Firkantet funksjon

Firkantet funksjon Kurverepresentant for funksjonen .

{\ displaystyle x \ mapsto x ^ {2}}

Vurdering	$x ^ 2$
Gjensidig	${\ sqrt {x}}$ sikker $[0, + \ infty [$
Derivat	$2x$
Primitiver	${\ displaystyle {\ frac {x ^ {3}} {3}} + C}$

Hovedtrekk

Definisjonssett	$\ mathbb {R}$
Bildesett	$\ R_ +$
Paritet	par

Spesielle verdier

Null verdi	0
Begrens i + ∞	+ ∞
Begrens i −∞	+ ∞
Minimum	0

Spesielle egenskaper

Nuller	0
Faste poeng	0; 1

I virkelige analyse , er kvadratisk funksjon er den funksjon som forbinder med hverandre reelt tall sin kvadratisk , dvs. resultatet av multiplikasjon av dette antallet av seg selv.

Denne kraft funksjon , som kan uttrykkes i form $x \mapsto x 2 = x x x$ er en funksjon par , positiv og av hvilke kurven er en parabel med en vertikal akse, topp ved origo og orientert i retning av positive ordinaten . Som en kontinuerlig og strengt økende funksjon over intervallet $[0, + \infty [$ , induserer det en sammenheng fra dette intervallet i seg selv, og innrømmer at kvadratrotfunksjonen er gjensidig .

Kvadratfunksjonen er også det første eksemplet på en kvadratisk funksjon , og er generalisert til flere variabler med begrepet kvadratisk form . Den strekker seg også til det komplekse planet som en heltalsfunksjon med en dobbel rot ved 0 .

Eiendommer

Skilt

Den første egenskapen er positiviteten (i vid forstand) av kvadratfunksjonen. Faktisk for enhver ekte $x$ er den virkelige $x \times x$ produktet av to reelle tall med samme tegn; av tegnregelen er det derfor positivt.

Paritet

Funksjonen er jevn: $f ( x ) = f (- x )$ for alle reelle $x$ . Med den forrige bemerkningen ved å bruke tegnregelen får vi faktisk $f (- x ) = (- x ) \times (- x ) = x \times x = f ( x )$ .

Konveksitet

Kvadratfunksjonen er strengt konveks over . Faktisk er det andre derivatet strengt positivt: $f ''$ $= 2> 0$ . ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

Løsning av ligning av type $x 2 = a$

Å beregne antecedentene til en reell $a$ av kvadratfunksjonen tilsvarer å løse ligningen $x 2 = a$ . Det er tre mulige tilfeller:

$a <0$ : ingen løsning i settet med realer;
$a = 0$ : en løsning, $x = 0$ ;
$a> 0$ : to løsninger, og . ${\ sqrt a}$ ${\ displaystyle - {\ sqrt {a}}}$

For eksempel, løsninger av $x to = 9$ er $3$ og $-3$ .

Man kan også bestemme antecedentene grafisk: antecedents of $a$ er abscissas av skjæringspunktene til linjens ligning $y = a$ og av grafen til kvadratfunksjonen .

Derivat

Den deriverte av plassen funksjon er (det er en lineær funksjon og derfor ulike). Den er derfor (strengt) negativ på og positiv på , slik at kvadratfunksjonen (strengt) synker på $] -\infty, 0]$ og øker på $[0, + \infty [$ . Det forsvinner til 0, dets globale minimum . Variasjonsretningen for kvadratfunksjonen skal tas i betraktning når man løser ulikheter (inversjon av ulikheter hvis verdiene er negative). $x \ mapsto 2x$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} _ {-} ^ {*}}$ $\ R _ + ^ *$

Integrert

Siden kvadratfunksjonen er et kvadratisk polynom , er Simpsons metode nøyaktig når den skal beregnes integral. For ethvert kvadratisk polynom P og a og b real har vi:

{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} P (x) \, \ mathrm {d} x = {\ frac {ba} {6}} \ left [f (a) + 4f \ left ({\ frac {a + b} {2}} \ right) + f (b) \ right]}

Derfor har vi for kvadratfunksjonen definert av : $f (x) = x ^ 2$

{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, \ mathrm {d} x = {\ frac {ba} {3}} (a ^ {2} + ab + b ^ {2} ).}

Primitiv

Kvadratfunksjonen har som primitiver alle funksjonene g C definert av, for C en vilkårlig reell konstant:

{\ displaystyle g_ {C} (x) = {\ frac {x ^ {3}} {3}} + C}

Grafisk representasjon

I et ortonormalt koordinatsystem er funksjonen representert av en parabel med toppunktet (0, 0). Hele parabolen er plassert over abscissa-aksen - som oversetter funksjonens positive - og pariteten kan påvises takket være symmetriaksen som er ordinataksen .

Den grense av plassen funksjon, pluss uendelig og minus uendelig, er lik pluss uendelig.

Utvidelse til det komplekse domenet

Vi kan utvide definisjonen av kvadratfunksjonen til det komplekse domenet ved å definere . For eksempel, hvis , . kan også sees på som en funksjon i funksjonen at paret kombinerer paret siden skrivingen var ${\ displaystyle f: z \ rightarrow z ^ {2}}$ ${\ displaystyle z = 2 + i}$ ${\ displaystyle f (z) = 3 + 4i}$ $f$ $\ mathbb {R} ^ {2}$ $\ mathbb {R} ^ {2}$ $(x, y)$ ${\ displaystyle (x ^ {2} -y ^ {2}, 2xy)}$ $z = x + iy$ ${\ displaystyle z ^ {2} = x ^ {2} -y ^ {2} + 2ixy}$

Kvadratfunksjonen kan brukes til å illustrere egenskaper ved differensiering , holomorfi , fungerer ofte som et eksempel for å illustrere Cauchy-Riemann-forhold .

Kvadratfunksjonen brukes også til å demonstrere en geometrisk egenskap av Pythagoras tripler .

Merk

The square sikt er her navnet på funksjonen og ikke en kvalifiserende adjektiv for navnet funksjon . Det er derfor ikke enig i natura.
Se for eksempel denne grunnleggende beregning på Wikiversity .
Spiegel, Murray R. , Complex Variables: Courses and Problems , Mcgraw-Hill,1973( ISBN 2-7042-0020-3 , OCLC 299367656 , leses online ) , s.41
Jacques Dixmier , Matematikkurs i første syklus: andre år: øvelser, indikasjoner på løsninger, svar , Gauthier-Villars ,1977( ISBN 2-04-015715-8 , OCLC 23199112 , leses online ) , kapittel 52
" kompleks analysekurs av michèle audin, ex II.18 " , på irma.math.unistra.fr