Slutt (kategoriteori)

I matematikk er en slutt på en funktor en generalisering av begrepet grense . Avslutninger og deres soner, COFINS-, er vanligvis bemerket med s langs den integrert .

Begrepet slutt vises naturlig i utvidelsene til Kan i beriket kategoriteori , og i studiet av handlinger på en kategori . Spesielt tilsvarer enden av en funktor, sett på som en fordeler , underobjektet  (en) som handlingen til høyre og handlingen til venstre sammenfaller med.

Definisjon

La og de kategoriene , og er en bifunctor . Den enden av F i X er dataene: VS{\ displaystyle C}D{\ displaystyle D}F:VSos×VS→D{\ displaystyle F: C ^ {\ mathrm {op}} \ ganger C \ til D}

• av et objekt e av D , assosiert med
• extranaturelle en konvertering (noen ganger kalt "dinaturelle") Universal E til F .

Det er notert

∫vs.:VSF(vs.,vs.).{\ displaystyle \ int _ {c: C} F (c, c).}

Hvis kodene D er en komplett kategori  (in) , eksisterer alle de små grensene, og i likhet med grensene kan vi definere slutten av F som utjevning av diagrammet  :

∫vs.:VSF(vs.,vs.)⟶∏vs.:VSF(vs.,vs.)⇉∏vs.,vs.′:VSF(vs.,vs.′)VS(vs.,vs.′){\ displaystyle \ int _ {c: C} F (c, c) \ longrightarrow \ prod _ {c: C} F (c, c) \ rightrightarrows \ prod _ {c, c ': C} F (c, c ') ^ {C (c, c')}}

der den øverste morfismen er indusert av for-komposisjon og den nederste av post-komposisjon . F(vs.,vs.)×VS(vs.,vs.′)→F(vs.,vs.′){\ displaystyle F (c, c) \ times C (c, c ') \ rightarrow F (c, c')}F(vs.′,vs.′)×VS(vs.,vs.′)→F(vs.,vs.′){\ displaystyle F (c ', c') \ times C (c, c ') \ rightarrow F (c, c')}

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">