Øvre og nedre grense

I matematikk griper forestillingene om øvre og nedre grense for et sett med reelle tall inn i analysen , som et spesielt tilfelle av følgende generelle definisjon: den øvre grensen (eller overdelen ) til en del av et (delvis) sett bestilt er den minste av dens øvre grense . En slik terminal eksisterer ikke alltid, men hvis den eksisterer, er den unik. Det hører ikke nødvendigvis til det partiet som vurderes. Dualalt er den nedre grensen (eller den minimale ) av en del den største av dens nedre grense.

Når det bestilte settet er det fra virkeligheten, er eksistensen av en øvre grense sikret for enhver uforsiktig og avgrenset del : vi sier at ℝ har egenskapen til den øvre grensen . Den samme egenskapen sikrer også eksistensen av en nedre grense for ethvert ugyldig sett redusert med reelle tall. Den øvre og nedre grense for et ikke-fritt begrenset intervall på ℝ er ganske enkelt dens ekstremiteter.

Den øvre og nedre grense for en funksjon er grensene for alle dens verdier.

NB: De engelske uttrykkene øvre og nedre grense tilsvarer ikke "øvre og nedre", men henholdsvis øvre og nedre grense ; "Øvre grense" oversettes til minst øvre eller overordnede og "nedre grense" til størst nedre grense eller minimum .

Definisjon

Generell sak

I en delvis ordnet sett E , den øvre terminal av en del F av E er, hvis det er, jo mindre de øvre grensene av F i e . Det er klassisk bemerket sup ( F ), og preget av: M = sup ( F ) hvis

M er en øvre grense for F : x ≤ M for alle x av F , og
det er den minste: for hele y av E , hvis y er en øvre grense for F (dvs. hvis for alle x av F , x ≤ y ), så M ≤ y .

Merknader

Koblingen mellom begrepet øvre grense og det største elementet (jf. Begynnelsen av avsnittet "Eksempler" nedenfor ) skyldes at hvis M tilhører F , blir punkt 2 ovenfor automatisk sjekket.
Hvis M = sup ( F ), for et gitt element y av E :
- punkt 2. er omskrevet:for y ≥ M , er det tilstrekkelig at y stort hvert element av F ;
- i samsvar med punkt 1. og ved transitivitet på ≤, er det motsatte sant: hvis y ≥ M , da y y hvert element av F , eller igjen (ved motsatt ):slik at y ikke er avgrenset av M , er det tilstrekkelig at det i F finnes et element som ikke er avgrenset av y .

På lignende måte er den nedre grense av F i E er, hvis den finnes, den største nedre skranke for F . Det er klassisk notert inf ( F ) og preget av doble egenskaper (ved å reversere ulikhetsretningen).

En del, til og med økt , av et ordnet sett har ikke nødvendigvis en øvre grense, men hvis det gjør det, er det unikt . Tilsvarende er dens nedre grense, hvis den eksisterer, unik.

Tilfelle av total ordre

Vi kan alltid, i den forrige definisjonen, erstatte punkt 2. med det motsatte . Når rekkefølgen på E er total , trekker vi ut at et element M av E er den øvre grensen for del F hvis og bare hvis:

for alle x av F, x ≤ M og
for alle y <M i E , finnes det i F minst en x> y .

Tilfelle av reals

Når E = ℝ (utstyrt med vanlig rekkefølge), kan vi også erstatte “for alle y <M ” med “for alle y av formen M –ε med ε> 0”. En reell M er derfor den øvre grensen for en del F av ℝ hvis og bare hvis:

for alle x av F, x ≤ M og
for ethvert reelt ε> 0, finnes det i F minst en x> M –ε.

Øvre grense eiendom

Vi sier at et ordnet sett E har egenskapen til den øvre grensen, hvis noen ikke-frivillig og avgrenset del av E har en øvre grense.

Dette er spesielt tilfelle for det bestilte settet ℝ med reelle tall .

Det bestilte settet ℚ av rasjonelle har ikke denne egenskapen

Det er tilstrekkelig å vise at vi i ℚ kan finne en del A , ikke-fri og avgrenset, som ikke har en øvre grense.

Ta hensyn til delmengden for dette . A er tydelig merket opp, for eksempel med 2. La b være en rasjonell øvre grense for A , og vise en ny rasjonell øvre grense c < b , som vil vise at A ikke har en lavere rasjonell øvre grense. $A = \ {x \ in \ mathbb {Q} \; | \; x ^ {2} \ leq 2 \}$

Legg først merke til at 1 tilhører A derfor b ≥ 1> 0, og vurder det rasjonelle (konstruert ved å hente inspirasjon fra Herons metode ). Da vi har c 2 ≥ 2, som vi trekker ut av: ${\ displaystyle c = {\ tfrac {b} {2}} + {\ tfrac {1} {b}}> 0}$ ${\ displaystyle c ^ {2} -2 = \ left ({\ tfrac {b ^ {2} -2} {2b}} \ right) ^ {2}}$

på den ene siden at c er en øvre grense for A ;
på den annen side at , slik at hva (i henhold til definisjonen av c ) blir omskrevet: b 2 ≥ 2. Siden ℚ ikke inneholder en kvadratrot av to , har vi til og med b 2 > 2, dette som (igjen i henhold til definisjonen av c ) oversettes til: c < b . ${\ displaystyle {\ tfrac {2} {c}} \ i A}$ ${\ displaystyle b \ geq {\ tfrac {2} {c}}}$

Eksempler

Hvis F har en størst element (spesielt hvis F er en begrenset delmengde av et sett E helt beordret som ℝ), og denne maksimale element er den øvre grense for F . I dette tilfellet, sup ( F tilhører) til F . Motsatt, hvis sup ( F ) som finnes og representerer F , og deretter sup ( F ) er det største element i F .
I settet med reelle tall:
- enhver ikke-tom hoveddel av settet med reelle tall har en øvre grense;
- en uforbedret del (som ℤ ) har ikke en øvre grense;
- det tomme settet har ingen øvre eller nedre grense;
- intervallet] 0, 1 [innrømmer 0 som nedre grense og 1 som øvre grense;
- settet {(–1) n + 1 / n | n = 1, 2, 3 ...} innrømmer –1 som nedre grense og 3/2 som maksimumselement (derfor som øvre grense);
- settet med rasjonelle tall hvis kvadrat er mindre enn 2 innrømmer √ 2 som den øvre grensen og - √ 2 som den nedre grensen;
- den øvre grensen av summen A + B av to ikke- begrensede avgrensede sett A og B er lik summen av deres respektive øvre grenser;
- forestillingene om infimum og supremum er to: inf ( S ) = –sup (- S ), der - S = {- s | s ∈ S }.
I settet med rasjonelle tall:
- settet med rasjonelle tall hvis kvadrat er mindre enn 2 er en avgrenset del av ℚ som ikke har noen øvre grense.
I den fullførte virkelige linjen ℝ = ℝ ∪ { –∞ , + ∞ }:
- de ufrie og avgrensede delene av ℝ har samme øvre grense som i ℝ;
- en ikke-fri del, men ikke avgrenset av et reelt tall, innrømmer $+ \infty$ som øvre grense;
- det tomme settet har $-\infty$ som en øvre grense, fordi ethvert element i ℝ er en øvre grense for det tomme settet og den minste av dem er $-\infty$ (og det har $+ \infty$ som en nedre grense).
Et gitter er et ordnet sett der hvert par har en øvre og en nedre grense. Et gitter sies å være komplett hvis hver av delene har en øvre og en nedre grense (denne tilstanden er faktisk overflødig). For eksempel er ℝ et ikke-komplett gitter, mens ℝ er et komplett gitter.
For ethvert ikke-upassende sett X er derfor settet ℝ X av kartlegginger fra X til ℝ (utstyrt med produktordren ) fullført. Dermed har enhver familie $( f i ) i \in I$ av kartlegginger fra X til ℝ en øvre og en nedre grense . Det følger av deres definisjon at for alle $x$ $\in$ $X$ , ${\ displaystyle \ sup _ {i \ i I} f_ {i}}$ ${\ displaystyle \ inf _ {i \ i I} f_ {i}}$ $\ left (\ sup _ {{i \ i I}} f_ {i} \ høyre) (x) = \ sup _ {{i \ i I}} \ venstre (f_ {i} (x) \ høyre) \ quad {\ text {et}} \ quad \ left (\ inf _ {{i \ in I}} f_ {i} \ right) (x) = \ inf _ {{i \ in I}} \ left (f_ {i} (x) \ høyre).$ Dermed er den øvre konvolutten til en familie av funksjoner ingenting annet enn dens øvre grense.

Assosiativitet

De øvre grensene - og på samme måte de nedre grensene - tilfredsstiller følgende egenskapen til assosiativitet :

I et ordnet sett, la ( F t ) t ∈ T være en familie av deler som hver har en øvre grense. Så

{\ displaystyle \ sup _ {t \ in T} \ left (\ sup (F_ {t}) \ right) = \ sup \ left ({\ cup _ {t \ in T} F_ {t}} \ right) ,}

i den forstand at venstre side av likheten eksisterer hvis og bare hvis høyre side eksisterer, og i dette tilfellet er de like.

Demonstrasjon

Betegn med y t (for hver indeks t ) den øvre grensen til F t , Y settet til alle disse y t og F foreningen av F t . Det er tilstrekkelig å verifisere at de to settene Y og F har samme sett med øvre grense.

Alle øvre grenser av F majoriserer hver del F t slik at hver øvre grense y t , slik at Y majoriseres .
Alle øvre grense for Y majorises hver y t og en fortiori hver del F t , slik at deres møte majorises F .

I et komplett gitter som ℝ - jfr. § “Eksempler” ovenfor - utsagnet kan forenkles (de øvre grensene eksisterer alltid) og man trekker for eksempel ut for en dobbeltindeksert familie $( x s, t )$ av elementene i gitteret:

{\ displaystyle \ sup _ {s \ in S} \ left (\ sup _ {t \ in T} (x_ {s, t}) \ right) = \ sup _ {t \ in T} \ left (\ sup _ {s \ i S} (x_ {s, t}) \ høyre).}

Merknader og referanser

Denne artikkelen er helt eller delvis hentet fra artikkelen med tittelen " Infimum " (se listen over forfattere ) .

( fr ) Denne artikkelen er delvis eller helt hentet fra Wikipedia-artikkelen på engelsk med tittelen " Infimum " ( se listen over forfattere ) .

Gustave Choquet , analysekurs, bind II: topologi , s. 129-130 av den engelske oversettelsen .
(en) DA Vladimirov, Boolean Algebras in Analysis , Springer ,2002( les online ) , s. 5bare sier og beviser "bare hvis", under den overflødige hypotesen T ikke tom.

Se også

Relaterte artikler

Ekstern lenke

(no) " Infimum " , på PlanetMath