Trigonometrisk sirkel

I matematikk er den trigonometriske sirkelen en sirkel som brukes til å illustrere og definere forestillinger som vinkel- , radian- og trigonometriske funksjoner  : cosinus , sinus , tangens . Dette er sirkelen hvis radius er lik 1 og som er sentrert på opprinnelsen til koordinatsystemet , i det vanlige planet utstyrt med et ortonormalt koordinatsystem .

Trigonometriske funksjoner på sirkelen

La være et ortonormalt koordinatsystem for det euklidiske planet . (O,Jeg→,ȷ→){\ displaystyle (O, {\ vec {\ imath}}, {\ vec {\ jmath}})}

La M være et punkt i den trigonometriske sirkelen med koordinater ( x , y ) og dens tilhørende vektor. Hvis en reell t er et mål på vinkelen da u→=OM→{\ displaystyle {\ vec {u}} = {\ overrightarrow {OM}}} (Jeg→,u→){\ displaystyle \ left ({\ vec {\ imath}}, {\ vec {u}} \ right)}x=cos⁡(t) og y=synd⁡(t){\ displaystyle x = \ cos (t) {\ text {et}} y = \ sin (t)}.

og den kartesiske ligningen av sirkelen gir umiddelbart en kjent trigonometrisk identitet :

cos2⁡(t)+synd2⁡(t)=1{\ displaystyle \ cos ^ {2} (t) + \ sin ^ {2} (t) = 1 \, \!}

Enhetssirkelen kan også gi en intuitiv måte å innse at sinus- og cosinusfunksjoner er periodiske funksjoner som tilfredsstiller relasjonene:

∀t∈R∀k∈Zcos⁡(t+2kπ)=cos⁡(t) og synd⁡(t+2kπ)=synd⁡(t).{\ displaystyle \ forall t \ in \ mathbb {R} \ quad \ forall k \ in \ mathbb {Z} \ quad \ cos (t + 2k \ pi) = \ cos (t) {\ text {and}} \ sin (t + 2k \ pi) = \ sin (t).}

Disse likhetene tolkes av det faktum at punktet ( x , y ) forblir det samme etter å ha lagt til eller trukket et helt tallmultipel på 2π og dermed utført flere komplette sirkelsvingninger. Når definert fra en rett trekant , gir verdiene til sinus, cosinus og andre trigonometriske funksjoner bare mening for vinkler mellom 0 og π / 2 rad , men i den trigonometriske sirkelen får deres verdier en betydning i enhver reell.

Den vinkelmåler er et måleinstrument materialisere trigonometriske sirkel.

Bemerkelsesverdige verdier

Centesimal vinkel	0 °	33,3 °	50 °	66,7 °	100 °	133,3 °	150 °	166,7 °	200 °	233,3 °	250 °	266,7 °	300 °	333,3 °	350 °	366,7 °	400 °
Sexagesimal vinkel	0	30 °	45 °	60 °	90 °	120 °	135 °	150 °	180 °	210 °	225 °	240 °	270 °	300 °	315 °	330 °	360 °
Vinkel i radianer	0{\ displaystyle 0}	π6{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {6}}}	π4{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {4}}}	π3{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {3}}}	π2{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2}}}	2π3{\ displaystyle {\ frac {2 \ pi} {3}}}	3π4{\ displaystyle {\ frac {3 \ pi} {4}}}	5π6{\ displaystyle {\ frac {5 \ pi} {6}}}	π{\ displaystyle \ pi}	7π6{\ displaystyle {\ frac {7 \ pi} {6}}}	5π4{\ displaystyle {\ frac {5 \ pi} {4}}}	4π3{\ displaystyle {\ frac {4 \ pi} {3}}}	3π2{\ displaystyle {\ frac {3 \ pi} {2}}}	5π3{\ displaystyle {\ frac {5 \ pi} {3}}}	7π4{\ displaystyle {\ frac {7 \ pi} {4}}}	11π6{\ displaystyle {\ frac {11 \ pi} {6}}}	2π{\ displaystyle 2 \ pi}
Cosine (x akse)	1{\ displaystyle 1}	32{\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {3}} {2}}}	22{\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {2}} {2}}}	12{\ displaystyle {\ frac {1} {2}}}	0{\ displaystyle 0}	-12{\ displaystyle - {\ frac {1} {2}}}	-22{\ displaystyle - {\ frac {\ sqrt {2}} {2}}}	-32{\ displaystyle - {\ frac {\ sqrt {3}} {2}}}	-1{\ displaystyle -1}	-32{\ displaystyle - {\ frac {\ sqrt {3}} {2}}}	-22{\ displaystyle - {\ frac {\ sqrt {2}} {2}}}	-12{\ displaystyle - {\ frac {1} {2}}}	0{\ displaystyle 0}	12{\ displaystyle {\ frac {1} {2}}}	22{\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {2}} {2}}}	32{\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {3}} {2}}}	1{\ displaystyle 1}
Sinus (y-akse)	0{\ displaystyle 0}	12{\ displaystyle {\ frac {1} {2}}}	22{\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {2}} {2}}}	32{\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {3}} {2}}}	1{\ displaystyle 1}	32{\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {3}} {2}}}	22{\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {2}} {2}}}	12{\ displaystyle {\ frac {1} {2}}}	0{\ displaystyle 0}	-12{\ displaystyle - {\ frac {1} {2}}}	-22{\ displaystyle - {\ frac {\ sqrt {2}} {2}}}	-32{\ displaystyle - {\ frac {\ sqrt {3}} {2}}}	-1{\ displaystyle -1}	-32{\ displaystyle - {\ frac {\ sqrt {3}} {2}}}	-22{\ displaystyle - {\ frac {\ sqrt {2}} {2}}}	-12{\ displaystyle - {\ frac {1} {2}}}	0{\ displaystyle 0}

(De som er interessert i en mer fullstendig tabell kan se de nøyaktige trigonometriske verdiene i wikiversitetsbiblioteket)

Den trigonometriske sirkelen og polar sporing

Den trigonometriske sirkelen er et enkelt spesialtilfelle av representasjonen i polare koordinater for et punkt M i planet. For paret kartesiske komponenter ( x , y ) erstatter vi et par ( r , θ), hvor r er avstanden, positiv, fra M til opprinnelsen, og θ et mål i radianer av den orienterte vinkelen . Denne tilnærmingen gjør det da mulig å definere den trigonometriske sirkelen som stedet for punktene som tilfredsstiller i polare koordinater r = 1. (Jeg→,OM→){\ displaystyle ({\ vec {i}}, {\ overrightarrow {OM}})}

Se også

Enhetssirkel