Cantors trapp

Den Cantor funksjon , eller det devil trapp er det grafisk fremstilling av en funksjon $f$ fortsetter å øke i $[0, 1]$ , slik at $f (0) = 0$ og $f (1) = 1$ , som er differensierbar nesten overalt , den deriverte blir nesten overalt null. Dette er imidlertid en kontinuerlig funksjon , men ikke absolutt kontinuerlig .

Noen grunnleggende analysepåminnelser

La $f være$ en kontinuerlig funksjon over et intervall $I$ ⊂ ℝ, med avledet $f '$ . Hvis $f$ er null over $jeg$ , så $f$ er konstant . Dette er en umiddelbar konsekvens av den endelige økningen .

Cantors trapp viser at konklusjonen er falsk hvis vi bare antar at $f '$ forsvinner nesten overalt.

Følgende resultater er imidlertid tilgjengelige:

hvis $f$ er kontinuerlig og hvis dets derivat eksisterer og forsvinner ved komplement av et tellbart sett , så er $f$ konstant (i henhold til fetterens lemma eller ulikheten i endelige trinn );
hvis $f$ er Lipschitzian (eller mer generelt: absolutt kontinuerlig ) og hvis dens derivat eksisterer og forsvinner nesten overalt, så er $f$ konstant (jf. § “Lipschitzian-funksjon med null derivat nesten overalt” i artikkelen om fetterens lemma).

Konstruksjon

Vi følger trinn for trinn konstruksjonen av Cantor K 3-settet .

Vi tar $f 0 ( x ) = x$ . Funksjonen $f 1$ er den stykkevise affine kontinuerlige funksjonen som er lik 0 i 0, 1 i 1 og $1 / 2$ på $[1 / 3, 2 / 3]$ .

Vi går på samme måte fra $f n$ til $f n +1$ ved å erstatte $f n$ , på hvert intervall $[ u , v ]$ der det ikke er konstant, med den kontinuerlige funksjonen affinert av brikker som er gyldig på den sentrale tredjedelen av intervallet $[$ $u$ $,$ $v$ $]$ . ${\ displaystyle {\ frac {f_ {n} (u) + f_ {n} (v)} {2}}}$

Deretter sjekker vi det for alt , som viser at funksjonsserien konvergerer jevnt, og derfor at sekvensen $f$ $n$ konvergerer jevnt. Grensefunksjonen $f$ er kontinuerlig, monoton, og vi har $f$ $(0) = 0$ og $f$ $(1) = 1$ som oppgitt. Videre har $f$ et nullderivat på komplementet til Cantorsettet K 3 , siden dette komplementet er en forening av intervaller der $f$ , ved konstruksjon, er konstant (derav navnet trapp!) ${\ displaystyle x, \ vert f_ {n + 1} (x) -f_ {n} (x) \ vert \ leq 2 ^ {- n}}$ ${\ displaystyle \ sum _ {n \ geq 0} (f_ {n + 1} -f_ {n})}$

Hva lærer dette eksemplet oss?

Det er sant (jfr. "Generalisering av den første grunnleggende teorem for analyse ") at hvis $f$ er en målbar funksjon avgrenset til ℝ, er funksjonen nesten overalt differensierbar og avledet $f$ . Men det er galt at noen nesten overalt differensierbar funksjon er lik integralet i dets derivat, selv om sistnevnte er integrerbar . Dette lærer Cantors trapp oss. For å ha tilfredsstillende resultater på dette spørsmålet, er det nødvendig å innføre forestillingen om absolutt kontinuitet (jf. " Second fundamental theorem of analysis "). ${\ displaystyle x \ mapsto \ int _ {a} ^ {x} f (t) \, {\ rm {d}} t}$
Cantors trapp er et eksempel på en kontinuerlig funksjon hvis derivat eksisterer nesten overalt, men ikke sammenfaller med derivatet i betydningen distribusjoner . Dette velkjente fenomenet i tilfelle diskontinuerlige funksjoner (indikatorfunksjoner for eksempel) er mindre intuitivt i kontinuerlig tilfelle.
Cantors trapp er fordelingsfunksjonen til en reell tilfeldig variabel av diffus lov , Cantors lov , som ikke er tetthet og som til og med er fremmed for Lebesgues mål . Også i dette er dette et interessant (mot) eksempel . Vi kan bare vise en ekte tilfeldig variabel X tilfeldig tatt mellom 0 og 1, hvis fordelingsfunksjonen er Cantor trappen: det er tilstrekkelig å trekke på tilfeldige de suksessive siffer (0, 1 eller 2) av basen tre utvidelse av X i en noe spesiell måte, nemlig ved utruste uavhengige tegninger begrenset til 0 eller 2, hvor tallet 1 er ekskludert.

Merknader og referanser

I motsetning til hva som ble antatt demonstrer Harnack se (i) Thomas Hawkins , Lebesgue's Theory of Integration: Its Origins and Development , AMS ,2001, 2 nd ed. ( 1 st ed. 1970) ( lest på nettet ) , "Cantor Utvikling av Theory of Sets og sin søknad til Theory of Integration " , s. 71-79og s. 60 , og Axel Harnack, " Fourier Series Theory ," Bulletin of Mathematical and Astronomical Sciences , vol. 6, n o 1,1882, s. 242-260 ( les online ), Teorem III s. 247 .

Se også

Relaterte artikler

Ekstern lenke

Devil's Staircase på mathcurve.com

Bibliografi

G. Cantor, “ On the Power of Perfect Sets of Points ”, Acta Math. , vol. 4,1884, s. 381-392 ( DOI 10.1007 / BF02418423 )
(de) Ludwig Scheeffer (de) , “ Allgemeine Untersuchungen über Rectification der Curven ” , Acta Math. , vol. 5,1884, s. 49-82 ( DOI 10.1007 / BF02421552 )