I vektorgeometri er en ortonormal basis eller ortonormal basis ( BON ) i et euklidisk eller hermitisk rom et grunnlag for dette vektorområdet som består av vektorer i norm 1 og ortogonalt to og to. På et slikt grunnlag er koordinatene til en hvilken som helst vektor i rommet lik de respektive prikkproduktene til den vektoren av hver av basisvektorene, og prikkproduktet til en hvilken som helst to vektorer har et kanonisk uttrykk som en funksjon av deres koordinater.
I et prehilbertisk rom E (dvs. et reelt eller komplekst vektorrom som er utstyrt med et skalarprodukt ), sies en familie ( v i ) i ∈ I av vektorer å være ortogonale hvis disse vektorene er ortogonale i par:
En slik familie sies å være ortonormal hvis dessuten alle disse vektorene er enhetlige :
I sammendrag, en familie ( v i ) i ∈ I er ortonormal hvis ∀ i , j ∈ I ⟨ v i , v j ⟩ = δ i , j .
Enhver ortogonal familie dannet fra ikke-null vektorer er gratis .
En ortonormal familie er derfor gratis. Det kalles ortonormal basis av E hvis det er mer generator av E , dvs. hvis det er en grunnleggende E .
Hvis prehilbert plass E er euklidske eller Hermitisk , det vil si at hvis det er av endelig dimensjon , er en ortonormal familie en base hvis og bare hvis den inneholder n -vektorer, hvor n er den dimensjonen av E .
I resten av artikkelen betegner E n et euklidisk rom med dimensjon n .
La A n være en affin euklidsk rom er forbundet med vektor plass E n og o be ethvert punkt av A n , deretter et affine koordinatsystem
sies å være ortonormal hvis dens tilknyttede base i seg selv er ortonormal.
I geometri i rommet er basen generelt notert i stedet for .
Hvis grunnlaget er direkte , er kryssproduktet av og av (det vil si ).
Fra hvilket som helst grunnlag i et euklidisk rom, gir Gram-Schmidt-metoden en konstruktiv metode for å oppnå et ortonormalt grunnlag for dette rommet. Spesielt kan vi si:
I ethvert euklidisk rom med ikke-null dimensjon eksisterer det ortonormale baser.
Ved å anvende dette resultat til den ortogonale til den plass som genereres av en ortonormal familie av p vektorer av E n , etablerer vi den ufullstendig ortonormal basis teorem:
Enhver ortonormal familie av vektorer i et euklidisk rom kan fullføres på en ortonormal basis i dette rommet.
Eksistensen av ortonormale baser gjør det mulig å fastslå at uendeligheten av euklidiske strukturer som et vektorrom kan tilveiebringes med - med forskjellige forestillinger om ortogonalitet - alle er isomorfe for hverandre.
La være en ortonormal basis av E n .
Dekomponeringen av en vektor av E n i denne bakgrunn er gitt ved:
.
Ekspresjonen av det skalare produkt av to vektorer av E N er da gitt ved:
.
Ekspresjonen av kvadratet av normen av en vektor av E n er derfor:
.
Disse tre egenskaper er i virkeligheten ekvivalent med hverandre, og tilsvarende til det faktum at familien er en ortonormal basis av E n .
Den 1- lipschitziske karakteren til en ortogonal projektor gjør det mulig å utlede Bessel-ulikheten fra den , som inkluderer en generalisering til en uendelig ortonormal familie.
Dersom en ortonormal basis og enhver familie av E n , deretter
er et ortonormalt grunnlag hvis og bare hvis matrisen til familien i grunnlaget er ortogonal.Endomorfismene som forvandler en ortonormal basis til en ortonormal basis er derfor ortogonale automorfismer .