Kategori av abeliske grupper

I matematikk er kategorien abeliske grupper en konstruksjon som abstrakt redegjør for egenskapene som er observert i algebra i studien av abeliske grupper .

Definisjon

Kategori av abeliske grupper

Den kategori av abelsk gruppe er kategorien Ab definert som følger:

Objektene er de abeliske gruppene;
De morphisms mellom objekter er morphisms .

Det er en full underkategori av kategorien GRP- grupper .

Kategorien abeliske grupper er identifisert med kategorien moduler på : $\ mathbb {Z}$

\ mathrm {Ab} \ simeq \ mathbb {Z} {\ text {-}} \ mathrm {Mod}

Kategorier beriket på Ab

Kategorien Ab er monoidal , og gjør det derfor mulig å definere en beriket struktur. De anrikede kategoriene på Ab kalles preadditive (en) .

Tillegg

Vi har en naturlig glemmefunksjon U på Ab som består i å "glemme" gruppestrukturen . Denne funksjonen innrømmer en venstre-tillegg representert av den gratis funksjonen som forbinder med et sett den abeliske gruppen fritt generert av dette settet. Kategorien Ab er derfor konkret . $U: \ mathrm {Ab} \ to \ mathrm {Set}$ $F: \ mathrm {Set} \ to \ mathrm {Ab}$

Egenskaper i kategorien abeliske grupper

Kategoriske egenskaper

Ab er konkret;
Ab er en komplett og co-komplett kategori;
Ab er for-additiv og additiv ;
Ab er en abelsk kategori , spesielt kan man der definere en forestilling om nøyaktig sekvens ;
Ab er en flettet monoid kategori , med tensorproduktet på som det monoidale produktet, og en monoid kategori for den direkte summen ; $\ mathbb {Z}$
Disse to strukturene er kompatible på Ab , så det er en bimonoidal kategori;
Ab er ikke en lukket kartesianer , så det er ikke en topos ;
Ab er en kategori av Grothendieck (en) ;

Objekter

Det første , siste og null- objektet til Ab er den trivielle gruppen 1 ;
De injiserende gjenstandene (en) til Ab er delbare grupper ;
De projiserende objektene (in) er abeliske frie grupper ;
Ab har ikke et eksponensielt objekt ;
Den projiserende generatoren til Ab er ; $\ mathbb {Z}$
Den injiserende kogeneratoren til Ab er ; $\ mathbb {Q} / \ mathbb {Z}$

Morfismer

De monomorphisms er injektiv morphisms grupper;
De epimorphisms er surjektiv morphisms grupper;
De isomorphisms er bijektive morphisms grupper;

Grenser

Det produkt i Ab er det direkte produkt av grupper;
Samproduktet i Ab tilsvarer den direkte summen av grupper;
Den kjerne (en) svarer til kjernen i algebraisk betydning ;
Kokelen til en morfisme f : A → B er kvotientgruppen B / f ( A ).

Vurdering og referanse

Merk

Dette er Baers kriterium for injeksjonsmoduler .

Henvisning

(no) Saunders Mac Lane , kategorier for arbeidsmatematikeren [ detalj av utgaven ]