Implisitt eller eksplisitt formulering av et dynamisk problem

I numerisk simulering kan et tidsavhengig problem formuleres implisitt eller eksplisitt . Et tidsavhengig problem beskriver en situasjon i utvikling; systemet er modellert på forskjellige diskrete tider som ikke kalles “tidstrinn”.

Den eksplisitte metode består i å bestemme oppløsningen til t + Δ t som en funksjon av verdien av funksjonen ved t . Hvis funksjonen som skal evalueres kalles y ( t ), formuleres problemet slik:

y ( t + Δ t ) = F ( y ( t )).

Den Euler-metoden er en eksplisitt metode.

Den implisitte metoden består i å bestemme løsningen på t + Δ t ved å løse en ligning som tar hensyn til funksjonens verdi ved t og ved t + Δ t . Problemet er formulert slik:

G ( y ( t ), y ( t + Δ t )) = 0.

De fremgangsmåter for Runge-Kutta er metoder kjent som implisitt-eksplisitt (eller “Imex”), fordi en del blir løst ved en implisitt metode og den andre ved en eksplisitt metode.

Søknad i dynamikk

Den implisitte formuleringen er den enkleste formuleringen, men den er begrenset til kvasi-statiske problemer .

Den eksplisitte formuleringen gjør det mulig å modellere fenomenene finere, men er veldig grådig i ressurser (antall operasjoner, beregningens varighet, nødvendig minne). Den brukes således til simuleringer av fenomener av kort varighet og som ikke kan simuleres med den implisitte formuleringen: det handler i hovedsak om problemer med rask dynamikk, støt, bølgeforplantning.

Når det gjelder programvare, snakker vi om en implisitt løsning eller en eksplisitt løsning.

I implisitt formulering er fenomenet representert av ligningen

{\ displaystyle m {\ ddot {x}} + c {\ dot {x}} + kx = \ mathrm {F} (t)}

eller

$x$ er posisjonsvektoren; er den hastighetsvektor og den akselerasjonsvektor ; $\ dot {x}$ ${\ ddot {x}}$
m er massen ;
c er en dempende faktor ;
k er stivhet ;
F er den ytre kraften som virker på systemet;
t er tiden.

For å være mer presis, i den endelige elementmetoden , beskriver denne ligningen oppførselen til elementene, de forskjellige begrepene i ligningen er derfor matriser . Ved hvert gangstrinn søker løseren en stasjonær løsning på denne ligningen, som derfor representerer en likevektssituasjon.

Å være en kvastatisk oppløsning, løses systemet statisk for hvert gangstrinn.

I eksplisitt formulering er fenomenet representert av Navier-Stokes-ligningene , delvise differensialligninger som tilsvarer bevaring av masse, momentum (momentum) og energi i Lagrangian-koordinater :

bevaring av masse :

{\ displaystyle {\ frac {\ rho _ {0} \ mathrm {V} _ {0}} {\ mathrm {V}}} = {\ frac {m} {\ mathrm {V}}}}

momentum bevaring :

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} \ rho {\ ddot {x}} = b_ {x} + {\ frac {\ partial \ sigma _ {xx}} {\ partial x}} + {\ frac {\ partial \ sigma _ {xy}} {\ partial y}} + {\ frac {\ partial \ sigma _ {xz}} {\ partial z}} \\\ rho {\ ddot {y}} = b_ {y} + {\ frac {\ partial \ sigma _ {yx}} {\ partial x}} + {\ frac {\ partial \ sigma _ {yy}} {\ partial y}} + {\ frac {\ partial \ sigma _ {yz}} {\ partial z}} \\\ rho {\ ddot {z}} = b_ {z} + {\ frac {\ partial \ sigma _ {zx}} {\ partial x}} + {\ frac {\ partial \ sigma _ {zy}} {\ partial y}} + {\ frac {\ partial \ sigma _ {zz}} {\ partial z}} \\\ end {matrix}} \ right. }

Energi konservering:

{\ displaystyle {\ dot {e}} = {\ frac {1} {\ rho}} (\ sigma _ {xx} {\ dot {\ varepsilon}} _ {xx} + \ sigma _ {yy} {\ punkt {\ varepsilon}} _ {yy} + \ sigma _ {zz} {\ dot {\ varepsilon}} _ {zz} +2 \ sigma _ {xy} {\ dot {\ varepsilon}} _ {xy} + 2 \ sigma _ {yz} {\ dot {\ varepsilon}} _ {yz} +2 \ sigma _ {zx} {\ dot {\ varepsilon}} _ {zx})}

eller

ρ 0 er den opprinnelige tettheten og ρ tettheten ved tiden t ;
V 0 er den initielle volumet av cellen og V er volumet ved tiden t ;
σ er spenningstensoren ;
ε er stammens tensor .

Disse ligningene løses i hvert trinn ved å vurdere resultatene av simuleringen i forrige tidstrinn, men uten å søke likevekt.