Kovariant og kontravariant (lineær algebra)

I lineær algebra brukes adjektivene kovariant og kontravariant for å beskrive hvordan mengdene varierer under en basisendring . Disse mengdene sies å være samvariante når de varierer som vektorene i basen, og motstridende når de varierer på motsatt måte.

Forestillingen er nært knyttet til begrepet dualitet  : de samvariante koordinatene i en base tilsvarer i virkeligheten de kontravariale koordinatene i den dobbelte basen, og omvendt.

I differensialgeometri gjør hensynet til tangentrom det mulig å utvide de to begrepene til familier av funksjoner definert på differensialmanifold .

Manipuleringen av kovariante og kontravariant mengder er tilrettelagt av Einsteins summeringskonvensjon , som vil bli mye brukt i denne artikkelen.

Definisjon

La et vektorrom med en endelig dimensjon , samt to baser og slik at endringen av versbasen skrives: V{\ displaystyle {\ mathcal {V}}}ikke{\ displaystyle n}e=(e1,e2,...,eikke){\ displaystyle \ mathbf {e} = (\ mathbf {e} _ {1}, \ mathbf {e} _ {2}, \ ldots, \ mathbf {e} _ {n})}e′=(e′1,e′2,...,e′ikke){\ displaystyle \ mathbf {e '} = (\ mathbf {e'} _ {1}, \ mathbf {e '} _ {2}, \ ldots, \ mathbf {e'} _ {n})}e{\ displaystyle \ mathbf {e}}e′{\ displaystyle \ mathbf {e '}}

e′Jeg=PÅJegjej{\ displaystyle \ mathbf {e '} _ {i} = A_ {i} ^ {j} \ mathbf {e} _ {j}}

der koeffisientene danner passasjematrisen . PÅJegj{\ displaystyle A_ {i} ^ {j}}

La oss da være en familie av funksjoner, hver mot et vektorrom med samme felt som . X=(X(Jeg))Jeg=1...ikke{\ displaystyle X = (X (i)) _ {i = 1 \ ldots n}}Vikke{\ displaystyle {\ mathcal {V}} ^ {n}}V{\ displaystyle {\ mathcal {V}}}

Vektorfamiliene og betegnes deretter henholdsvis og . (X(Jeg)(e′))Jeg=1...ikke{\ displaystyle (X (i) (\ mathbf {e} ')) _ {i = 1 \ ldots n}}(X(Jeg)(e))Jeg=1...ikke{\ displaystyle (X (i) (\ mathbf {e})) _ {i = 1 \ ldots n}}(x′(Jeg))Jeg=1...ikke{\ displaystyle (x '(i)) _ {i = 1 \ ldots n}}(x(Jeg))Jeg=1...ikke{\ displaystyle (x (i)) _ {i = 1 \ ldots n}}

X{\ displaystyle X}sies å være kovariant nårx′(Jeg)=∑j=1ikkePÅJegjx(j){\ displaystyle x '(i) = \ sum _ {j = 1} ^ {n} A_ {i} ^ {j} x (j)}

Ledetråden blir deretter notert nederst, og Einsteins konvensjon kan brukes, slik at det skrives:

xJeg′=PÅJegjxj{\ displaystyle x_ {i} '= A_ {i} ^ {j} x_ {j}}

X{\ displaystyle X}sies å være motstridende nårx(j)=∑Jeg=1ikkePÅJegjx′(Jeg){\ displaystyle x (j) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} A_ {i} ^ {j} x '(i)}

Ledetråden blir så notert øverst, og Einsteins konvensjon kan brukes, slik at det skrives:

xj=PÅJegjx′Jeg{\ displaystyle x ^ {j} = A_ {i} ^ {j} x '^ {i}}

Ved et lite misbruk av språk brukes begrepene kovariant og kontravariant også på familier av vektorer, og avhengigheten av valget av grunnlaget som er underforstått. (xJeg)Jeg=1...ikke{\ displaystyle (x_ {i}) _ {i = 1 \ ldots n}}(xJeg)Jeg=1...ikke{\ displaystyle (x ^ {i}) _ {i = 1 \ ldots n}}

Eksempler

Nedbrytning i en base

Teorem og definisjon  -  Koeffisientene til den unike nedbrytningen av en vektor i en grunnlag danner en kontravariant familie av skalarer kalt kontravariantkoordinater , som derfor betegnes med høy indeks.

x=xJegeJeg{\ displaystyle \ mathbf {x} = x ^ {i} \ mathbf {e} _ {i}} Demonstrasjon

La være en vektor og en base . x{\ displaystyle \ mathbf {x}}(eJeg)Jeg=1...ikke{\ displaystyle (\ mathbf {e} _ {i}) _ {i = 1 \ ldots n}}

x{\ displaystyle \ mathbf {x}} er skrevet på en unik måte:

x=∑Jeg=1ikkex(Jeg)eJeg{\ displaystyle \ mathbf {x} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} x (i) \ mathbf {e} _ {i}}

Skalarene danner deretter en familie av ormfunksjoner . (x(Jeg))Jeg=1...ikke{\ displaystyle (x (i)) _ {i = 1 \ ldots n}}Vikke{\ displaystyle {\ mathcal {V}} ^ {n}}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}

I basen står det : (eJeg′)Jeg=1...ikke{\ displaystyle (\ mathbf {e} '_ {i}) _ {i = 1 \ ldots n}}x{\ displaystyle \ mathbf {x}}

x=∑Jeg=1ikkex′(Jeg)eJeg′{\ displaystyle \ mathbf {x} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} x '(i) \ mathbf {e}' _ {i}}

Derfor:

x=∑Jeg=1ikkex′(Jeg)PÅJegjej=∑j=1ikke(∑Jeg=1ikkex′(Jeg)PÅJegj)ej{\ displaystyle \ mathbf {x} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} x '(i) A_ {i} ^ {j} \ mathbf {e} _ {j} = \ sum _ {j = 1} ^ {n} (\ sum _ {i = 1} ^ {n} x '(i) A_ {i} ^ {j}) \ mathbf {e} _ {j}}

Og derfor, gitt det unike ved dekomponering av i basen : x{\ displaystyle \ mathbf {x}}(ej)j=1...ikke{\ displaystyle (\ mathbf {e} _ {j}) _ {j = 1 \ ldots n}}

x(j)=∑Jeg=1ikkex′(Jeg)PÅJegj=∑Jeg=1ikkePÅJegjx′(Jeg){\ displaystyle x (j) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} x '(i) A_ {i} ^ {j} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} A_ {i} ^ {j} x '(i)}

∎

Punktprodukter i en base

Teorem og definisjon  -  De skalære produktene til en vektor av vektorene i en base utgjør en kovariant familie av skalarer kalt kovariantkoordinater , som derfor er betegnet med en lav indeks.

xJeg=x⋅eJeg{\ displaystyle x_ {i} = \ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {e} _ {i}} Demonstrasjon

Punktproduktene til en vektor av vektorene på en basis kan skrives: x{\ displaystyle \ mathbf {x}}(eJeg)Jeg=1...ikke{\ displaystyle (\ mathbf {e} _ {i}) _ {i = 1 \ ldots n}}

x(Jeg)=x⋅eJeg{\ displaystyle x (i) = \ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {e} _ {i}}

Disse skalarene danner en familie av ormfunksjoner . Vikke{\ displaystyle {\ mathcal {V}} ^ {n}}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}

Vi har da:

x′(Jeg)=x⋅eJeg′=x⋅(PÅJegjej)=PÅJegjx⋅ej=PÅJegjx(j){\ displaystyle {\ begin {array} {rcl} x '(i) & = & \ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {e}' _ {i} \\ & = & \ mathbf {x} \ cdot ( A_ {i} ^ {j} \ mathbf {e} _ {j}) \\ & = & A_ {i} ^ {j} \ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {e} _ {j} \\ & = & A_ {i} ^ {j} x (j) \ end {array}}}

Familien er derfor godt kovariant. x(Jeg){\ displaystyle x (i)}∎

Retningsbestemte derivater

I vektoranalyse er det mulig å definere retningsavledningsoperatøren i henhold til en retning som følger: d{\ displaystyle \ mathbf {d}}

∂d:EV→EVf↦(x↦limϵ→0f(x+ϵd)-f(x)ϵ){\ displaystyle {\ begin {array} {rccl} \ partial _ {\ mathbf {d}}: & {\ mathcal {E}} ^ {\ mathcal {V}} & \ rightarrow & {\ mathcal {E}} ^ {\ mathcal {V}} \\ & f & \ mapsto & (\ mathbf {x} \ mapsto \ lim _ {\ epsilon \ rightarrow 0} {\ frac {f (\ mathbf {x} + \ epsilon \ mathbf {d}) -f (\ mathbf {x})} {\ epsilon}}) \ end {array}}}

Teorem  -  Retningsavledningsoperatører i henhold til instruksjonene definert av vektorene på en basis danner en samvariant familie av operatorer, som derfor betegnes med lav indeks.

∂Jeg=∂eJeg{\ displaystyle \ partial _ {i} = \ partial _ {\ mathbf {e} _ {i}}} Demonstrasjon

Det er en direkte konsekvens av lineariteten til operatøren av retningsavledning i henhold til retningen.

∂eJeg′=∂PÅJegjej=PÅJegj∂ej{\ displaystyle \ partial _ {\ mathbf {e} '_ {i}} = \ partial _ {A_ {i} ^ {j} \ mathbf {e} _ {j}} = A_ {i} ^ {j} \ partial _ {\ mathbf {e} _ {j}}}

∎

∂Jegf{\ displaystyle \ partial _ {i} f}blir noen ganger notert . f,Jeg{\ displaystyle f _ {, i}}

Eiendommer

Kobling med doble baser

Hvis er et endelig dimensjonalt - eller - vektorrom, så og dets dobbel er isomorf . Derfor tilsvarer hver vektor av en unik vektor av , og vi identifiserer noen ganger de to. I den påfølgende uttalelsen må den andre likheten derfor forstås som en korrespondanse snarere enn som en likhet. E{\ displaystyle E}R{\ displaystyle \ mathbf {R}}VS{\ displaystyle \ mathbf {C}}E{\ displaystyle E}E∗{\ displaystyle E ^ {*}}x{\ displaystyle \ mathbf {x}}E{\ displaystyle E}x∗{\ displaystyle \ mathbf {x ^ {*}}}E∗{\ displaystyle E ^ {*}}

Dessuten, hva som menes med "prikkprodukt" i følgende uttalelse og dens bevis, er faktisk dualitetsbraketten til og av , det vil si resultatet av anvendelsen av den lineære formen på . x⋅eJeg{\ displaystyle \ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {e} ^ {i}}eJeg{\ displaystyle \ mathbf {e} ^ {i}}x{\ displaystyle \ mathbf {x}}eJeg(x){\ displaystyle \ mathbf {e} ^ {i} (\ mathbf {x})}eJeg{\ displaystyle \ mathbf {e} ^ {i}}x{\ displaystyle \ mathbf {x}}

Teorem  -  Kovariantkoordinatene i en base er de motstridende koordinatene i den dobbelte basen, og omvendt.

x=(x⋅eJeg)eJeg=(x⋅eJeg)eJeg{\ displaystyle \ mathbf {x} = (\ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {e} ^ {i}) \ mathbf {e} _ {i} = (\ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {e} _ {i}) \ mathbf {e} ^ {i}}

Det er å si:

xJeg=x⋅eJegx=xJegeJeg{\ displaystyle {\ begin {array} {c} x ^ {i} = \ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {e ^ {i}} \\\ mathbf {x} = x_ {i} \ mathbf {e } ^ {i} \ end {array}}} Demonstrasjon

Vi har, per definisjon av koordinatene til vektoren : x{\ displaystyle \ mathbf {x}}

x=xJegeJeg{\ displaystyle \ mathbf {x} = x ^ {i} \ mathbf {e} _ {i}}

Per definisjon av den dobbelte basen, har vi , ved å beregne det skalære produktet ved å  : eJeg⋅ej=δJegj{\ displaystyle \ mathbf {e} _ {i} \ cdot \ mathbf {e} ^ {j} = \ delta _ {i} ^ {j}}ej{\ displaystyle \ mathbf {e} ^ {j}}

x⋅ej=xJegeJeg⋅ej=xJegδJegj=xj{\ displaystyle \ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {e} ^ {j} = x ^ {i} \ mathbf {e} _ {i} \ cdot \ mathbf {e} ^ {j} = x ^ {i } \ delta _ {i} ^ {j} = x ^ {j}}

Og så:

xj=x⋅ej{\ displaystyle x ^ {j} = \ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {e} ^ {j}}

Det er å si:

x=(x⋅eJeg)eJeg{\ displaystyle \ mathbf {x} = (\ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {e} ^ {i}) \ mathbf {e} _ {i}}

∎

Demonstrasjon

x{\ displaystyle \ mathbf {x}}er skrevet, i den dobbelte basen : eJeg{\ displaystyle \ mathbf {e} ^ {i}}

x=x~(Jeg)eJeg{\ displaystyle \ mathbf {x} = {\ tilde {x}} (i) \ mathbf {e} ^ {i}}

Punktproduktet av gir: ej{\ displaystyle \ mathbf {e} _ {j}}

x⋅ej=x~(Jeg)eJeg⋅ej=x~(Jeg)δjJeg=x~(j){\ displaystyle \ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {e} _ {j} = {\ tilde {x}} (i) \ mathbf {e} ^ {i} \ cdot \ mathbf {e} _ {j} = {\ tilde {x}} (i) \ delta _ {j} ^ {i} = {\ tilde {x}} (j)}

og så:

x⋅ej=x~(j){\ displaystyle \ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {e} _ {j} = {\ tilde {x}} (j)}

Fra hvor:

x=(x⋅eJeg)eJeg{\ displaystyle \ mathbf {x} = (\ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {e} _ {i}) \ mathbf {e} ^ {i}}

∎

Kontrahert produkt

Teorem og definisjon  -  La og være to henholdsvis motstridende og samvariante familier, med verdier i en assosiativ algebra . Uttrykk (påJeg)Jeg=1...ikke{\ displaystyle (a ^ {i}) _ {i = 1 \ ldots n}}(bJeg)Jeg=1...ikke{\ displaystyle (b_ {i}) _ {i = 1 \ ldots n}}

påJegbJeg{\ displaystyle a ^ {i} b_ {i}}

avhenger ikke av valg av base, og kalles kontraktprodukt .

Demonstrasjon

Ved å merke seg og uttrykkene til de to familiene i basen , kommer det: (på′Jeg)Jeg=1...ikke{\ displaystyle (a '^ {i}) _ {i = 1 \ ldots n}}(bJeg′)Jeg=1...ikke{\ displaystyle (b '_ {i}) _ {i = 1 \ ldots n}}eJeg=1...ikke′{\ displaystyle \ mathbf {e} '_ {i = 1 \ ldots n}}

på′JegbJeg′=på′Jeg(PÅJegjbj)=PÅJegjpå′Jegbj=(PÅJegjpå′Jeg)bj=påjbj{\ displaystyle {\ begin {array} {rcl} a '^ {i} b' _ {i} & = & a '^ {i} (A_ {i} ^ {j} b_ {j}) \\ & = & A_ {i} ^ {j} a '^ {i} b_ {j} \\ & = & (A_ {i} ^ {j} a' ^ {i}) b_ {j} \\ & = & a ^ {j} b_ {j} \ end {array}}}

∎

Forlengelse i differensialgeometri

I differensialgeometri har de betraktede rommene, det vil si differensialmanifoldene , ingen vektorromstruktur, og som sådan er begrepene kovarians og kontravaranse ikke direkte anvendelige. Differensialmanifoldene er imidlertid lokalt assimilerbare med vektorrom gjennom tangensrom . Naturlige korrespondanser gjør det derfor mulig å definere begrepene sett over ikke lenger i forhold til en endring av basen, men snarere i forhold til en endring av koordinatene . x′μ(xμ){\ displaystyle x '^ {\ mu} (x ^ {\ mu})}

Lokalt varierer disse koordinatene i henhold til differensialene:

dx′μ=∂x′μ∂xνdxν=∂νx′μdxν=PÅνμdxν{\ displaystyle dx '^ {\ mu} = {\ frac {\ partial x' ^ {\ mu}} {\ partial x ^ {\ nu}}} dx ^ {\ nu} = \ partial _ {\ nu} x '^ {\ mu} dx ^ {\ nu} = A _ {\ nu} ^ {\ mu} dx ^ {\ nu}}

Differensialene danner deretter en base i tangentområdet, mens delderivatene danner passasjematrisen. dxμ{\ displaystyle dx ^ {\ mu}}

Derfor, når et sett med funksjoner varierer som differensialene, det vil si når Tμ{\ displaystyle T ^ {\ mu}}

T′μ=∂νx′μTν{\ displaystyle T '^ {\ mu} = \ partial _ {\ nu} x' ^ {\ mu} T ^ {\ nu}}

da sies det å være kovariant "for" (eller "i henhold til") indeksen . T{\ displaystyle T}μ{\ displaystyle \ mu}

Når et sett varierer på motsatt måte, det vil si når Tν{\ displaystyle T _ {\ nu}}

Tν=∂νx′μTμ′{\ displaystyle T _ {\ nu} = \ partial _ {\ nu} x '^ {\ mu} T' _ {\ mu}}

eller , T′μ=∂xν∂x′μTν=∂μxνTν{\ displaystyle {T '} _ {\ mu} = {\ frac {\ partial x ^ {\ nu}} {\ partial x' ^ {\ mu}}} T _ {\ nu} = \ partial _ {\ mu} x ^ {\ nu} T _ {\ nu}}

da sies det å være motstridende "for" (eller "i henhold til") indeksen . T{\ displaystyle T}ν{\ displaystyle \ nu}

T{\ displaystyle T}kan være kovariant for noen indekser, og motstridende for andre. Den mest generelle transformasjonen skrives da:

T′ν1...νkμ1...μl=∂ν1x′α1...∂νkx′αk∂β1xμ1...∂βlxμlTα1...αkβ1...βl{\ displaystyle {T '} _ {\ nu _ {1} \ ldots \ nu _ {k}} ^ {\ mu _ {1} \ ldots \ mu _ {l}} = \ partial _ {\ nu _ { 1}} {x '} ^ {\ alpha _ {1}} \ ldots \ partial _ {\ nu _ {k}} {x'} ^ {\ alpha _ {k}} \ partial _ {\ beta _ { 1}} x ^ {\ mu _ {1}} \ ldots \ partial _ {\ beta _ {l}} x ^ {\ mu _ {l}} T _ {\ alpha _ {1} \ ldots \ alpha _ {k}} ^ {\ beta _ {1} ... \ beta _ {l}}}

Dette utgjør en forenklet definisjon av begrepet tensor .

Noen forfattere, som for eksempel Sean M. Carroll (jf litteraturliste), foretrekker å plassere prime symbol på indeksene, og ikke på tensor. De bemerker som følger:

Tν1′...νk′μ1′...μl′=∂ν1′xμ1...∂νk′xμk∂ν1xμ1′...∂νlxμl′Tμ1...μkν1...νl{\ displaystyle T _ {\ nu _ {1} '\ ldots \ nu _ {k}'} ^ {\ mu _ {1} '\ ldots \ mu _ {l}'} = \ partial _ {\ nu _ {1} '} {x} ^ {\ mu _ {1}} \ ldots \ partial _ {\ nu _ {k}'} {x} ^ {\ mu _ {k}} \ partial _ {\ nu _ {1}} x ^ {\ mu _ {1} '} \ ldots \ partial _ {\ nu _ {l}} x ^ {\ mu _ {l}'} T _ {\ mu _ {1} \ ldots \ mu _ {k}} ^ {\ nu _ {1} ... \ nu _ {l}}}

Andre bruksområder for begrepet

Begrepene kovarians og kontravarans finnes i andre felt, for eksempel innen datavitenskap, spesielt når det gjelder typing av data . Koblingen mellom disse forskjellige bruken gjenspeiler en mer abstrakt felles struktur som i det vesentlige kommer inn under kategoriteori .

Bibliografi

• Tensorregning i fysikk , Jean Hladik , Masson 1995
• (no) Romtid og geometri, en introduksjon til generell relativitet , Sean M. Carroll , Addison-Wesley , 2004

Relaterte artikler

• Contravariant, covariant og covector vektor
• Funksjon , en forestilling om kategoriteori som definerer disse begrepene mer generelt.

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">