Tilkobling etter buer

I matematikk , og nærmere bestemt i topologi , er tilkobling av buer en finjustering av begrepet sammenheng . Et topologisk rom sies å være forbundet med buer hvis to punkter alltid kan kobles sammen med en sti . Selv om tilkobling er den grunnleggende forestillingen, er tilkobling av buer mer intuitiv, og ofte blir den beste måten å bevise sammenheng.

Stier

Før du definerer tilkoblingen med buer, er det nødvendig å definere det som kalles "koble sammen med en bane". Avhengig av innstillingen man befinner seg i, kan man vurdere bestemte veier.

Hvis E er et topologisk rom, og hvis x og y er to punkter av E , kaller vi opprinnelse x og endesti y et kontinuerlig kart slik at og . γ:[0,1]→E{\ displaystyle \ gamma: [0,1] \ rightarrow E}γ(0)=x{\ displaystyle \ gamma (0) = x}γ(1)=y{\ displaystyle \ gamma (1) = y}

Vi sier at x og y er koblet sammen hvis det er en opprinnelsessti x og slutten y .

The relation "  x er koblet til y  " er en ekvivalent forhold på E , hvis ekvivalens klasser kalles relaterte komponenter ved buer av E .

Demonstrasjon

• x er relatert til x , takket være den konstante banen for alt;γ(t)=x{\ displaystyle \ gamma (t) = x}t∈[0,1]{\ displaystyle t \ in [0,1]}
• hvis x er knyttet til y så er y knyttet til x , takket være motsatt vei for alt  ;γ¯(t)=γ(1-t){\ displaystyle {\ overline {\ gamma}} (t) = \ gamma (1-t)}t∈[0,1]{\ displaystyle t \ in [0,1]}
• hvis x er relatert til y og y er relatert til z, så er x relatert til z . Faktisk, hvis forbinder x til y , og kobles y til z deretter sammensatt bane definert av Si og Si forbinder x til z .γ1{\ displaystyle \ gamma _ {1}}γ2{\ displaystyle \ gamma _ {2}} γ=γ2⋆γ1{\ displaystyle \ gamma = \ gamma _ {2} \ star \ gamma _ {1}}γ(t)=γ1(2t){\ displaystyle \ gamma (t) = \ gamma _ {1} (2t)}0≤t≤1/2{\ displaystyle 0 \ leq t \ leq 1/2}γ(t)=γ2(2t-1){\ displaystyle \ gamma (t) = \ gamma _ {2} (2t-1)}1/2≤t≤1{\ displaystyle 1/2 \ leq t \ leq 1}

Stier i et normalisert vektorrom

Hvis omgivelsesrommet E er et normalisert vektorrom , kan man spesifisere naturen til banene som forbinder punktene.

• Rette stier: en sti sies å være rett hvis den kan skrives for alt . Vektoren kalles regissørvektoren for . Den støtte av banen er da et linjesegment.γ(t)=x+tu→{\ displaystyle \ gamma (t) = x + t {\ vec {u}}}t∈[0,1]{\ displaystyle t \ in [0,1]}u→{\ displaystyle {\ vec {u}}}γ{\ displaystyle \ gamma}
• Polygonal stier: en sti sies å være polygonal hvis den er skrevet som en forbindelse av et endelig antall rettlinjede stier. For eksempel er en tur på Manhattan en mangekantet sti.
• Klassestier  : en sti kan være av klasse med . Faktisk er enhver vei av klasse, det vil si kontinuerlig, men vi kan ha høyere nivåer av regelmessighet. En klassesti med vil sies å være mer regelmessig hvis for alt . En vanlig klassesti sies å være en glatt sti .VSk{\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {k}} VSk{\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {k}}k∈IKKE{\ displaystyle k \ in \ mathbb {N}}VS0{\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {0}}VSk{\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {k}}k∈IKKE∗{\ displaystyle k \ in \ mathbb {N} ^ {*}}γ′(t)≠0{\ displaystyle \ gamma '(t) \ neq 0}t∈[0,1]{\ displaystyle t \ in [0,1]}VS∞{\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {\ infty}}

Tilkobling etter buer

Disse forskjellige stiene vil gjøre det mulig å definere forskjellige typer tilkobling etter buer, avhengig av tilfelle.

Definisjon

En topologisk rom E sies banen koplet hvis hvert par av punkter E er forbundet med en bane i hvilken støtte er inkludert i E .

En del A av E (levert med topologien induserte ) er tilkoblet bane hvis og bare hvis hvert par av punkter av A er forbundet med en bane som er tilbake i A .

En del A i et normalisert vektorrom sies å være forbundet med polygonale buer (henholdsvis med buerVSk{\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {k}} ) hvis noen av A- punktene kan være forbundet med en polygonal bane (henholdsvis i klassen ). VSk{\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {k}}

Eksempler

• I et normalisert vektorrom er en konveks eller stjernedel koblet sammen med buer.
• En sirkel er forbundet med buer, men ikke med polygonale buer.VS∞{\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {\ infty}}
• Et kvadrat er forbundet med polygonale buer, men ikke med buer .VS∞{\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {\ infty}}
• Den plane fratatt en tellbar del (eller til og med “  bare  ” ikke har den effekt av kontinuum ) er forbundet med mangekantet sirkelbuer og ved buer C ∞ .
• Den ortogonale spesialgruppen SO ( n , ℝ) og den generelle lineære gruppen GL ( n , ℂ) er forbundet med buer (for topologien indusert av en norm på M n (ℂ)).
• Den generelle lineære gruppen GL ( n , ℝ) har to komponenter forbundet med buer.

Kobling til tilkobling

Ethvert rom forbundet med buer er koblet sammen , men det omvendte er usant. Her er et klassisk moteksempel. Vi definerer en funksjon f av

f:]0,1]→Rx↦synd⁡(1x).{\ displaystyle {\ begin {matrise} f: &] 0,1] & \ til & \ mathbb {R} \\ & x & \ mapsto & \ sin \ left ({\ frac {1} {x}} \ høyre). \ end {matrix}}}

Denne funksjonen er kontinuerlig på] 0, 1]. Vi betegner ved Γ sin graf og C den adhesjon av Γ: Γ={(x,f(x))|x∈]0,1]},VS=Γ¯=Γ∪({0}×[-1,1]).{\ displaystyle \ Gamma = \ {(x, f (x)) | x \ in] 0,1] \}, \ quad C = {\ overline {\ Gamma}} = \ Gamma \ cup \ left (\ { 0 \} \ ganger [-1,1] \ høyre).}

Deretter er Γ koblet (som en graf for en kontinuerlig funksjon over et reelt intervall ), slik at dens vedheft C også, men C ikke er forbundet med buer.

På samme måte er sinuskurven til topologen Γ ∪ {(0, 0)} forbundet, men ikke forbundet med buer.

Derimot:

• i ℝ , utstyrt med vanlig topologi, er de tilkoblede delene ( intervallene ) forbundet med buer;
• mer generelt er ethvert tilkoblet og lokalt forbundet rom med buer (for eksempel: ethvert tilkoblet åpent rom i et normalisert vektorrom som euklidisk rom ) forbundet med buer.

Kobling med kontinuitet

Tilkobling av buer, som tilkobling, bevares av kontinuerlige kartlegginger . Hvis er et kontinuerlig kart mellom to topologiske mellomrom, og hvis startrommet E er forbundet med buer, er bildet f ( E ) forbundet med buer. f:E→F{\ displaystyle f: E \ rightarrow F}

Demonstrasjon

Hvis , så finnes det a og b i E slik at og . Rommet E er forbundet med buer, det er en sti som forbinder a til b . Den sammensatte kart er kontinuerlig, og forbinder x til y , noe som viser at f ( x ) er forbundet med sirkelbuer. (x,y)∈f(E)2{\ displaystyle (x, y) \ in f (E) ^ {2}}x=f(på){\ displaystyle x = f (a)}y=f(b){\ displaystyle y = f (b)}γ:[0,1]→X{\ displaystyle \ gamma: [0,1] \ rightarrow X} γ′=f∘γ:[0,1]→f(E){\ displaystyle \ gamma '= f \ circ \ gamma: [0,1] \ rightarrow f (E)}

Vi har lignende resultater for de mer spesifikke typer tilkobling av buer:

• tilkoblingen av polygonale buer bevares av de lineære kartene og av de affine kartene  ;
• tilkoblingen av buer er bevart av - diffeomorfismer .VSk{\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {k}}VSk{\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {k}}

Produkt

Ethvert produkt av mellomrom forbundet med buer er forbundet med buer.

Faktisk, hvis x og y er to punkter av, og hvis de er forbundet med buer, eksisterer det for hver indeks i en bane med verdier slik at: , . Banen som er definert av , slutter seg til x til y . E=∏Jeg∈JegEJeg{\ displaystyle E = \ prod _ {i \ i I} E_ {i}}EJeg{\ displaystyle E_ {i}}γJeg{\ displaystyle \ gamma _ {i}}EJeg{\ displaystyle E_ {i}}γJeg(0)=xJeg{\ displaystyle \ gamma _ {i} (0) = x_ {i}}γJeg(1)=yJeg{\ displaystyle \ gamma _ {i} (1) = y_ {i}}γ:[0,1]→E{\ displaystyle \ gamma: [0,1] \ til E}γ(t)=(γJeg(t))Jeg∈Jeg{\ displaystyle \ gamma (t) = (\ gamma _ {i} (t)) _ {i \ i I}}

Merk

1. Se for eksempel denne korrigerte øvelsen på Wikiversity .

Se også

Enkel tilkobling

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">