Eulers identitet

I matematikk er Eulers identitet en sammenheng mellom flere grunnleggende konstanter og bruk av de tre aritmetiske operasjonene addisjon , multiplikasjon og eksponentiering :

{\ displaystyle \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} \ pi} + 1 = 0}

hvor basis $e$ av naturlige logaritme er analysen , den enhet imaginære $jeg$ representerer algebra , de konstante Archimedes $π$ representerer geometrien , det hele tall 1 den aritmetiske og nummer 0 matematikk .

Den er oppkalt etter matematikeren Leonhard Euler som får den til å vises i sin Introductio , publisert i Lausanne i 1748 . Før den ble sitert av Euler, var denne formelen kjent for den engelske matematikeren Roger Cotes , som døde i 1716.

Demonstrasjon

Ved kompleks analyse

Siden $cos π = -1$ og $sin π = 0$ , er denne formelen det spesielle tilfellet $x = π$ av Eulers formel i kompleks analyse (for ethvert reelt tall $x , e i x = cos x + i sin x$ ).

Det er også spesialtilfellet n = 2 om nullheten til summen av enhetens n- te røtter .

Etter geometri

Sammenstilling av 8 høyre trekanter
Sammenstilling av 16 høyre trekanter
Illustrasjon av resultatet

Den geometriske tolkningen som gir et demonstrasjonsspor etter en sekvens, er basert på sammenstillingen av høyre trekanter .

\ forall z \, \ i {\ mathbb {C}} \ quad {\ mathrm e} ^ {z} = \ lim _ {{n \ to \ infty}} \ left (1 + {\ dfrac {z} { n}} \ høyre) ^ {n}

imidlertid, de komplekse multiplikasjonene som resulterer i rotasjoner, blir koordinatpunktet oppnådd ved å sidestille N høyre trekanter. $\ left (1 + {\ dfrac {{\ mathrm i} \ pi} N} \ høyre) ^ {N}$

Matematisk skjønnhet

Eulers identitet blir ofte sitert som et eksempel på matematisk skjønnhet .

I tillegg til likhet, brukes tre av de grunnleggende aritmetiske operasjonene der, hver gang: tillegg , multiplikasjon og eksponentiering . Identitet involverer også fem grunnleggende matematiske konstanter :

0 , det nøytrale elementet i tillegg.
1 , det nøytrale multiplikasjonselementet.
$π$ , allestedsnærværende i trigonometri , geometri i det euklidiske rommet og matematisk analyse ( $π$ = 3.14159265 ...)
$e$ , basis for logaritmer som ofte vises i analyse, differensialregning og finansmatematikk ( $e$ = 2,718281828 ...). Akkurat som $π$ er det et transcendent tall .
$i$ , den imaginære enheten ved basen av komplekse tall , som tillot studiet av oppløsningen av polynomiske ligninger før de så bruken deres utvidet.

Inventeringen av disse forskjellige elementene er bedre demonstrert av den omvendte polske notasjonen av Eulers formel:

0; 1; e ; i ; π; *; ^; +; =

Videre, i denne formen, er identitet skrevet som et uttrykk lik null, en vanlig praksis i matematikk.

Vi utleder at den komplekse eksponensielle er $2πi$ - periodisk .

Hyllest

Paul Nahin, professor emeritus ved University of New Hampshire , skriver i sitt arbeid om Eulers identitet og dens anvendelser i Fourier-analyse at formelen definerer " gullstandarden for matematisk skjønnhet " .

Da Eulers identitet ble avslørt for Benjamin Peirce , erklærte han: ”Mine herrer, det er absolutt sant, det er absolutt paradoksalt; vi kan ikke forstå det, og vi vet ikke hva det betyr, men vi har bevist det, og derfor vet vi at det må være sannheten. " .

Eulers identitet dukker også opp i romanen The Housekeeper and the Professor of Yoko Ogawa .

Historie

Den engelske matematikeren Roger Cotes (død 1716, da Euler bare var 9 år gammel) visste denne identiteten. Euler kunne ha lært om eksistensen fra sin sveitsiske landsmann Johann Bernoulli .

Merknader og referanser

(fr) Denne artikkelen er delvis eller helt hentet fra Wikipedia-artikkelen på engelsk med tittelen " Euler's identity " ( se forfatterlisten ) .

" Nøytrale elementer _ nøytralisering av en faktor_ eller term_egenskaper for de 4 operasjonene med heltall og desimaler " , på warmaths.fr (åpnet 22. september 2017 )
finnes på Math Stack Exchange en detaljert analyse av denne demonstrasjonen (i) .
(i) James Gallagher , " Mathematics: Why the Brain Sees math ace beauty " , BBC News Online ,13. februar 2014( les online ).
(i) John Allen Paulos , Beyond Numeracy: An Uncommon Dictionary of Mathematics , Penguin , 1992 ( ISBN 0-14-014574-5 ) , s. 117.
(i) Robert P. Crease (i) , " Ligninger har ikoner " PhysicsWeb , mars 2007 ( innskrift på tilgang ).
(in) Eli Maor , e: The Story of a number , Princeton University Press , 1998 ( ISBN 978-0-691-14134-3 ) , s. 160 og (i) Edward Kasner og James R. Newman , matematikk og Imagination (i) , Dover , 2013 ( 1 st ed. Simon & Schuster , 1940), s. 103-104 .
(i) Charles Edward Sandifer, Tidlig matematikk av Leonhard Euler , American Mathematical Society, s. 4 . ( ISBN 978-0521116602 )