I matematikk er det avhengige valgaksiomet , betegnet DC , en svak form for valgaksiomet (AC), som er tilstrekkelig til å utvikle en stor del av reell analyse . Den ble introdusert av Bernays .
Aksiomet kan angis som følger: for ethvert sett som ikke er tomt X , og for ethvert binært forhold R på X , hvis hele definisjonen av R er X hel (det vil si, hvis for alle a ∈ X , eksisterer det ved minst en b ∈ X slik at aRb ) så eksisterer det en sekvens ( x n ) av elementer av X slik at for alle n ∈ N , x n Rx n +1 . Merk at dette aksiomet ikke er nødvendig for å danne den endelige følgen av de første n- begrepene for hvert heltall n . Det er bare nødvendig å danne hele den uendelige serien.
I det spesielle tilfelle der X er et sett av reelle tall , er det aksiom noen ganger bemerkes DC- R .
DC er den minst kraftige varianten av AC som er nødvendig for å vise eksistensen av en sekvens konstruert av en transfinitt rekursjon av tellbar lengde og hvor et valg må tas i hvert trinn. Et eksempel på en teorem er Königs lemma , som sier at et uendelig forgreningstre har en uendelig gren.
DC tilsvarer (lagt til ZF-teorien ) til utsagnet om at hvert beskjæret ( ikke-fritt) tre har en gren. Det tilsvarer også Baires teorem for komplette metriske mellomrom .
I motsetning til AC i sin fulle formulering er DC utilstrekkelig (i ZF) til å demonstrere at det eksisterer et ikke-målbart sett med virkeligheter , eller at det eksisterer et sett med virkeligheter som ikke har eiendommen til Baire eller uten eiendommen den perfekte sett (i) .
Den aksiom tellbart valg lett utledes fra det aksiom avhengige valg (vurdere, for en sekvens ( A n ) av nonempty sett, forholdet R spissen er definert ved: SRT hvis s er lik t til fratatt sin siste element). Det er mye vanskeligere å bevise at denne implikasjonen er streng.