Kontaktinformasjon for Kruskal-Szekeres
De Kruskal-Szekeres ( ) koordinater er den maksimale analytiske forlengelse av den Schwarz metrisk . De gir ytterligere løsninger til Schwarzschild, det er spesielt et dobbelt domene til det som tilsvarer sorte hull : hvite hull .
v,u,θ,ϕ{\ displaystyle v, u, \ theta, \ phi}
Den selvtitulerte koordinatene er matematikeren og fysikeren amerikanske Martin D. Kruskal (1925-2006) og Hungaro - australsk matematiker György (George) Szekeres (1911-2005) som begge foreslo dem i 1960for å beskrive geometrien til et svart hull i Schwarzschild .
I Kruskal-Szekeres-koordinatene er Schwarzschild-beregningen skrevet:
ds2=32G3M3rvs.6eksp(-rvs.22GM)(dv2-du2)-r2(dθ2+synd2θdϕ2){\ displaystyle ds ^ {2} = {\ frac {32G ^ {3} M ^ {3}} {rc ^ {6}}} \ operatorname {exp} \ left (- {\ frac {rc ^ {2} } {2GM}} \ høyre) \ venstre (dv ^ {2} -du ^ {2} \ høyre) -r ^ {2} \ venstre (d \ theta ^ {2} + \ sin ^ {2} \ theta \, d \ phi ^ {2} \ høyre)},
eller:
Med ( jf. Schwarzschild-radius ), ( jf. Eksponentiell funksjon ) og ( jf. Solid vinkel ), står det skrevet:
RS=2GM/vs.2{\ displaystyle R _ {\ mathrm {S}} = 2GM / c ^ {2}} eksp(x)=ex{\ displaystyle \ operatorname {exp} \ left (x \ right) = e ^ {x}} dΩ2=dθ2+synd2θdϕ2{\ displaystyle d \ Omega ^ {2} = d \ theta ^ {2} + \ sin ^ {2} \ theta \, d \ phi ^ {2}}
ds2=4RS3re-rRS(dv2-du2)-r2dΩ2{\ displaystyle ds ^ {2} = {\ frac {4R _ {\ mathrm {S}} ^ {3}} {r}} \, e ^ {- {\ frac {r} {R _ {\ mathrm { S}}}}} \ left (dv ^ {2} -du ^ {2} \ right) -r ^ {2} d \ Omega ^ {2}}.
I geometriske enheter ( ) er det skrevet:
vs.=G=1{\ displaystyle c = G = 1}
ds2=32M3re-r2M(dv2-du2)-r2dΩ2{\ displaystyle ds ^ {2} = {\ frac {32M ^ {3}} {r}} \, e ^ {- {\ frac {r} {2M}}} \ left (dv ^ {2} -du ^ {2} \ right) -r ^ {2} d \ Omega ^ {2}}.
Historisk
I Desember 1915, Karl Schwarzschild beskriver den første eksakte løsningen på Einsteins ligninger , som avslører en uventet singularitet, Schwarzschild-radiusen , hvis art fortsatt er dårlig forstått i lang tid.
I 1924 tegnet Arthur Eddington det første ikke-entallige koordinatsystemet med denne berømte radiusen. I 1938 utviklet Georges Lemaître en synkron beregning ( Lemaître metric ); David Finkelstein (en) oppdaget en annen, ikke-synkron, i 1958, og kalte i dag Eddington-Finkelstein-beregningen . Synge vil demonstrere at denne siste beregningen bare dekker en del av geometrien til Schwarzschilds romtid, akkurat som den for Lemaître: Disse beregningene tillater oss ikke å vurdere alle dynamiske tilfeller av en kropp i miljøet. Av et Schwarzschild-svart hull . Imidlertid har de vist at denne radiusen ikke er en reell, fysisk singularitet, men bare for beregningen valgt av Schwarzschild.
I 1960 , Martin Kruskal og George Szekeres bygget en ny beregning for å studere alle typer bevegelser av et organ utenfor og under radius Schwarzschild.
Kontaktinformasjon for Kruskal-Szekeres
Konvensjon: signaturen til beregningen er (- + + +).
Kruskal og Szekeres bruker dimensjonsløse koordinater, for den radiale koordinaten og for tidskoordinaten, definert for å eliminere begrepet i den nye beregningen. De rekonstruerer ved transcendente funksjoner.
u{\ displaystyle u}v{\ displaystyle v}(1-Rsr){\ displaystyle (1- \ textstyle {\ frac {R_ {s}} {r}})}r(u,v),t(u,v){\ displaystyle r (u, v), t (u, v)}
Variablene og er definert av:u{\ displaystyle u}v{\ displaystyle v}
- u2-v2=(rRs-1)erRs{\ displaystyle u ^ {2} -v ^ {2} = (\ textstyle {\ frac {r} {R_ {s}}} - 1) e ^ {\ textstyle {\ frac {r} {R_ {s} }}}}
- u+vu-v=evs.tRs{\ displaystyle \ textstyle {\ frac {u + v} {uv}} = e ^ {\ textstyle {\ frac {ct} {R_ {s}}}}}
Det er to tilfeller for tid:
- hvis da ;r(u,v)>Rs{\ displaystyle r (u, v)> R_ {s}}tanhvs.t2Rs=vu{\ displaystyle \ tanh {\ frac {ct} {2R_ {s}}} = {\ frac {v} {u}}}
- så da .r(u,v)<Rs{\ displaystyle r (u, v) <R_ {s}}tanhvs.t2Rs=uv{\ displaystyle \ tanh {\ frac {ct} {2R_ {s}}} = {\ frac {u} {v}}}
Vi får den diagonale beregningen:
ds2=4.Rs3re-rRs(du2-dv2)+r2(dθ2+sJegikke2θdϕ2){\ displaystyle ds ^ {2} = {\ frac {4.R_ {s} ^ {3}} {r}} e ^ {- \ textstyle {\ frac {r} {R_ {s}}}} (fra ^ {2} -dv ^ {2}) + r ^ {2} (d \ theta ^ {2} + sin ^ {2} \ theta d \ phi ^ {2})}
som er definert for alt . Tiden t er derimot uendelig i radiusen til Schwarzschild ( ).
r(u,v)>0{\ displaystyle r (u, v)> 0}u=±v{\ displaystyle u = \ pm v}
Eiendommer
For den eneste patologien til Schwarzschild-metrikken erstattes forholdet .
r=0{\ displaystyle r = 0}v2-u2=1{\ displaystyle v ^ {2} -u ^ {2} = 1}
Så vi har nå to singulariteter .
{u=v2-1u=-v2-1{\ displaystyle {\ begin {cases} u = {\ sqrt {v ^ {2} -1}} \\ u = - {\ sqrt {v ^ {2} -1}} \ end {cases}}}
Linjene i Schwarzschild-koordinatene er hyperbolene i Kruskal-koordinatene. Deres asymptoter er halveringslinjene og . Linjene i Schwarzschild-koordinatene er linjene som går gjennom opprinnelsen i Kruskal-koordinatene. Singularitetene er representert av grensene til de grå hyperbolsonene på tegningen motsatt.
r=VSste{\ displaystyle r = Cste}u2-v2=VSste{\ displaystyle u ^ {2} -v ^ {2} = Cste}u=v{\ displaystyle u = v}u=-v{\ displaystyle u = -v}t=VSste{\ displaystyle t = Cste}v/u=VSste{\ displaystyle v / u = Cste}
Lysgeodetikk er linjer orientert ved 45 °. Det er lett å verifisere det for , det har vi .
ds=0{\ displaystyle ds = 0}du2=dv2{\ displaystyle du ^ {2} = dv ^ {2}}
Schwarzschild-beregningen skiller mellom to regioner av romtid avgrenset av begivenhetshorisonten. Regionen er delt i to med Kruskal-Szekeres-beregningen.
r>2M{\ displaystyle r> 2 millioner}
Tilstanden svarer til .
r>Rs{\ displaystyle r> R_ {s}}u2>v2{\ displaystyle u ^ {2}> v ^ {2}}{u>|v|u<-|v|{\ displaystyle {\ begin {cases} u> | v | \\ u <- | v | \ end {cases}}}
Hele Schwarzschild-geometrien er derfor representert av fire forskjellige regioner i Kruskal-koordinatene.
Merknader og referanser
-
Taillet, Villain and Febvre 2018 , sv Kruskal-Szekeres (koordinater for), s. 414, kol. 1 .
-
Hobson, Efstathiou og Lasenby 2010 , kap. 11 , § 11.9 , s. 264.
-
Taillet, Villain and Febvre 2018 , sv Kruskal-Szekeres (koordinater for), s. 414, kol. 2 .
-
Kruskal 1960 .
-
Szekeres 1960 .
-
Taillet 2013 , s. 61.
-
(in) AS Eddington , ' En sammenligning av Whiteheads og Einsteins formel "Februar 1924( DOI 10.1038 / 113192a0 , Bibcode 1924Natur.113..192E ) ,s. 192 url =http://www.strangepaths.com/files/eddington.pdf
-
Lev Landau og Evgueni Lifchits , Theoretical Physics , t. 2: Feltteori [ detalj av utgaver ], §102, fotnote.
-
Synge, JL, Gravitasjonsfeltet til en partikkel , 1950, Proc. R. Irish Acad. A 53, 83-114.
-
Lev Landau og Evgueni Lifchits , Theoretical Physics , t. 2: Feltteori [ detalj av utgaver ], §103, fotnote. Landau fremkaller også arbeidet til Igor Novikov, som i 1963 fikk en synkron beregning med lignende egenskaper.
Se også
Originale artikler av Kruskal og Szekeres
-
[Kruskal 1960] (en) MD Kruskal , “ Maximal extension of Schwarzschild metric ” , Phys. Rev. , vol. 119, n o 5,Sep 1960, s. 1743-1745 ( DOI 10.1103 / PhysRev.119.1743 , Bibcode 1960PhRv..119.1743K , sammendrag ).
-
[Szekeres 1960] (en) G. Szekeres , “ On the singularities of a Riemannian manifold ” , Publ. Matte. (Debr.) , Vol. 7,1960, s. 285-301 ( Bibcode 1960PMatD ... 7..285S ).
Bibliografi
-
[Hobson, Efstathiou og Lasenby 2010] MP Hobson , GP Efstathiou og AN Lasenby ( overs. Av Engl. Av L. Villain , rev. Av R. Taillet ,) General Relativity [" General relativity: an Introduction for physicists "], Brussel , De Boeck Univ. , unntatt koll. ,Feb. 2010, 1 st ed. , 1 vol. , XX -554 s. , syk. , 28 cm ( ISBN 978-2-8041-0126-8 , EAN 9782804101268 , OCLC 690272413 , merknad BnF n o FRBNF42142174 , SUDOC 140535705 , online presentasjon , les online ) , kap. 11 (“Schwarzschild black holes”), § 11.9 (“Kruskal coordinates”), s. 261-267.
-
[Misner, Thorne og Wheeler 1973] (en) Ch. W. Misner , KS Thorne og JA Wheeler , Gravitation ["Gravitation"], San Francisco, WH Freeman , hors coll. ,1973, 1 st ed. , 1 vol. , XXVI -1279 s. , syk. , 26 cm ( ISBN 0-7167-0334-3 og 0-7167-0344-0 , EAN 9780716703440 , OCLC 300307879 , merknad BnF n o FRBNF37391055 , Bibcode 1973grav.book ..... M , SUDOC 004830148 , les online ) , s. 827 og s. 831-836.
-
[Taillet, Villain and Febvre 2018] R. Taillet , L. Villain and P. Febvre , Dictionary of physics , Louvain-la-Neuve, De Boeck Sup. , unntatt koll. ,Jan 2018, 4 th ed. ( 1 st ed. Mai 2008), 1 vol. , X -956 s. , syk. og fig. , 24 cm ( ISBN 978-2-8073-0744-5 , EAN 9782807307445 , OCLC 1022951339 , SUDOC 224228161 , online presentasjon , les online ) , sv Kruskal-Szekeres (kontaktinformasjon), s. 414-415.
Ekstern lenke
-
[Szeftel 2013] J. Szeftel , " Introduksjon til generell relativitet fra et matematisk synspunkt ", Gargantua-basen til École polytechnique ,Des. 2013, 79 s. , kap. 6 (“Eksempler på eksplisitte løsninger”), sek. 6.2 (“Schwarzschild-løsning”), 6.2.1. (“Løsning og maksimal utvidelse”), s. 59-61 ( les online ).
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">