Abelsk kategori

I matematikk danner de abelske kategoriene en familie av kategorier som inneholder de abeliske gruppene . Deres systematiske studie ble innstiftet av Alexandre Grothendieck for å belyse koblingene som eksisterer mellom forskjellige kohomologiske teorier , som kohomologi av bunter eller kohomologi av grupper . Enhver abelsk kategori er additiv .

Definisjon

En abelsk kategori er en kategori der vi kan legge til pilene og definere begrepene kjerne , kokel og bilde for enhver pil .

Mer presist, en abelsk kategori er en kategori som tilfredsstiller følgende aksiomer: ${\ mathfrak {A}}$

for alle gjenstander og i , er utstyrt med en abelsk gruppestruktur ; $X$ $Y$ ${\ mathfrak {A}}$ $\ mathrm {Hom} (X, Y)$
for alle gjenstander , og komposisjonen $X$ $Y$ $Z$

{\ mathrm {Hom}} (Y, Z) \ times {\ mathrm {Hom}} (X, Y) \ rightarrow {\ mathrm {Hom}} (X, Z)

er bilinær;

enhver pil innrømmer en kjerne, en kokel og et bilde i følgende betydning: enten en pil, f:X→Y{\ displaystyle f: X \ rightarrow Y} $f: X \ høyre pil Y$
- en kjerne av f er et objekt K av og en pil slik at og slik at for ethvert objekt av og hvilken som helst pil slik at det eksisterer en unik pil slik at ; med andre ord følgende diagram bytter: ${\ mathfrak {A}}$ $k: K \ høyre pil X$ $f \ circ k = 0$ $K '$ ${\ mathfrak {A}}$ $k ': K' \ høyre pil X$ $f \ circ k '= 0$ $u: K '\ rightarrow K$ $k '= k \ circ u$
- en kokel av er et objekt av og en pil slik at og slik at for ethvert objekt av og hvilken som helst pil slik at det eksisterer en unik pil slik at , $f$ $N ^ {*}$ ${\ mathfrak {A}}$ $p: Y \ rightarrow N ^ {*}$ $p \ circ f = 0$ $PÅ$ ${\ mathfrak {A}}$ $g: Y \ høyre pil A.$ $g \ circ f = 0$ $\ overline {g}: N ^ {{*}} \ rightarrow A.$ $g = \ overline {g} \ circ p$
- et bilde av er et objekt og en pil som er en kjerne av og en pil som er en kjerne av ; dessuten må vi ha sammensetningen lik . $f$ $Jeg$ $Jeg \ rightarrow Y$ $Y \ rightarrow N ^ {*}$ $X \ rightarrow I$ ${\ displaystyle K \ rightarrow X}$ $X \ rightarrow I \ rightarrow Y$ $f$

Hvis kjerner eksisterer, er de alle isomorfe, og det samme for kokkerner. Dermed er bildet, hvis det eksisterer, godt definert.

Kategorien abeliske grupper.
Kategorien av komplekser av abeliske grupper.
Kategorien av moduler til venstre (eller den for moduler til høyre) på en ring.
Kategorien pre - sheaves i abelske grupper på et topologisk rom , eller mer generelt: kategorien av funktorer i en liten kategori i en abelian-kategori.
Kategorien skiver i abeliske grupper på et topologisk rom.

Roger Godement , Algebraic Topology and Theory of Sheaves , koll. "Publikasjoner ved Institutt for matematikk ved Universitetet i Strasbourg" ( n o 13), Hermann , 1964
Alexander Grothendieck , “ On Some Points of Homological Algebra ,” The Tohoku Mathematical Journal , vol. 9,1957, s. 119–221 ( matematiske anmeldelser 0102537 ). Denne artikkelen, ofte sitert som " Article Tohoku (in) " eller bare "Tohoku", introduserte aksiomene til abelske kategorier.

Neil Schlager og Josh Lauer , Science and Its Times: 1950-nåtid. Volum 7 av vitenskapen og dens tider: Forstå den sosiale betydningen av vitenskapelig oppdagelse , Gale Group,2000( ISBN 9780787639396 ) , s. 251.