For eksempel for α:f(x)=(x-på)q((x-på)+(på-b))s=(x-på)q∑Jeg=0s(sJeg)(x-på)s-Jeg(på-b)Jeg,{\ displaystyle f (x) = (xa) ^ {q} \ left ((xa) + (ab) \ right) ^ {p} = (xa) ^ {q} \ sum _ {i = 0} ^ { p} {p \ velg i} (xa) ^ {pi} (ab) ^ {i},}så detf(ikke-Jeg)(på)=(ikke-Jeg)!(sJeg)(på-b)Jegetα(t)=∑Jeg=0s(ikke-Jeg)!(sJeg)(b-på)JegtJeg.{\ displaystyle f ^ {(ni)} (a) = (ni)! {p \ velg i} (ab) ^ {i} \ quad {\ rm {and}} \ quad \ alpha (t) = \ sum _ {i = 0} ^ {p} (ni)! {p \ velg i} (ba) ^ {i} t ^ {i}.}
-
Hvis h p, q og k p, q er de to følgende polynomiske funksjoner deretter den første ikke-null monomial av heltallet funksjon k p, q e t - h p, q er av grad p + q + 1:hs,q(t)=∑Jeg=0s(s+q-Jeg)!s!(s+q)!(s-Jeg)!Jeg!tJegogks,q(t)=∑j=0q(-1)j(s+q-j)!q!(s+q)!(q-j)!j!tj.{\ displaystyle h_ {p, q} (t) = \ sum _ {i = 0} ^ {p} {\ frac {(p + qi)! p!} {(p + q)! (pi)! i !}} t ^ {i} \ quad {\ text {and}} \ quad k_ {p, q} (t) = \ sum _ {j = 0} ^ {q} (- 1) ^ {j} { \ frac {(p + qj)! q!} {(p + q)! (qj)! j!}} t ^ {j}.}Faktisk er h p, q og k p, q kvotientene av n ! av de ovennevnte uttrykkene for polynomene α og β, for a = 0 og b = 1. For disse verdiene av a og b blir den foregående likheten derfor:ks,q(t)eksp(t)-hs,q(t)=(-1)ikkeikke!tikke+1∫01eksp(tx)f(x)dx{\ displaystyle k_ {p, q} (t) \ exp (t) -h_ {p, q} (t) = {\ frac {(-1) ^ {n}} {n!}} t ^ {n +1} \ int _ {0} ^ {1} \ exp (tx) f (x) {\ rm {d}} x}eller hele funksjonen ved t kombinerer integralet fra 0 til 1 x ↦ exp ( tx ) f ( x ) er ikke null i t = 0.
Når eksistensen av den reduserte brøkdelen er bevist og uttrykket bestemt, gjenstår det å demonstrere dets unike egenskaper. Vi gjør dette takket være et lemma hvis bevis er av samme art som det som viser at telleren og nevneren til en redusert brøkdel er de viktigste innbyrdes.
-
Hvis ( r , s ) er lik ( p + 1, q ) eller ( p , q + 1) eller ( p + 1, q + 1), så er h p , q k r , s - h r , s k p , q er et monomium (ikke null) av grad p + q + 1:
På den ene siden er dette polynomet av grad mindre enn eller lik p + q + 1, og på den andre siden i henhold til likhetenhs,qkr,s-hr,sks,q=ks,q(kr,seksp-hr,s)-kr,s(ks,qeksp-hs,q),{\ displaystyle h_ {p, q} k_ {r, s} -h_ {r, s} k_ {p, q} = k_ {p, q} {\ Big (} k_ {r, s} \ exp -h_ {r, s} {\ Big)} - k_ {r, s} {\ Big (} k_ {p, q} \ exp -h_ {p, q} {\ Big)},}dens første monomiale som ikke er null, er av grad p + q + 1.
-
Polynomene h p, q og k p, q er coprime: I
følge den foregående egenskapen deler enhver polynomadeling samtidig h p , q og k p , q et monomium; vi utleder at de eneste faktorene som er felles for de to polynomene, er krefter av t . Siden disse to polynomene ikke er delbare med t , er de veldig prime for hverandre.
-
Polynomene h p, q og k p, q er unike:
La h og k være to polynomer, med henholdsvis grader økt med p og q , slik at utviklingen i heltallserier i 0 av brøkdelen h / k sammenfaller til graden n med den eksponensielle funksjonen. Med samme resonnement som ovenfor er h p , q k - hk p , q et polynom med grad mindre enn eller lik n uten monomier på grader mindre enn eller lik n . Denne forskjellen er derfor null. Siden polynomene h p, q og k p, q er primære for hverandre og av respektive grader p og q , er paret ( h , k ) proporsjonalt med paret ( h p, q , k p, q ).
Padé-bord
Dermed blir den eksponensielle funksjonen tilnærmet av rasjonelle brøker, på en noe analog måte til tilnærmingen av polynomer med heltallserier. Hvis polynomene danner en sekvens, definerer Padé-tilnærmingene et dobbeltoppføringsoppsett kalt Padé-tabellen (en) , der tilnærmingen av indeksen ( p , q ) vises i kolonne p og rad q . De første vilkårene er:
Padé-bord
|
0
|
1
|
2
|
3
|
...
|
---|
0
|
1{\ displaystyle 1 \;}
|
1+x{\ displaystyle 1 + x \;}
|
1+x+x22{\ displaystyle 1 + x + {\ frac {x ^ {2}} {2}} \;}
|
1+x+x22+x36{\ displaystyle 1 + x + {\ frac {x ^ {2}} {2}} + {\ frac {x ^ {3}} {6}} \;}
|
...
|
---|
1
|
11-x{\ displaystyle {\ frac {1} {1-x}}}
|
1+12x1-12x{\ displaystyle {\ frac {1 + {\ frac {1} {2}} x} {1 - {\ frac {1} {2}} x}}}
|
1+23x+16x21-13x{\ displaystyle {\ frac {1 + {\ frac {2} {3}} x + {\ frac {1} {6}} x ^ {2}} {1 - {\ frac {1} {3}} x}}}
|
1+34x+14x2+124x31-14x{\ displaystyle {\ frac {1 + {\ frac {3} {4}} x + {\ frac {1} {4}} x ^ {2} + {\ frac {1} {24}} x ^ { 3}} {1 - {\ frac {1} {4}} x}}}
|
...
|
---|
2
|
11-x+x22{\ displaystyle {\ frac {1} {1-x + {\ frac {x ^ {2}} {2}}}}}
|
1+13x1-23x+16x2{\ displaystyle {\ frac {1 + {\ frac {1} {3}} x} {1 - {\ frac {2} {3}} x + {\ frac {1} {6}} x ^ {2 }}}}
|
1+12x+112x21-12x+112x2{\ displaystyle {\ frac {1 + {\ frac {1} {2}} x + {\ frac {1} {12}} x ^ {2}} {1 - {\ frac {1} {2}} x + {\ frac {1} {12}} x ^ {2}}}}
|
1+35x+320x2+160x31-25x+120x2{\ displaystyle {\ frac {1 + {\ frac {3} {5}} x + {\ frac {3} {20}} x ^ {2} + {\ frac {1} {60}} x ^ { 3}} {1 - {\ frac {2} {5}} x + {\ frac {1} {20}} x ^ {2}}}}
|
...
|
---|
3
|
11-x+12x2-16x3{\ displaystyle {\ frac {1} {1-x + {\ frac {1} {2}} x ^ {2} - {\ frac {1} {6}} x ^ {3}}}}
|
1+14x1-34x+14x2-124x3{\ displaystyle {\ frac {1 + {\ frac {1} {4}} x} {1 - {\ frac {3} {4}} x + {\ frac {1} {4}} x ^ {2 } - {\ frac {1} {24}} x ^ {3}}}}
|
1+25x+120x21-35x+320x2-160x3{\ displaystyle {\ frac {1 + {\ frac {2} {5}} x + {\ frac {1} {20}} x ^ {2}} {1 - {\ frac {3} {5}} x + {\ frac {3} {20}} x ^ {2} - {\ frac {1} {60}} x ^ {3}}}}
|
1+12x+110x2+1120x31-12x+110x2-1120x3{\ displaystyle {\ frac {1 + {\ frac {1} {2}} x + {\ frac {1} {10}} x ^ {2} + {\ frac {1} {120}} x ^ { 3}} {1 - {\ frac {1} {2}} x + {\ frac {1} {10}} x ^ {2} - {\ frac {1} {120}} x ^ {3}} }}
|
...
|
---|
...
|
...
|
...
|
...
|
...
|
...
|
---|
Den første horisontale linjen tilsvarer utviklingen i hele serien. De diagonale linjene definert av likheten p + q = C , der C er en gitt positiv konstant, tilsvarer et sett med rasjonelle brøker kalt en rett linje med lik tilnærming . For eksempel, hvis C er lik 2, finner vi parene (2,0), (1,1) og (0,2). En rasjonell brøkdel av tabellen sies å være mer avansert enn en annen når koeffisienten C er høyere.
Grafen nedenfor illustrerer konvergensen av forskjellige sekvenser hentet fra Padé-tabellen. Her Exp[p,q]betegner betegnelsen tilnærmet indeks ( p , q ). Den angitte eksponensielle funksjonen Expvises i rødt. Den første raden i tabellen tilsvarer sekvensen til polynomene i hele serien. Det er illustrert i blått og er resultatet Exp[1,0], Exp[2,0], Exp[3,0]etc. Grønn og stiplet linje er det vist et resultat som svarer til den andre rad i tabellen, er det dannet approximant Exp[0,1], Exp[1,1], Exp[2,1], Exp[3,1], etc. Lilla, er fraksjoner av diagonalen: Exp[1,1], Exp[2,2], Exp[3,3]etc.
Gjentakelsesformel
Padé søker deretter å skaffe suiter fra bordet sitt. Hvis ( p n ) og ( q n ) er to økende sekvenser med par indekser, er målet å indusere sekvensen av "redusert" - allerede beregnet - av indeks ( p n , q n ), for å forstå det generelle sak. Denne gjentakelsen er også et skritt for å uttrykke den eksponensielle funksjonen i form av generaliserte fortsatte fraksjoner, og dermed rettferdiggjøre navnet " redusert " for disse tilnærminger. Eksemplet illustrert av figuren til høyre brukes av Lagrange for å oppnå et resultat av denne karakteren. I dette eksemplet, hvis f n ( x ) betegner den nte termen til sekvensen, har vi:
f0(x)=eksp[0,0]=1,f1(x)=eksp[1,0]=1+x,f2(x)=eksp[1,1]=1+12x1-12x=1+x1-12x{\ displaystyle f_ {0} (x) = \ exp _ {[0,0]} = 1, \ quad f_ {1} (x) = \ exp _ {[1,0]} = 1 + x, \ quad f_ {2} (x) = \ exp _ {[1,1]} = {\ frac {1 + {\ frac {1} {2}} x} {1 - {\ frac {1} {2} } x}} = 1 + {\ frac {x} {1 - {\ frac {1} {2}} x}}}
deretter:
f3(x)=eksp[2,1]=1+23x+16x21-13x=1+x1-12x1+16x,etc.{\ displaystyle f_ {3} (x) = \ exp _ {[2,1]} = {\ frac {1 + {\ frac {2} {3}} x + {\ frac {1} {6}} x ^ {2}} {1 - {\ frac {1} {3}} x}} = 1 + {\ frac {x} {1 - {\ cfrac {{\ frac {1} {2}} x} {1 + {\ frac {1} {6}} x}}}}, \ quad {\ text {etc.}}}
Padé studerer bare inkrementering av indekser ( p n +1 - p n , q n +1 - q n ) i de tre enkleste tilfellene: (1,0), (0,1) og (1, 1). Det første tilfellet tilsvarer en horisontal forskyvning av en boks, den andre en vertikal forskyvning av en boks og den tredje til sammenhengen mellom de to. Denne begrensningen gjør det mulig å oppnå gjentakelsesrelasjoner:
-
La ( f n ) være en sekvens av reduksjoner, hvis par av forskjellen på indeksene mellom f n +1 og f n alltid tilsvarer et av de tre tilfellene (1,0), (0,1) eller (1,1 ), så eksisterer det et gjentakelsesforhold av typen:
h(sikke+2,qikke+2)=αikke+2h(sikke,qikke)+βikke+2h(sikke+1,qikke+1)ogk(sikke+2,qikke+2)=αikke+2k(sikke,qikke)+βikke+2k(sikke+1,qikke+1){\ displaystyle h _ {(p_ {n + 2}, q_ {n + 2})} = \ alpha _ {n + 2} h _ {(p_ {n}, q_ {n})} + \ beta _ {n +2} h _ {(p_ {n + 1}, q_ {n + 1})} \ quad {\ text {and}} \ quad k _ {(p_ {n + 2}, q_ {n + 2})} = \ alpha _ {n + 2} k _ {(p_ {n}, q_ {n})} + \ beta _ {n + 2} k _ {(p_ {n + 1}, q_ { n + 1})}}
hvor α n +2 betegner et (ikke-null) monomium av grad 1 eller 2, og β n +2 et polynom av grad 0 eller 1 og med konstant betegnelse lik 1.
Følgende tabell oppsummerer de tre mulige konfigurasjonene:
De røde pilene indikerer trinnene som brukes til å gå fra f n ( x ) til f n +1 ( x ). For de to første konfigurasjonene tilsvarer de (1,0) eller (0,1), det vil si at enten graden av teller, eller den for nevneren økes med 1; for det siste økes de begge med 1. De grønne pilene indikerer trinnene som brukes til å gå fra f n +1 til f n +2 . Den forrige illustrasjonen indikerer graden av de to polynomene α n +2 ( x ) og β n +2 ( x ) som brukes til å uttrykke gjentakelsesformelen. For konfigurasjon 3 er det eneste tilfellet der β n ( x ) er en konstant at der f n ( x ), f n +1 ( x ) og f n +2 ( x ) ligger på hoveddiagonalen, d 'indeks a par ( p , p ).
Demonstrasjon
For en fast n vil vi betegne for å forenkle ( p , q ), ( r , s ) og ( u , v ) parene som tilsvarer indeksene n , n + 1 og n +2.
-
Det er to polynomer α og β slik at følgende likheter holder. Graden av disse polynomene er gitt av figuren i avsnittet:{αhs,q+βhr,s=hu,v,αks,q+βkr,s=ku,v.{\ displaystyle {\ begin {cases} \ alpha h_ {p, q} + \ beta h_ {r, s} & = h_ {u, v}, \\\ alpha k_ {p, q} + \ beta k_ { r, s} & = k_ {u, v}. \ end {cases}}}Dette Cramer-systemet har for determinant Δ = h p , q k r , s - h r , s k p , q og løsningen er:α=hu,vkr,s-hr,sku,vΔ,β=hs,qku,v-hu,vks,qΔ.{\ displaystyle \ alpha = {\ frac {h_ {u, v} k_ {r, s} -h_ {r, s} k_ {u, v}} {\ Delta}}, \ quad \ beta = {\ frac {h_ {p, q} k_ {u, v} -h_ {u, v} k_ {p, q}} {\ Delta}}.}I følge forrige avsnitt er Δ et monomium av grad p + q + 1. Det følger - av samme argument for telleren - at α er et monomium av grad 1 for konfigurasjon 1 og 2 og av grad 2 for konfigurasjon 3. Tilsvarende er β et monomium av grad 0 i konfigurasjon 1 og et polynom av grad mindre enn eller lik 1 i konfigurasjon 2 og 3 (av grad 1 generelt, men 0 hvis de tre par indeksene er på hoveddiagonalen).
-
Den konstante koeffisienten til β er
lik 1: Umiddelbar, ved identifisering av de konstante begrepene i likhetenαks,q+βkr,s=ku,v.{\ displaystyle \ alpha k_ {p, q} + \ beta k_ {r, s} = k_ {u, v}.}
Kontinuerlig brøkdel
Gjentakelsesforholdet gjør det mulig å skrive en tilnærming av Padé i form av en fortsatt brøkdel, fra en kant av bordet. Mer presist :
hvis q0=0:fikke=β0+α1∣∣β1+α2∣∣β2+⋯+αikke∣∣βikke,hvis s0=0:fikke=1∣∣β0+α1∣∣β1+⋯+αikke∣∣βikke,{\ displaystyle {\ begin {matrix} {\ text {si}} q_ {0} = 0: & f_ {n} = \ beta _ {0} + {\ frac {\ alpha _ {1} \ mid} { \ mid \ beta _ {1}}} + {\ frac {\ alpha _ {2} \ mid} {\ mid \ beta _ {2}}} + \ cdots + {\ frac {\ alpha _ {n} \ midt} {\ mid \ beta _ {n}}}, \\ {\ text {si}} p_ {0} = 0: & f_ {n} = {\ frac {1 \ mid} {\ mid \ beta _ {0}}} + {\ frac {\ alpha _ {1} \ mid} {\ mid \ beta _ {1}}} + \ cdots + {\ frac {\ alpha _ {n} \ mid} {\ mid \ beta _ {n}}}, \ end {matrix}}}
der polynomene α n og β n er definert for n ≥ 2 av forholdene i forrige avsnitt og for n lik 0 eller 1, ved følgende valg:
hvis q0=0:β0=hs0,0,α1=hs1,q1-hs0,0ks1,q1,β1=ks1,q1 ;hvis s0=0:β0=k0,q0,α1=ks1,q1-k0,q0hs1,q1,β1=hs1,q1.{\ displaystyle {\ begin {matrix} {\ text {si}} q_ {0} = 0: & \ beta _ {0} = h_ {p_ {0}, 0}, og \ alpha _ {1} = h_ {p_ {1}, q_ {1}} - h_ {p_ {0}, 0} k_ {p_ {1}, q_ {1}}, og \ beta _ {1} = k_ {p_ {1}, q_ {1}} ~; \\ {\ text {si}} p_ {0} = 0: & \ beta _ {0} = k_ {0, q_ {0}}, & \ alpha _ {1} = k_ { p_ {1}, q_ {1}} - k_ {0, q_ {0}} h_ {p_ {1}, q_ {1}} og \ beta _ {1} = h_ {p_ {1}, q_ { 1}}. \ Slutt {matrise}}}
(Hvis p 0 og q 0 begge er null, tar vi valget som fører til det enkleste uttrykket: se eksempler nedenfor.)
Den fortsatte fraksjonen sies å være regelmessig hvis polynomene α j for j > 1 alle er i samme grad, så vel som polynomene β j . Tabellene i forrige avsnitt viser at det er tre forskjellige typer.
Kontinuerlig brøkdel av den første typen
Kontinuerlige fraksjoner av den første typen oppnås med polynomer β lik 1 og α monomier av første grad. Studien av gjentakelsesrelasjonene viser at de nødvendigvis oppnås ved hjelp av en serie reduksjoner som tilsvarer den første konfigurasjonen i forrige avsnitt. Selv om det betyr å gå tilbake til kanten av bordet, merker vi at det er en for hver boks på kanten av bordet (eller to, for boksen (0, 0)). Lagrange utviklet den fra den første boksen (0, 0) med den reduserte første β 0 = h 0,0 = 1 og fulgt av de røde parene i figuren, og oppnådde:
1+x∣∣1-12x∣∣1+16x∣∣1-16x∣∣1+110x∣∣1-110x∣∣1+114x∣∣1-114x∣∣1+⋯{\ displaystyle 1 + {\ frac {x \ mid} {\ mid 1}} - {\ frac {{\ frac {1} {2}} x \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {{ \ frac {1} {6}} x \ mid} {\ mid 1}} - {\ frac {{\ frac {1} {6}} x \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {{ \ frac {1} {10}} x \ mid} {\ mid 1}} - {\ frac {{\ frac {1} {10}} x \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {{ \ frac {1} {14}} x \ mid} {\ mid 1}} - {\ frac {{\ frac {1} {14}} x \ mid} {\ mid 1}} + \ cdots}
Ved å legge merke til at e x = 1 / e - x , tilsvarer det dets symmetriske med hensyn til hoveddiagonalen, demonstrert av Gauss som et eksempel på dens fortsatte brøker for hypergeometriske funksjoner :
1∣∣1-x∣∣1+12x∣∣1-16x∣∣1+16x∣∣1-110x∣∣1+110x∣∣1-114x∣∣1+⋯.{\ displaystyle {\ frac {1 \ mid} {\ mid 1}} - {\ frac {x \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {{\ frac {1} {2}} x \ mid } {\ mid 1}} - {\ frac {{\ frac {1} {6}} x \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {{{\ frac {1} {6}} x \ midt} {\ mid 1}} - {\ frac {{\ frac {1} {10}} x \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {{\ frac {1} {10}} x \ midt} {\ mid 1}} - {\ frac {{\ frac {1} {14}} x \ mid} {\ mid 1}} + \ cdots.}
Det er mulig å konstruere andre av denne karakteren, for eksempel ved å bruke den blå serien illustrert i figuren, muligens foran (for et enklere uttrykk) av paret (0, 2).
Kontinuerlig brøkdel av den andre typen
De fortsatte brøkene i den andre kategorien tilsvarer konfigurasjon 2. De oppnås ved hjelp av en kontinuerlig bevegelse enten nedover eller til høyre. Tellerne α er første grad monomier og nevnere β er første grad polynomer med en konstant betegnelse lik 1. Tre eksempler er illustrert i figuren til venstre. Den enkleste, som tilsvarer sekvensen illustrert i grønt, har for sin reduksjon av indeks n den delsummen av serien exp ( x ), i henhold til en generell formel for Euler :
1∣∣1-x∣∣1+x-12x∣∣1+12x-13x∣∣1+13x-14x∣∣1+14x-⋯{\ displaystyle {\ frac {1 \ mid} {\ mid 1}} - {\ frac {x \ mid} {\ mid 1 + x}} - {\ frac {{\ frac {1} {2}} x \ mid} {\ mid 1 + {\ frac {1} {2}} x}} - {\ frac {{\ frac {1} {3}} x \ mid} {\ mid 1 + {\ frac {1 } {3}} x}} - {\ frac {{\ frac {1} {4}} x \ mid} {\ mid 1 + {\ frac {1} {4}} x}} - \ cdots}
Padé viser at Eulers eksempel bare tilsvarer et bestemt tilfelle av en fortsatt brøkdel av denne art. Det er faktisk en uendelig mengde av dem, nøyaktig en per kvadrat av kanten til Padé-bordet (eller to, for kvadratet (0, 0)).
Kontinuerlig brøkdel av den tredje typen
Den siste typen konfigurasjon tilsvarer den tredje som er beskrevet i avsnittet om gjentakelsesrelasjoner. Her blir passasjen fra en redusert til en annen oppnådd ved en diagonal forskyvning. Α monomialene er alltid av andre grad. Β polynomene er av første grad, med unntak av den fortsatte fraksjonen assosiert med hoveddiagonalen, i rødt i figuren (i dette tilfellet β = 1).
Lagrange oppdager den som er knyttet til den blå serien i figuren. Det gir følgende uttrykk:
1+x+12x2∣∣1-13x+136x2∣∣1-115x+1100x2∣∣1-135x+⋯{\ displaystyle 1 + x + {\ frac {{\ frac {1} {2}} x ^ {2} \ mid} {\ mid 1 - {\ frac {1} {3}} x}} + {\ frac {{\ frac {1} {36}} x ^ {2} \ mid} {\ mid 1 - {\ frac {1} {15}} x}} + {\ frac {{\ frac {1} { 100}} x ^ {2} \ mid} {\ mid 1 - {\ frac {1} {35}} x}} + \ cdots}
De eksakte formlene er:
∀ikke≥2αikke(x)=x24(2ikke-3)2ogβikke(x)=1-x(2ikke-1)(2ikke-3).{\ displaystyle \ forall n \ geq 2 \ quad \ alpha _ {n} (x) = {\ frac {x ^ {2}} {4 (2n-3) ^ {2}}} \ quad {\ text { og}} \ quad \ beta _ {n} (x) = 1 - {\ frac {x} {(2n-1) (2n-3)}}.}
Det som tilsvarer hoveddiagonalen ble oppdaget av Euler , med utgangspunkt i hans utvikling av den hyperbolske tangensfunksjonen (som Lambert vil demonstrere i full strenghet i 1761, da vil det bli et annet eksempel på Gaussisk kontinuerlig brøk ). Det er ikke strengt tatt av den tredje typen fordi nevnerne er konstanter som starter fra verdien 2 på indeksen; dette er det eneste unntaket.
1+x∣∣1-12x+112x2∣∣1+160x2∣∣1+1140x2∣∣1⋯med∀ikke≥2αikke(x)=x24(2ikke-1)(2ikke-3).{\ displaystyle 1 + {\ frac {x \ mid} {\ mid 1 - {\ frac {1} {2}} x}} + {\ frac {{\ frac {1} {12}} x ^ {2 } \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {{\ frac {1} {60}} x ^ {2} \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {{\ frac {1} {140}} x ^ {2} \ mid} {\ mid 1}} \ cdots \ quad {\ text {with}} \ quad \ forall n \ geq 2 \ quad \ alpha _ {n} (x) = { \ frac {x ^ {2}} {4 (2n-1) (2n-3)}}.}
Demonstrasjon
- Beregning for første fortsatte brøk:
Monomialet α n har formen a n x 2 og polynom β n har formen 1 + b n x . Gjentakelsesforholdet viser at for hvert naturlige tall n har vi for tellerne:
hikke+2,ikke+1=påikke+2x2hikke,ikke-1+(1+bikke+2x)hikke+1,ikke{\ displaystyle h_ {n + 2, n + 1} = a_ {n + 2} x ^ {2} h_ {n, n-1} + (1 + b_ {n + 2} x) h_ {n + 1 ,ikke}}
og det samme for nevnerne.
Ved å identifisere de dominerende koeffisientene, i teller og nevner,
{(ikke+1)!(2ikke+3)!=bikke+2ikke!(2ikke+1)!+påikke+2(ikke-1)!(2ikke-1)!,(ikke+2)!(2ikke+3)!=-bikke+2(ikke+1)!(2ikke+1)!+påikke+2ikke!(2ikke-1)!.{\ displaystyle {\ begin {cases} {\ frac {(n + 1)!} {(2n + 3)!}} & = b_ {n + 2} {\ frac {n!} {(2n + 1) !}} + a_ {n + 2} {\ frac {(n-1)!} {(2n-1)!}}, \\ {\ frac {(n + 2)!} {(2n + 3) !}} & = - b_ {n + 2} {\ frac {(n + 1)!} {(2n + 1)!}} + a_ {n + 2} {\ frac {n!} {(2n- 1)!}}. \ End {cases}}}
Ved å løse systemet , finner vi
påikke+2=14(2ikke+1)2ogbikke+2=-1(2ikke+1)(2ikke+3).{\ displaystyle a_ {n + 2} = {\ frac {1} {4 (2n + 1) ^ {2}}} \ quad {\ text {and}} \ quad b_ {n + 2} = {\ frac {-1} {(2n + 1) (2n + 3)}}.}
- Beregning for den andre fortsatte fraksjonen:
Med de samme notasjonene som for forrige beregning, men med tanke på at her, β n +2 = 1, har vi
hikke+2,ikke+2=påikke+2x2hikke,ikke+hikke+1,ikke+1.{\ displaystyle h_ {n + 2, n + 2} = a_ {n + 2} x ^ {2} h_ {n, n} + h_ {n + 1, n + 1}.}
Ved å identifisere de dominerende koeffisientene, finner vi
påikke+2=14(2ikke+1)(2ikke+3).{\ displaystyle a_ {n + 2} = {\ frac {1} {4 (2n + 1) (2n + 3)}}.}
Konvergens av redusert
De fortsatte fraksjonene av de tre foregående typene er alle jevnt konvergerende på en hvilken som helst avgrenset del av det komplekse planet . Mer presist :
-
La ( p n ) og ( q n ) være to sekvenser av positive heltall, hvorav minst en har en tendens til uendelig. Hvis forholdet p n / q n har en tendens til å være begrenset, endelig eller uendelig, konvergerer sekvensen av rasjonelle fraksjoner h ( p n , q n ) / k ( p n , q n ) jevnt på ethvert avgrenset sett.
Både teller og nevner har en tendens til hele seriene. Hvis p n / q n har en grense ω, så:
limikke→∞h(sikke,qikke)(x)=eksp(ωx1+ω)oglimikke→∞k(sikke,qikke)(x)=eksp(-x1+ω),{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} h _ {(p_ {n}, q_ {n})} (x) = \ exp \ left ({\ frac {\ omega x} {1+ \ omega }} \ høyre) \ quad {\ text {og}} \ quad \ lim _ {n \ to \ infty} k _ {(p_ {n}, q_ {n})} (x) = \ exp \ left ( {\ frac {-x} {1+ \ omega}} \ høyre),}
disse to formlene betyr, i tilfelle ω er uendelig, at telleren har en tendens til den eksponensielle funksjonen og nevneren mot den konstante funksjonen 1.
Demonstrasjon
Hvis grensen ω for sekvensen (ω n ) = ( p n / q n ) er uendelig, kommer vi tilbake til tilfellet der den er null ved å erstatte x med - x og ved å invertere bokstavene p og q samt h og k . Anta nå at ω er endelig. Sekvensen ( q n ) har da en tendens til uendelig.
-
Hvis a k, n og b k, n betegner koeffisientene til vilkårene for k- th graden av polynomene h ( p n , q n ) og k ( p n , q n ) , så:limikke→∞påk,ikke=1k!(ω1+ω)koglimikke→∞bk,ikke=1k!(-11+ω)k.{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} a_ {k, n} = {\ frac {1} {k!}} \ left ({\ frac {\ omega} {1+ \ omega}} \ right ) ^ {k} \ quad {\ text {et}} \ quad \ lim _ {n \ to \ infty} b_ {k, n} = {\ frac {1} {k!}} \ left ({\ frac {-1} {1+ \ omega}} \ høyre) ^ {k}.}Per definisjon,påk,ikke={sikke!(sikke+qikke-k)!(sikke-k)!(sikke+qikke)!k! hvis sikke≥k0 Hvis ikke}=1k!∏Jeg=0k-1sikke-Jegsikke+qikke-Jeg{\ displaystyle a_ {k, n} = {\ begin {Bmatrix} {\ frac {p_ {n}! (p_ {n} + q_ {n} -k)!} {(p_ {n} -k)! (p_ {n} + q_ {n})! k!}} & {\ text {si}} p_ {n} \ geq k \\ 0 & {\ text {ellers}} \ end {Bmatrix}} = { \ frac {1} {k!}} \ prod _ {i = 0} ^ {k-1} {\ frac {p_ {n} -i} {p_ {n} + q_ {n} -i}}}ogbk,ikke={(-1)kqikke!(sikke+qikke-k)!(qikke-k)!(sikke+qikke)!k! hvis qikke≥k0 Hvis ikke}=(-1)kk!∏Jeg=0k-1qikke-Jegsikke+qikke-Jeg.{\ displaystyle b_ {k, n} = {\ begin {Bmatrix} {\ frac {(-1) ^ {k} q_ {n}! (p_ {n} + q_ {n} -k)!} {( q_ {n} -k)! (p_ {n} + q_ {n})! k!}} & {\ text {si}} q_ {n} \ geq k \\ 0 & {\ text {ellers}} \ end {Bmatrix}} = {\ frac {(-1) ^ {k}} {k!}} \ prod _ {i = 0} ^ {k-1} {\ frac {q_ {n} -i} {p_ {n} + q_ {n} -i}}.}Vi avslutter med å merke oss at for hver av k- verdiene jeg vurderte,sikke-Jegsikke+qikke-Jeg=ωikke-Jeg/qikkeωikke+1-Jeg/qikke→ωω+1ogqikke-Jegsikke+qikke-Jeg=1-Jeg/qikkeωikke+1-Jeg/qikke→1ω+1.{\ displaystyle {\ frac {p_ {n} -i} {p_ {n} + q_ {n} -i}} = {\ frac {\ omega _ {n} -i / q_ {n}} {\ omega _ {n} + 1-i / q_ {n}}} \ til {\ frac {\ omega} {\ omega +1}} \ quad {\ text {et}} \ quad {\ frac {q_ {n} -i} {p_ {n} + q_ {n} -i}} = {\ frac {1-i / q_ {n}} {\ omega _ {n} + 1-i / q_ {n}}} \ til {\ frac {1} {\ omega +1}}.}
La E være et avgrenset sett, A en øvre grense for E og ε en strengt positiv reell.
-
De to sekvensene ( h ( p n , q n ) ( x )) og ( k ( p n , q n ) ( x )) konvergerer jevnt på E så vel som deres forhold:
La oss fikse et naturlig heltall m slik at∑k=m∞PÅkk!≤ε3.{\ displaystyle \ sum _ {k = m} ^ {\ infty} {\ frac {A ^ {k}} {k!}} \ leq {\ frac {\ varepsilon} {3}}.}Deretter, for alle naturlige tall n (ved bruk av a , n ≤ 1 / k ! Og ω / (1+ ω) ≤ 1),∀x∈E|h(sikke,qikke)(x)-eksp(ωx1+ω)|≤∑k=0∞PÅk|påk,ikke-1k!(ω1+ω)k|≤Rikke+2ε3{\ displaystyle \ forall x \ i E \ quad \ left | h _ {(p_ {n}, q_ {n})} (x) - \ exp \ left ({\ frac {\ omega x} {1+ \ omega}} \ høyre) \ høyre | \ leq \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} A ^ {k} \ left | a_ {k, n} - {\ frac {1} {k!}} \ left ({\ frac {\ omega} {1+ \ omega}} \ right) ^ {k} \ right | \ leq R_ {n} + {\ frac {2 \ varepsilon} {3}}}medRikke=∑0≤k<mPÅk|påk,ikke-1k!(ω1+ω)k|.{\ displaystyle R_ {n} = \ sum _ {0 \ leq k <m} A ^ {k} \ left | a_ {k, n} - {\ frac {1} {k!}} \ left ({\ frac {\ omega} {1+ \ omega}} \ right) ^ {k} \ right |.}Den forrige proposisjonen viser at det eksisterer N slik at for alle n ≥ N , R n ≤ ε / 3. Vi kan utlede:∀ikke≥IKKE∀x∈E|h(sikke,qikke)(x)-eksp(ωx1+ω)|≤ε.{\ displaystyle \ forall n \ geq N \ quad \ forall x \ i E \ quad \ left | h _ {(p_ {n}, q_ {n})} (x) - \ exp \ left ({\ frac { \ omega x} {1+ \ omega}} \ høyre) \ høyre | \ leq \ varepsilon.}Så vi viste den første av tre annonserte konvergens jevnt på E . Den andre er vist på en lignende måte og den tredje blir trukket fra den, siden | exp (- x / (1+ ω)) | reduseres over E med exp (- A / (1+ ω))> 0.
Merknader og referanser
-
J.-L. Lagrange, Om bruk av fortsatte brøker i Integral Calculus , New Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres, t. 4, s. 301 (1779).
-
(la) CF Gauss , “ Disquisitiones generales circa seriem infinitam ...: Sectio secunda - Fractiones continuae ” , Kommentarer Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis recentiores ,1813, s. 16 ( les online ).
-
H. Pade , " Minne om utvikling fortsatte brøkdel av den eksponensielle funksjonen " Asens , 3 E- serien,1899, s. 395-426 ( les online ).
-
Henry Pade , " On the approximation of a function by rational " Asens , 3 E series, vol. 9,1892, s. 3-93 ( les online )( avhandling ).
-
Denne tabellen er hentet fra Padé 1892 , s. 16.
-
(La) L. Euler, Introductio in analysin infinitorum , t. 1, 1748, para. 368-373 .
-
Padé 1899 , s. 416, tilskriver den Lagrange og nevner ikke lenger Lambert. I s. 38-39 av H. Pade , " On the approximate fractions of a function by rational " Asens , 3 E series, vol. 9,1892, s. 3-93 ( les online ), siterte han bare denne forløperen "som å ha gitt en kontinuerlig brøk utvidelse av noen funksjoner" , funnet av Lagrange "i den form som er best egnet for oss" .
Se også
Ekstern lenke
S. Khémira, Hermite-Padé approximants, determinants of interpolation and Diophantine approximation , doktoravhandling ved University of Paris 6 , 2005
Bibliografi
-
(en) Claude Brezinski og Michela Redivo-Zaglia, Ekstrapoleringsmetoder: Teori og praksis , Nord-Holland, 1991 ( ISBN 978-0-44488814-3 )
-
(no) George A. Baker og Peter Graves-Morris, Padé Approximants , koll. "Encyclopedia of matematikk og dens Applications" (nr 59), 1996, to th ed. [ les online ] ( ISBN 978-0-521-45007-2 )
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">