Sammen ingensteds tett

I topologi , et sett er intet tett eller sjelden dersom den tilfredsstiller de inverse egenskaper ved begrepet tetthet . Intuitivt, en delmengde A av et topologisk rom X er ingensteds tett i X hvis nesten ingen vits i X kan "nærmet" av punktene A .

Definisjon

La X være et topologisk rom og A en delmengde av X . Følgende fire egenskaper er ekvivalente, og A sies å være intetsteds (eller sjeldne) i X hvis det tilfredsstiller dem:

1. det indre av vedheftet til A er tomt  ;
2. enhver åpen av X inkludert i denne obligasjonen A er tom;
3. A er ikke "tett i" noe uforsiktig åpning av X  ;
4. for en hvilken som helst åpen U -tom X , eksisterer det en åpen V nonempty inkludert i U og atskiller fra A .

Rekkefølgen i 1. er viktig: det er mulig å finne delmengder hvis (det indre av) vedheftet er X og (vedheftet til) interiøret er tomt (dette er tilfellet med l sett med rasjonelle i realiteten ) .

Eiendommer

• Enhver delmengde av et intetsteds tett sett er ingensteds tett, og foreningen av et endelig antall ingensteds tette sett er ingensteds tett. På den annen side er foreningen av et tellbart antall intetsteds tette sett ikke nødvendigvis ingensteds tett. En slik forening kalles et magert sett eller førsteklasses sett.
• Dersom Y er åpent i X , kan en part A til Y er intet tett i Y (for den induserte topologi ) er intet tett i X .Faktisk la U åpne med i A . Deretter (ved hypotese A ) U ∩ Y = ∅, slik at U er adskilte fra A derfor også (siden det åpnet) til A . Derfor er U tom.

Eksempler

• Settet med relative heltall er ingensteds tett i settet med realer utstyrt med den vanlige topologien .
• Settet med realer hvis desimalutvidelse bare inneholder sifrene 0 eller 1, er ikke noe tett i settet med real.

Positivt Lebesgue-tiltak

Et intetsteds tett sett er ikke nødvendigvis av nullmål (for Lebesgue-tiltaket ). For eksempel, hvis X er intervallet [0,1], er det ikke bare mulig å finne en ubetydelig tett delmengde (det av rasjonelle tall gir et eksempel), men det er også ingen steder tette delmengder av strengt positive mål, slik som Smith-Volterra-Cantor sett . Man kan også finne en delmengde av X første målekategori på 1. Bare ta et møte som kan telles av Cantor-sett som måler 1 - 1 / n , og blar gjennom alle positive heltall.

Vurdering og referanse

1. I René Baires innledende tekster er begrepet brukt om ikke-tett , noe som fører til forvirring med det faktum at man ikke er en tett helhet.

(fr) Denne artikkelen er helt eller delvis hentet fra den engelske Wikipedia- artikkelen med tittelen "  Nowhere tense set  " ( se listen over forfattere ) .

Se også

Relatert artikkel

• Baires teorem
• Skinny sett

Ekstern lenke

(no) Henry Bottomley, "  Noen ingensteds tette sett med positivt mål  "