Strøm (matematikk)
I matematikk , og mer presist i funksjonsanalyse , differensialtopologi og geometrisk målingsteori , er en strøm i betydningen Georges de Rham en lineær form på rommet til differensialformer med kompakt støtte på en glatt manifold . Formelt ligner strømmer fordelinger , men over et rom med differensielle former. I et geometrisk rammeverk kan de representere integrasjonen på delmanifoldene som kan presentere singulariteter . De Stokes teorem generaliserer strømmer.
Definisjoner
La M være et glatt utvalg. En strøm av dimensjon m på M (og grad dim ( M ) - m ) er en lineær form på rommet Ωm
c( M ) differensial m -former seg på M med kompakt støtte, som er kontinuerlig i form av fordelinger .
La den vektorrom virke av m -courants på M . Vi definerer en kantoperatør
Dm(M){\ displaystyle {\ mathcal {D}} _ {m} (M)}
∂:Dm+1(M)→Dm(M){\ displaystyle \ partial \ colon {\ mathcal {D}} _ {m + 1} (M) \ to {\ mathcal {D}} _ {m} (M)}gjennom
∂T(ω): =T(dω).{\ displaystyle \ partial T (\ omega): = T ({\ rm {d}} \ omega).}Vi kan da se at strømmen representerer en generalisering av delmanifoldene. Faktisk, hvis N er en orientert kompakt delmanifold av dimensjonen m av M , kan vi knytte den til strømmen [ N ] definert av
[IKKE](ω)=∫IKKEω.{\ displaystyle [N] (\ omega) = \ int _ {N} \ omega.}Strømmen - [ N ] tilsvarer manifolden - N (dvs. N med motsatt retning ).
Deretter er definisjonen av kanten av en strøm rettferdiggjort av Stokes teorem :
∂T{\ displaystyle \ delvis T}
∫∂IKKEω=∫IKKEdω.{\ displaystyle \ int _ {\ partial N} \ omega = \ int _ {N} d \ omega.}Vi definerer støtten til den nåværende T , betegnet med
sst(T),{\ displaystyle \ mathrm {spt} (T),}som den minste lukkede C slik at
T(ω)=0{\ displaystyle T (\ omega) = 0}ω dersom bære er atskiller fra C .
Legg merke til underromvektoren for strømkompakte støtter.
Em{\ displaystyle {\ mathcal {E}} _ {m}}Dm{\ displaystyle {\ mathcal {D}} _ {m}}
Eksempler
Siden
Ωvs.0(M)=VSvs.∞(M),{\ displaystyle \ Omega _ {c} ^ {0} (M) = C_ {c} ^ {\ infty} (M),}et eksempel på 0-strøm er gitt av funksjonen δ av Dirac :
T(f)=f(0).{\ displaystyle T (f) = f (0).}.
Mer generelt er enhver vanlig signert måling en 0-strøm:
μ{\ displaystyle \ mu}
T(f)=∫f(x)dμ(x).{\ displaystyle T (f) = \ int f (x) \, d \ mu (x).}La ( x , y , z ) være koordinatene i R- 3 . Så et eksempel på en 2-stream med kompakt støtte er:
T(pådx∧dy+bdy∧dz+vs.dx∧dz)=∫01∫01b(x,y,0)dxdy.{\ displaystyle T (a \, dx \ wedge dy + b \, dy \ wedge dz + c \, dx \ wedge dz) = \ int _ {0} ^ {1} \ int _ {0} ^ {1} b (x, y, 0) \, dx \, dy.}Topologi
Den m -Gjeldende plass naturlig har en svak topologi * , som en dobbel topologi av differensial m formene med kompakt støtte. Dette gjør det da mulig å definere begrepet svak konvergens . Vi sier at en sekvens T k svakt konvergerer til T hvis
Tk(ω)→T(ω),∀ω.{\ displaystyle T_ {k} (\ omega) \ to T (\ omega), \ qquad \ forall \ omega. \,}Det er en sterkere norm på strømmen som er massenormen .
Det eksisterer også en mellomstandard, den flate standarden .
Merk at to strømmer er nærme:
- i massestandard hvis de skiller seg fra en liten del;
- i normal flate hvis de er lik en liten deformasjon nær.
Spesielle tilfeller
-
Rm{\ displaystyle R_ {m}}betegner korrigerbare strømmer
-
Jegm{\ displaystyle I_ {m}}betegner integrerte strømmer :
Jegm={T∈Rm∣∂T∈Rm-1}{\ displaystyle I_ {m} = \ {T \ i R_ {m} \ midt \ delvis T \ i R_ {m-1} \}}-
Fm{\ displaystyle F_ {m}}betyr integrerte flate kjeder (eller integrerte flate kjeder ):
Fm={T+∂S∣T∈Rm,S∈Rm+1}{\ displaystyle F_ {m} = \ {T + \ delvis S \ mid T \ i R_ {m}, S \ i R_ {m + 1} \}}-
Pm{\ displaystyle P_ {m}}betegner integrerte polyhedrale kjeder : det er additivundergruppen som genereres av de orienterte enkelhetene .Em{\ displaystyle {\ mathcal {E}} _ {m}}
Pm⊂Jegm⊂Rm⊂Fmvs.hpåJegikkees solye´drJegques Jegikkete´grpålesvs.ourpåikkets Jegikkete´grpåuxkorrigerbare strømmerintegrerte flate kjeder∩∩∩∩Pm⊂IKKEm⊂Rm⊂Fmvs.hpåJegikkees solye´drJegques re´ellesnormale strømmerkorrigerbare strømmerekte flate kjeder∩Em⊂Dm{\ displaystyle \ left. {\ begin {array} {ccccccc} P_ {m} & \ quad \ subset \ quad & I_ {m} & \ quad \ subset \ quad & R_ {m} & \ quad \ subset \ quad & F_ {m} \\\ mathrm {strings ~ poly {\ acute {e}} driques ~ int {\ acute {e}} grales} && \ mathrm {currents ~ int {\ acute {e}} graux} && { \ text {rettbare strømmer}} && {\ text {integrerte flate kjeder}} \\\ cap && \ cap && \ cap && \ cap \\\ mathbf {P} _ {m} & \ quad \ subset \ quad & N_ {m} & \ quad \ subset \ quad & \ mathbf {R} _ {m} & \ quad \ subset \ quad & \ mathbf {F} _ {m} \\\ mathrm {strings ~ poly {\ acute {e }} drypper ~ r {\ acute {e}} de} && {\ text {normale strømmer}} && {\ text {rettbare strømmer}} && {\ text {ekte flate kjeder}} \\ &&&&&& \ \ cap \\ &&&&&& {\ mathcal {E}} _ {m} \ subset {\ mathcal {D}} _ {m} \ end {array}} \ right.}
Merknader og referanser
(en) Denne artikkelen er delvis eller helt hentet fra Wikipedia-artikkelen på
engelsk med tittelen
" Current (matematikk) " ( se listen over forfattere )
og (i) “ Current ” , på PlanetMath .
-
(in) Georges de Rham, Differentiable Manifolds: Forms Currents Harmonic Forms , Springer ,2012( 1 st ed. 1984) ( lese på nettet ), oversatt fra Differentiable Varieties: Forms, Currents, Harmonic Forms , Hermann , Paris, 1955.
-
For en mer presis definisjon av topologien som er vedtatt på Ωm
c( M ), se de Rham 2012 , s. 34-40.
-
(in) " utbedringsstrøm " på PlanetMath .
Se også
Relaterte artikler
Bibliografi
-
(no) Frank Morgan (no) , Geometric Measure Theory: A Beginner's Guide
-
(en) Hassler Whitney , Geometric Integration Theory
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">