Kontinuerlig kraft

Denne artikkelen er en oversikt over matematikk .

Du kan dele din kunnskap ved å forbedre den ( hvordan? ) I henhold til anbefalingene fra de tilsvarende prosjektene .

I matematikk , mer presist i mengdeori , sier vi at et sett E har kraften til kontinuumet (eller noen ganger kardinalen til kontinuumet ) hvis det er likeverdig med mengden ℝ av reelle tall , dvs. si om det er en sammenheng fra E til ℝ.

Den kardinal av ℝ er noen ganger bemerket , med henvisning til kontinuum (en) , navnet gitt til ordnet sett (ℝ, ≤). Denne rekkefølgen (og a fortiori kardinalen til det underliggende settet) er helt bestemt (opp til isomorfisme ) av noen klassiske egenskaper. ${\ mathfrak {c}}$

Det er også ofte betegnet 2 ℵ₀ , fordi ℝ er like virksom som sett P (ℕ) av delene i settet ℕ av naturlige tall , hvis cardinality (den tellbar ) er betegnet ℵ₀, og at det for ethvert sett E , Cardinal er der betegner kardinal av E . ${\ mathcal {P}} (E)$ ${\ displaystyle 2 ^ {\ mathrm {Card} \ E}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Card} \ E}$

Historie

Vi skylder Georg Cantor denne oppfatningen , som i en artikkel publisert i 1874 viste at kontinuumet ikke var likeverdig med det tellbare, og derfor eksistensen av flere "uendeligheter".

Cantor prøvde forgjeves å demonstrere at en hvilken som helst delmengde av realen enten var tellbar eller av kraften i kontinuumet. Denne hypotesen, kjent som kontinuumhypotesen , kan verken bekreftes eller ugyldiggjøres i teorien om sett ZFC, som antas å være en ganske trofast formalisering av Cantors teori.

Kraften til kontinuumet er kardinaliteten til alle delene av ℕ

Det kommer ned til det samme - ved å identifisere hver del av ℕ med sin karakteristiske funksjon - å hevde at ot er likeverdig med settet {0, 1} ℕ av sekvenser av nuller og ener . Hovedideen for å bevise det er å betrakte en slik sekvens ( k 0 , k 1 ,…) som utvidelsen 0, k 0 k 1 ... i base n av et reelt mellom 0 og 1.

I base n > 2 er kartet som til enhver sekvens av nuller og en knytter det virkelige som det representerer, en injeksjon av {0, 1} ℕ i [0, 1 [derfor i therefore, slik at kortet ( P (ℕ) ) ≤ kort (ℝ). Dessuten er kartet som til ethvert ekte x forbinder settet med rasjonelle strengt mindre enn x også injiserende og derfor kort (ℝ) ≤ kort ( P (ℚ)) = kort ( P (ℕ)). Den Cantor-Bernstein teorem tillater oss å konkludere.
Den basen 2 krever forsiktighet, på grunn av mulighetene for "utilbørlig utvikling" (for eksempel = 0,0111 ... 0,1000 ...), men kan gi bevis som ikke er basert på teorem av Cantor-Bernstein.

Eksempler på forsamlinger med DC-effekt

For ethvert tellbart uendelig sett D har settet P ( D ) til delene D kraften til kontinuumet;
Dersom to sett har kraften av kontinuum da deres kartesisk produkt også, siden det er ekvipotent med P ( A ) x P ( B ) med A og B telles, og derfor til P ( C ), hvor C betegner disjunkte union (tellbar ) av A og B .
Settet ℝ n har derfor kontinuerlig kraft ikke bare for n = 1, men for ethvert heltall n ≥ 1.
Det euklidiske rommet ℝ n : det er like mange punkter på et linjestykke, som en høyre, like mye som en plan og like mye som i rommet som helhet, uavhengig av størrelse.
Selv settet ℝ ℕ av ekte sekvenser har "bare" kraften til det kontinuerlige .
A fortiori , settet ℕ ℕ av sekvenser av naturlige tall også. Et mer eksplisitt argument er å bruke de fortsatte brøkene for å sette dette settet i sammenheng med irrasjonelle mellom 0 og 1. Det er dessuten denne metoden som tillot Cantor i 1878 å demonstrere at [0, 1] n har kraften til kontinuerlig , utenom argumentet ovenfor. En mer direkte variasjon er å bruke "negativt vanlige" brøker .
For ethvert uendelig sett E eksisterer det et sett, som har kraften i kontinuumet, av uendelige deler av E hvis skjæringspunkt to og to er endelige.

Undecidability av kardinaliteten til DC-strømmen

Kardinaliteten til ℝ er 2 ℵ₀ . Utsagnet om at det er ℵ 1 kalles kontinuumhypotesen . Det er ubestemmelig i vanlig settteori .

Merknader og referanser

Merknader

En variant er å vurdere, for n = 3, Cantor settet .
Ved å identifisere en fast tellbar del av E til settet med endelige sekvenser på 0 og 1 og ved å velge, for hver uendelig rekkefølge på 0 og 1, den delen av E som består av de opprinnelige segmentene.

Referanser

Se for eksempel "Uncountable sets" på Wikiversity .
(i) Fernando Q. Gouvêa, " Var Cantor Overrasket? " , Amerikansk matematisk månedlig ,2011( les online )
(in) Julian F. Fleron, " A Note on the history of the Cantor set and Cantor function " , Mathematics Magazine , vol. 67,1994, s. 136-140 ( les online ).