Functor

I matematikk , det funktor er generalisering til kategorier av begrepet morphism .

Definisjoner

En funktor (eller kovariant funktor ) F : → fra en kategori til en kategori er dataene $\ matematisk C$ $\ matematisk D$ $\ matematisk C$ $\ matematisk D$

av en funksjon som, til et hvilket som helst objekt X av , knytter et objekt F ( X ) til , $\ matematisk C$ $\ matematisk D$
av en funksjon som, til enhver morfisme f : X → Y av , forbinder en morfisme F ( f ): F ( X ) → F ( Y ) av , $\ matematisk C$ $\ matematisk D$

WHO

respekter identiteter: for ethvert objekt X av , $\ matematisk C$ ${\ displaystyle F (\ mathrm {Id} _ {X}) = \ mathrm {Id} _ {F (X)},}$
respekter sammensetningen: for alle objekter X , Y og Z og morfismer f : X → Y og g : Y → Z av , $\ matematisk C$ $F (g \ circ f) = F (g) \ circ F (f).$

Med andre ord, en funksjon bevarer domener og kodedomene til morfismer, piler identiteter og sammensetning.

En kontravariant funktor G fra en kategori til en kategori er en samvariant funktor av motsatt kategori op (den som oppnås ved å reversere pilenes retning i ) i . Til hvilken som helst morfisme f : X → Y av , forbinder den derfor en morfisme G ( f ): G ( Y ) → G ( X ) av , og vi har "kompatibilitetsforholdet" G ( g ∘ f ) = G ( f ) ∘ G ( g ). $\ matematisk C$ $\ matematisk D$ $\ matematisk C$ $\ matematisk C$ $\ matematisk D$ $\ matematisk C$ $\ matematisk D$

Eksempler

Den identitet funktor av typen , ofte betegnet med 1 eller id : → , som sender hvert objekt og morphism av på seg selv. $\ matematisk C$ $\ matematisk C$ $\ matematisk C$ $\ matematisk C$ $\ matematisk C$ $\ matematisk C$
Glemme funktorer som sender objekter fra en kategori til objekter fra en annen kategori av "glemme" visse egenskaper ved disse stedene:
- funksjonen til Ab i Grp som knytter selve gruppen til en abelsk gruppe , men i kategorien som også inneholder ikke-abelske grupper (vi har "glemt" det faktum at gruppen er abelsk). Vi har også glemme funksjoner av Grp i kategorien Mon av monoider og av H-mellomrom (en) , og av Ab i kategorien av kommutative monoider;
- funksjonen til Grp i Set som knytter det underliggende settet til en gruppe (vi har "glemt" gruppestrukturen).
For ethvert objekt X i en lokalt liten kategori , de to funksjonene Hom : → Set : Y ↦ Hom ( X , Y ) (samvariant) og Y ↦ Hom ( Y , X ) (kontravariant). $\ matematisk C$ $\ matematisk C$
Den konstante funksjonen er funksjonen som sender alle objektene i startkategorien til det samme objektet i sluttkategorien, og som sender hver pil i startkategorien til identiteten til bildeobjektet. Det er terminalobjektet i kategorien funksjoner.
Mellom to monoider (som er kategorier av enkeltobjekter ) er de kovariante funksjonene ganske enkelt morfismene til monoider.
En funksjon definert fra en produktkategori til en kategori kalles ofte en bifunktor . ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} \ times {\ mathcal {D}}}$ ${\ mathcal E}$

Funksjoners egenskaper

Lojale, fulle, fullt lojale funksjonærer

Vi sier at en funksjon F : → er: $\ matematisk C$ $\ matematisk D$

trofast hvis to morfismer f , g : X → Y i er like så snart bildene deres F ( f ), F ( g ): F ( X ) → F ( Y ) i er; $\ matematisk C$ $\ matematisk D$
full hvis noen morfisme F ( X ) → F ( Y ) er lik en F ( f );
fullt trofast hvis den både er trofast og full.

Eksempler

En morfisme av monoider (jf. Siste eksempel ovenfor ) er trofast hvis og bare hvis den er injeksjonsfull , og full hvis og bare hvis den er adjektiv .
De glemmende funksjonene til Ab i Grp og til Grp i Mon er fullt trofaste.
Den glemmende funksjonen til Grp i Set er trofast (men ikke full); mer generelt, hvis F er inkluderingen av en underkategori i en kategori , så er den trofast. $\ matematisk C$ $\ matematisk D$

Konservative funksjoner

Trivielt , noe funktor F : → bevarer isomorphisms , dvs. dersom f er en isomorfi i så F ( f ) er en isomorfi i . $\ matematisk C$ $\ matematisk D$ $\ matematisk C$ $\ matematisk D$

Den funktor F sies å være konservativ hvis omvendt , en morphism f i er en isomorfi så snart F ( f ) er en i . $\ matematisk C$ $\ matematisk D$

Eksempler

En morphism F av monoids (jf ende § “Eksempler” ovenfor) er konservativ hvis og bare hvis et hvilket som helst forutgående ved F av en inverterbar element er inverterbar.
Enhver full trofast funksjon er konservativ.
Den glemme funktoren fra Grp i Set er konservativ.

Assistenttjenestemenn

La og to kategorier, F en funksjon av in og G av in , slik at for ethvert objekt og vi har en sammenheng , naturlig i X og Y , $\ matematisk C$ $\ matematisk D$ $\ matematisk C$ $\ matematisk D$ $\ matematisk D$ $\ matematisk C$ ${\ displaystyle X \ i {\ mathcal {C}}}$ ${\ displaystyle Y \ i {\ mathcal {D}}}$

{{\ rm {Hom}}} _ {D} \ venstre (F \ venstre (X \ høyre), Y \ høyre) \ simeq {{\ rm {Hom}}} _ {C} \ venstre (X, G \ venstre (Y \ høyre) \ høyre).

Da F sies nestleder igjen av G og G vararepresentant til høyre for F .

Kategoriekvivalens

En funktor F : → kalles en ekvivalens av kategorier hvis det eksisterer en funktor G : → og en naturlig isomorfisme av funksjoner mellom G ∘ F (resp. F ∘ G ) og identiteten på (resp. ). Ekvivalensen av kategorier er en mer generell forestilling enn kategorienesomorfisme . $\ matematisk C$ $\ matematisk D$ $\ matematisk D$ $\ matematisk C$ $\ matematisk C$ $\ matematisk D$

Merknader

Funktorer kalles noen ganger morfismer for Cat- kategorien i små kategorier.

Merknader og referanser

(in) Steve Awodey, Category theory - Second edition , Oxford Logic Guides, s. 8, Def. 1.2
(i) AV Rydeheard og RM Burstall, Computational Kategori Theory , Prentice Hall,1988, s. Kapittel 3, avsnitt 3.5, definisjon 3
(en) Horst Schubert (en) , kategorier , Springer ,1972( les online ) , s. 241.

Se også