Harmonisk funksjon

I matematikk er en harmonisk funksjon en funksjon som tilfredsstiller Laplaces ligning .

Et klassisk problem angående harmoniske funksjoner er Dirichlet-problemet : gitt en kontinuerlig funksjon definert på grensen til et åpent , kan vi utvide det med en funksjon som er harmonisk når som helst på det åpne?

Definisjon

La $U være$ et åpent sett med ℝ $n$ . Et to ganger differensierbart kart $f : U$ → ℝ sies å være harmonisk på $U$ if

{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x_ {1} ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x_ {2} ^ { 2}}} + \ cdots + {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x_ {n} ^ {2}}} = 0}

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} f = 0}

eller (hvor den greske hovedstaden delta representerer den laplaciske operatøren ):

{\ displaystyle \ Delta f = 0}

En slik funksjon er automatisk av klasse C ∞ .

Harmonisk funksjon på ℂ

Ved å identifisere ℂ med ℝ 2 , vil vi se at de harmoniske funksjonene er veldig relatert til de holomorfe funksjonene .

Den virkelige delen av en holomorf eller anti-holomorf funksjon på et åpent sett med ℂ er harmonisk.

Det omvendte med denne egenskapen er falsk, på den annen side har vi:

La Ω være et enkelt tilkoblet åpent sett med ℂ; en hvilken som helst harmonisk funksjon på Ω er den virkelige delen av en holomorf funksjon på Ω.

Relaterte artikler