Schur-konveks funksjon

I matematikk, en Schur-konveks (eller konveks i den forstand av Schur) funksjon, også kalt S-konveks , isotonisk funksjon eller ordre-bevare funksjonen er en funksjon slik at den bevarer rekkefølgen forbindelser: for alle slik at $x$ er avgrenset av $y$ , $f$ tilfredsstiller $f$ $($ $x$ $) \leq$ $f$ $($ $y$ $)$ . ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {d} \ rightarrow \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle x, y \ in \ mathbb {R} ^ {d}}$

Oppkalt etter Issai Schur , brukes Schur-konvekse funksjoner i studien av majorisering . Enhver funksjon som er konveks og symmetrisk er også Schur-konveks, men den omvendte implikasjonen er ikke alltid sant. På den annen side er enhver Schur-konveks funksjon symmetrisk (med hensyn til permutasjonene av argumentene).

Schur-konkav funksjon

En funksjon $f$ sies å være Schur-konkav hvis det motsatte, - $f$ , er Schur-konveks.

Schur-Ostrowski-kriterium

Hvis $f$ er symmetrisk og har delvis derivater, er $f$ Schur-konveks hvis og bare hvis for alle 1 ≤ i ≠ j ≤ d og på et hvilket som helst punkt av : $\ mathbb {R} ^ {d}$

{\ displaystyle (x_ {i} -x_ {j}) \ left ({\ frac {\ partial f} {\ partial x_ {i}}} - {\ frac {\ partial f} {\ partial x_ {j} }} \ høyre) \ geq 0}

Eksempler

${\ displaystyle f (x) = \ min (x)}$ er Schur-konkav og er Schur-konveks (dette trekkes raskt ut av definisjonen av funksjoner). ${\ displaystyle f (x) = \ max (x)}$
Shannon entropi -funksjon er Schur-konkav. ${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {d} {P_ {i} \ cdot \ log _ {2} {\ frac {1} {P_ {i}}}}}$
Den Rényi entropi -funksjon er også Schur-konkav.
Ganske naturlig er funksjonene alle Schur-konvekse for $k$ $\geq 1$ . ${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {d} {x_ {i} ^ {k}}}$
Funksjonen er Schur-konkav, på domenet . På samme måte er de elementære symmetriske funksjonene Schur-konkav . ${\ displaystyle f (x) = \ prod _ {i = 1} ^ {n} x_ {i}}$ ${\ displaystyle (\ mathbb {R} _ {+}) ^ {d}}$ ${\ displaystyle (\ mathbb {R} _ {+}) ^ {d}}$
En naturlig tolkning av majoriseringen er at hvis da $x$ er mer spredt enn $y$ . Det er derfor naturlig å spørre om de statistiske målene for variabilitet er Schur-konvekse. Den varians og standardavvik er begge Schur-konvekse funksjoner, men den absolutte verdi av avvikene er ikke. ${\ displaystyle x \ succ y}$
Hvis $g$ er en konveks funksjon definert over et reelt intervall, er Schur-konveks. ${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} g (x_ {i})}$
Et sannsynlig eksempel: Hvis det er utskiftbare tilfeldige variabler, er forventningsfunksjonen Schur-konveks som en funksjon av multiindeksen , forutsatt at forventningen eksisterer. ${\ displaystyle X_ {1}, \ prikker, X_ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {E} \ left (\ prod _ {j = 1} ^ {n} X_ {j} ^ {a_ {j}} \ right)}$ ${\ displaystyle a = (a_ {1}, \ prikker, a_ {n})}$
Den Gini-koeffisienten er strengt Schur-konkav.

Referanser

(i) A. Wayne Roberts og Dale E. Varberg , Convex funksjoner , New York, Academic Press ,1973, 299 s. ( ISBN 978-0-08-087372-5 , leses online ) , s. 258.
(i) Josip E. Peajcariaac og Y. L. Tong , konvekst buet funksjoner, Delvise orde, og statistiske Applications , Academic Press,1992, 467 s. ( ISBN 978-0-08-092522-6 , leses online ) , s. 333.

Se også

Kva-konveks funksjon