I matematikk , og mer presist i analysen , definerer vi, for funksjoner definert på et avgrenset intervall , begrepet absolutt kontinuerlig funksjon , litt sterkere enn forestillingen om jevnt kontinuerlig funksjon , og garanterer gode integrasjonsegenskaper; det er også assosiert med forestillingen om absolutt kontinuerlig måling .
Den første grunnleggende analysesetningen har som konsekvens at enhver kontinuerlig funksjon f over et reelt intervall er lik derivatet av dens integrerte funksjon F (i betydningen Riemann ) definert av . I de mer generelle rammene av Lebesgue-integralen er en funksjon L 1 nesten overalt lik derivatet av dens integral.
På den annen side kan en kontinuerlig og nesten overalt differensierbar funksjon F ikke være lik integralet av dets derivat, selv om dette derivatet er L 1 . La oss for eksempel vurdere kantortrappen eller Minkowski-funksjonen : disse to funksjonene er nesten overalt avledbare, med avledede nesten overalt null; derfor er integralet av deres derivat null. Dette fenomenet var velkjent i tilfelle av diskontinuerlige funksjoner (for eksempel indikatorfunksjoner), men mindre intuitivt i det kontinuerlige tilfellet, noe som førte til forestillingen om absolutt kontinuitet: en absolutt kontinuerlig funksjon er kontinuerlig og dessuten lik integralet i dets derivat.
La meg være et reelt intervall. Vi sier at en funksjon F : I → ℝ er helt kontinuerlig hvis det for noen reelle ε> 0 eksisterer en δ> 0 slik at for en endelig sekvens av underintervaller av I med usammenhengende interiør,
For en funksjon av flere variabler er det forskjellige forestillinger om absolutt kontinuitet.
Enhver Lipschitzian-funksjon på [ a , b ] er helt kontinuerlig.
Den kontinuerlige funksjonen som har grafen til trappene til djevelen er ikke absolutt kontinuerlig: bildet av Cantorsettet , som er av mål null, er [0,1] helt.
Den spørsmålstegn funksjonen er ikke absolutt kontinuerlig heller, siden den har en null derivat nesten overalt. Vi kan også vise at den sender et målsett 0 på et målsett 1.
La μ og ν være to komplekse mål over et målbart rom .
Vi sier at ν er helt kontinuerlig med hensyn til μ hvis for et målbart sett A :
det vi bemerker .
Den Radon-Nikodym teorem gir en annen karakteristikk i det tilfelle hvor μ er positiv og σ -finite , og ν er kompleks og σ -finite: så eksisterer f en målbar funksjon slik at dν = f dμ . Funksjonen f kalles tettheten til tiltaket ν i forhold til tiltaket μ .
En funksjon F er lokalt absolutt kontinuerlig hvis og bare hvis den avledede fordelingen er et absolutt kontinuerlig mål med hensyn til Lebesgue-tiltaket. For eksempel er et mål μ avgrenset over settet av Borelians av den virkelige linjen absolutt kontinuerlig med hensyn til Lebesgue-tiltaket hvis og bare hvis den tilhørende fordelingsfunksjonen
er lokalt en absolutt kontinuerlig funksjon.
Lebesgue-differensieringsteorem
Walter Rudin , Ekte og kompleks analyse [ detalj av utgaver ]
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">