Identiteten til Binet-Cauchy
I matematikk , og nærmere bestemt i algebra , sier identiteten til Binet - Cauchy , på grunn av Jacques Philippe Marie Binet og Augustin-Louis Cauchy , at:
(∑Jeg=1ikkepåJegvs.Jeg)(∑j=1ikkebjdj)=(∑Jeg=1ikkepåJegdJeg)(∑j=1ikkebjvs.j)+∑1≤Jeg<j≤ikke(påJegbj-påjbJeg)(vs.Jegdj-vs.jdJeg){\ displaystyle {\ biggl (} \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} c_ {i} {\ biggr)} {\ biggl (} \ sum _ {j = 1} ^ {n} b_ {j} d_ {j} {\ biggr)} = {\ biggl (} \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} d_ {i} {\ biggr)} {\ biggl (} \ sum _ {j = 1} ^ {n} b_ {j} c_ {j} {\ biggr)} + \ sum _ {1 \ leq i <j \ leq n} (a_ {i} b_ {j} -a_ {j} b_ {i}) (c_ {i} d_ {j} -c_ {j} d_ {i})}for alle sett med reelle eller komplekse tall (eller, mer generelt, av elementer i en kommutativ ring ). I det spesielle tilfellet hvor a i = c i og b j = d j , reduseres det til Lagrange-identiteten .
Forhold til ytre algebra
Ved å bruke skalarproduktet og det eksterne produktet (som identifiseres, for n = 3, med kryssproduktet ), kan identiteten skrives
(på⋅vs.)(b⋅d)=(på⋅d)(b⋅vs.)+(på∧b)⋅(vs.∧d){\ displaystyle (a \ cdot c) (b \ cdot d) = (a \ cdot d) (b \ cdot c) + (a \ wedge b) \ cdot (c \ wedge d) \,}hvor a , b , c og d er vektorer med n koordinater. Vi kan fremdeles se det som en formel som gir prikkproduktet av to ytre produkter som en funksjon av prikkproduktene:
(på∧b)⋅(vs.∧d)=(på⋅vs.)(b⋅d)-(på⋅d)(b⋅vs.).{\ displaystyle (a \ wedge b) \ cdot (c \ wedge d) = (a \ cdot c) (b \ cdot d) - (a \ cdot d) (b \ cdot c). \,}I det spesielle tilfellet med like vektorer ( a = c og b = d ) blir formelen ( Lagrange identitet )
|på∧b|2=|på|2|b|2-|på⋅b|2{\ displaystyle | a \ wedge b | ^ {2} = | a | ^ {2} | b | ^ {2} - | a \ cdot b | ^ {2}}.
Demonstrasjon
Ved å utvikle siste periode og legge til og trekke velvalgte utfyllende summer, får vi:
∑1≤Jeg<j≤ikke(påJegbj-påjbJeg)(vs.Jegdj-vs.jdJeg){\ displaystyle \ sum _ {1 \ leq i <j \ leq n} (a_ {i} b_ {j} -a_ {j} b_ {i}) (c_ {i} d_ {j} -c_ {j} d_ {i})}
=∑1≤Jeg<j≤ikke(påJegvs.Jegbjdj+påjvs.jbJegdJeg)+∑Jeg=1ikkepåJegvs.JegbJegdJeg-∑1≤Jeg<j≤ikke(påJegdJegbjvs.j+påjdjbJegvs.Jeg)-∑Jeg=1ikkepåJegdJegbJegvs.Jeg{\ displaystyle = \ sum _ {1 \ leq i <j \ leq n} (a_ {i} c_ {i} b_ {j} d_ {j} + a_ {j} c_ {j} b_ {i} d_ { i}) + \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} c_ {i} b_ {i} d_ {i} - \ sum _ {1 \ leq i <j \ leq n} (a_ { i} d_ {i} b_ {j} c_ {j} + a_ {j} d_ {j} b_ {i} c_ {i}) - \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} d_ {i} b_ {i} c_ {i}},
som gjør det mulig å gruppere sammen:
=∑Jeg=1ikke∑j=1ikkepåJegvs.Jegbjdj-∑Jeg=1ikke∑j=1ikkepåJegdJegbjvs.j.{\ displaystyle = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ sum _ {j = 1} ^ {n} a_ {i} c_ {i} b_ {j} d_ {j} - \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ sum _ {j = 1} ^ {n} a_ {i} d_ {i} b_ {j} c_ {j}.}Med utgangspunkt i vilkårene indeksert av i , resulterer identiteten.
Generalisering
En mer generell form, kjent som Binet-Cauchy-formelen , sier at hvis A er en m × n- matrise og B er en n × m- matrise , har vi
det(PÅB)=∑S⊂{1,...,ikke}|S|=mdet(PÅS)det(BS),{\ displaystyle \ det (AB) = \ sum _ {\ scriptstyle S \ subset \ {1, \ ldots, n \} \ atop \ scriptstyle | S | = m} \ det (A_ {S}) \ det (B_ {S}),}hvor S er en delmengde av {1, ..., n } som har m- elementer, A S er m × m- matrisen hvis kolonner er de til A som har indeksene i S , og på samme måte er B S m × m- matrisen dannet av rader av B med indekser i S ; i denne formelen blir summen overtatt alle mulige delmengder.
Identiteten til Binet-Cauchy blir utledet fra dette som en bestemt sak, ved å stille
PÅ=(på1...påikkeb1...bikke),B=(vs.1d1⋮⋮vs.ikkedikke).{\ displaystyle A = {\ begin {pmatrix} a_ {1} & \ dots & a_ {n} \\ b_ {1} & \ dots & b_ {n} \ end {pmatrix}}, \ quad B = {\ begynn {pmatrix} c_ {1} & d_ {1} \\\ vdots & \ vdots \\ c_ {n} & d_ {n} \ end {pmatrix}}.}
Merknader og referanser
-
(in) Eric W. Weisstein , CRC Concise Encyclopedia of Mathematics , CRC Press ,
2003, 2 nd ed. , 3242 s. ( ISBN 978-1-58488-347-0 ) , “Binet-Cauchy identity” , s. 228
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">