Subharmonisk funksjon

I matematikk er en subharmonisk funksjon en funksjon definert på et domene av det komplekse planet og med virkelige verdier som tilfredsstiller visse betingelser for harmonitet svakere enn de som tilfredsstilles av de harmoniske funksjonene . Det er en forestilling introdusert i harmonisk analyse for å løse det grunnleggende problemet kjent som Dirichlet-problemet ; å løse dette problemet ved å bruke subharmoniske funksjoner kalles Perron (en) metode .

Definisjon

La være et åpent av . En funksjon sies å være subharmonisk hvis den tilfredsstiller følgende to egenskaper: $\ Omega$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle u: \ Omega \ rightarrow \] - \ infty, + \ infty [}$ $\ Omega$

$u$ er kontinuerlig.
$u$ har egenskapen til lokalt undergjennomsnitt : for ethvert punkt kan vi finne slik at: ${\ displaystyle z_ {0} \ in \ Omega}$ ${\ displaystyle r_ {0}> 0}$ ${\ displaystyle u (z_ {0}) \ leq \ int _ {0} ^ {2 \ pi} u (z_ {0} + re ^ {it}) {\ frac {dt} {2 \ pi}}}$ for alt . ${\ displaystyle r <r_ {0}}$

Noen ganger finner vi en annen definisjon som krever at funksjonen skal være halvkontinuerlig overlegen . $u$

Noen eiendommer

I tillegg til analogien med likhet mellom gjennomsnittet , verifiserer de subharmoniske funksjonene et visst antall egenskaper som skal sammenlignes med de harmoniske funksjonene:

det prinsipp av maksimal : på en hvilken som helst forholdsvis kompakte del på , den maksimalt på adhesjon av nås på den kant ; og hvis innrømmer et globalt maksimum på , så er det konstant. På den annen side er det ikke noe minimumsprinsipp. $\ omega$ $\ Omega$ $u$ $\ omega$ $u$ $\ Omega$
de subharmoniske funksjonene på er karakterisert blant kontinuerlige funksjoner som de som verifiserer prinsippet om maksimum på en relativt kompakt plate i . $\ Omega$ $\ Omega$
En interessant egenskap i sammenheng med Hardy mellomrom er følgende: Hvis er en økende konveks funksjon og hvis er en subharmonisk funksjon, så er subharmonisk. ${\ displaystyle \ varphi: \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R}}$ $u$ ${\ displaystyle \ varphi \ circ u}$

Den sentrale setningen for å bruke disse funksjonene i harmonisk analyse er det å si at hvis en familie av subharmoniske funksjoner i et domene er stabil ${\ mathcal {F}}$ $\ Omega$

ved maksimum (hvis , da ) og ${\ displaystyle u, v \ in {\ mathcal {F}}}$ ${\ displaystyle \ max (u, v) \ i {\ mathcal {F}}}$
av modifisert Poisson (hvis og hvis er en relativt kompakt plate i midten , Poisson modifisert i det er funksjonen som sjekker på og : fortsatt er i ) ${\ displaystyle u \ in {\ mathcal {F}}}$ $\ Delta$ $\ Omega$ $på$ $u$ $\ Delta$ ${\ tilde {u}}$ ${\ displaystyle {\ tilde {u}} = u}$ ${\ displaystyle \ Omega - \ Delta}$ $\ Delta$ ${\ displaystyle {\ tilde {u}} (a + z) = \ mathrm {Re} \ left ({\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} {\ frac {e ^ {it} + z} {e ^ {it} -z}} u (a + e ^ {it}) \ mathrm {d} t \ right)}$ ${\ mathcal {F}}$

da er den øvre grensen til elementene i enten konstant lik , eller en harmonisk funksjon på . ${\ mathcal {F}}$ $+ \ infty$ $\ Omega$

For å demonstrere Dirichlets prinsipp , plasserer vi oss da på et domene hvis kant er regelmessig, forsynt med en kontinuerlig funksjon på kanten, og vi tar familien av subharmoniske funksjoner på økt med på kanten av : terminalens overlegen for denne familien er da en løsning. $\ Omega$ $\ phi$ ${\ mathcal {F}}$ $\ Omega$ $\ phi$ $\ Omega$