Funksjon (elementær matematikk)

I elementær matematikk er de fleste funksjonene numeriske funksjoner, men begrepet funksjon er ikke begrenset til denne.

Den følgende artikkelen presenterer noen regler du må vite om funksjoner.
Artikkelen numeriske funksjon omhandler numeriske funksjoner i elementær matematikk.
Artikkelfunksjonen (matematikk) presenterer dem generelt.

En funksjon

En funksjon er en relasjon som for hver verdi av variabelen x tilsvarer maksimalt en (0 eller 1) verdi av y .

For å uttrykke at y avhenger av x , skriver vi: y = f ( x ).

Reglene

Ha et startsett som inneholder funksjonsdefinisjonssettet og et sluttsett.

Til hvert element i denne definisjonen settes en av elementene i ankomstsettet.

I elementær matematikk glemmes ofte den første av disse reglene (uansett hvor viktig det er) elevene fordi eksemplene som er foreslått er begrenset til noen få sett naturlig start og mål i arbeidssammenheng (sett med reelle tall for de numeriske funksjonene, sett med punkter på planet for punktfunksjoner).

Imidlertid er det fortsatt viktig.

Image, antecedent

Hvis til et element , matcher vi et element : $på$ $b$

elementet kalles bildet av ; $b$ $på$
gjenstanden kalles et forfedre av . $på$ $b$

Eksempel : Med , vi har $f (x) = {\ sqrt {x}} - 1$ $x = 0,1,4,9$ $f (0) = - 1, \; f (1) = 0, \; f (4) = 1, \; f (9) = 2$

vil vi si

1

er bildet av by

4

f

9

er et forfedre av by

2

f

Merk: av en funksjon kan det samme bildet ha flere fortilfeller. På den annen side har hvert antesedent bare ett bilde.

Eksempler

En funksjon er derfor et verktøy som har et startsett og et sluttsett, noe som gjør at elementene i det første tilsvarer elementene i det andre.

Eksempel 1

En funksjon gjør det mulig å transformere et reelt tall til et annet, for eksempel ved å bruke en rekke operasjoner til det som må forbli identisk for hvert tall.

I dette tilfellet er startsettet , definisjonssettet er settet med realer som operasjonssekvensen kan brukes for, og sluttsettet er . $\ mathbb {R}$ $\ mathbb {R}$

Hvis sekvensen av operasjoner består av kvadrering, trekking av 4 og motsatt, lager vi en funksjon:

Starter sett :; $\ mathbb {R}$
Definisjonsdomene: alle reelle tall er forskjellige fra og ; $-2$ $2$
Ankomst sett :; $\ mathbb {R}$
Korrespondanse: til , vi forbinder . $x$ ${\ dfrac {1} {x ^ {2} -4}}$

Bildet av er , forgjengene til er og . $3$ ${\ dfrac {1} {5}}$ ${\ dfrac {1} {5}}$ $3$ $-3$

Eksempel 2

En funksjon gjør det også mulig å knytte punkter til andre punkter fra geometriske hensyn.

I dette tilfellet er startsettet settet med punkter i planet (eller mellomrom), ankomstsettet er settet med punkter i planet (eller mellomrom).

For eksempel hvis A og B er to forskjellige punkter, kan man knytte, med hvilket som helst punkt M som ikke er plassert på (AB), punktet N slik at AMBN er et parallellogram:

Startsett: (planen); ${\ mathcal {P}}$
Definisjon sett :; ${\ mathcal P} - (AB)$
Ankomst sett :; ${\ mathcal {P}}$
Korrespondanse: med M forbinder vi N slik at AMBN er et parallellogram.

Etternavn

Ofte brukte funksjoner ender opp med spesifikke navn (sin, cos ...), andre kalles f, g, etc. Bildet av et element a for funksjonen f betegnes da f (a) .

Vurdering

For å oppsummere all denne informasjonen bruker vi følgende skriving

{\ begin {matrix} f: & D & \ rightarrow A \\ & x & \ mapsto y \\\ end {matrix}}

med y = f (x) der D representerer startsett og A slutt sett.

Søket etter definisjonsdomenet, hvis det er mindre enn startsettet, gjenstår å gjøre.

Noen ganger er man fornøyd med overdreven skriving y = f (x) mens man glemmer resten; dette kan noen ganger føre til farlig forvirring hvis vi forenkler for raskt, som Gottlob Frege påpekte i Hva er en funksjon? .

Subtilt eksempel: funksjonen og funksjonen er ikke den samme, siden f er "forbudt for x = 0 ". $f: x \ mapsto y = x ^ {2} / x$ $g: x \ mapsto y = x$

Se også