Lagrange identitet

I matematikk , og mer spesielt i algebra , er identiteten til Lagrange , oppdaget av Joseph Louis Lagrange , en formel som forvandler et produkt av kvadratsummen til en annen kvadrattsum; det har viktige konsekvenser for egenskapene til kryssproduktet .

Algebraiske formuleringer av identitet

Den identiteten til Lagrange er:

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ biggl (} \ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} ^ {2} {\ biggr)} {\ biggl (} \ sum _ {k = 1} ^ {n} b_ {k} ^ {2} {\ biggr)} - {\ biggl (} \ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} b_ {k} {\ biggr)} ^ {2} && = & \ sum _ {1 \ leq i <j \ leq n} (a_ {i} b_ {j} -a_ {j} b_ {i}) ^ {2} & \\ & {\ biggl (} & = & {1 \ over 2} \ sum _ {1 \ leq i, j \ leq n} (a_ {i} b_ {j} -a_ {j} b_ {i}) ^ {2} & {\ biggr)} \ end {align}}}

Det gjelder to familier ( a 1 , a 2 ,…, a n ) og ( b 1 , b 2 ,…, b n ) med reelle eller komplekse tall , eller mer generelt for elementer i en kommutativ ring . Dette er et spesielt tilfelle av identiteten til Binet-Cauchy .

I det virkelige tilfellet kan vi uttrykke det mer kompakt med en vektornotasjon:

{\ displaystyle \ | \ mathbf {a} \ | ^ {2} \ \ | \ mathbf {b} \ | ^ {2} - (\ mathbf {a \ cdot b}) ^ {2} = \ sum _ { 1 \ leq i <j \ leq n} \ left (\ det {\ begin {pmatrix} a_ {i} & b_ {i} \\ a_ {j} & b_ {j} \ end {pmatrix}} \ høyre) ^ {2}}

hvor a og b er vektorer av ℝ n . Dette uttrykket kan utvides til ℂ n ved å erstatte punktproduktet med et Hermitian-produkt og kvadratet til et komplekst tall z med kvadratet av dets modul | z | :

{\ displaystyle {\ biggl (} \ sum _ {k = 1} ^ {n} | a_ {k} | ^ {2} {\ biggr)} {\ biggl (} \ sum _ {k = 1} ^ { n} | b_ {k} | ^ {2} {\ biggr)} - {\ biggl |} \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ overline {a_ {k}}} b_ {k} { \ biggr |} ^ {2} = \ sum _ {1 \ leq i <j \ leq n} | a_ {i} b_ {j} -a_ {j} b_ {i} | ^ {2}}

det er å si :

{\ displaystyle \ | \ mathbf {a} \ | ^ {2} \ \ | \ mathbf {b} \ | ^ {2} - | \ mathbf {a \ cdot b} | ^ {2} = \ sum _ { 1 \ leq i <j \ leq n} \ left | \ det {\ begin {pmatrix} a_ {i} & b_ {i} \\ a_ {j} & b_ {j} \ end {pmatrix}} \ right | ^ {2}.}

Den høyre siden av likheten er positiv og bare avbrytes når a og b er kollinære , innebærer Lagrange-identiteten Cauchy-Schwarz-ulikheten og dens tilfelle av likhet i tilfelle euklidiske rom (for eksempel ℝ n ), og dens analog i hermitiske mellomrom (som ℂ n ).

Spesialtilfellene n = 2 og n = 3 har geometriske tolkninger:

for n = 2, får vi identiteten til Diophantus (som generaliserer til Brahmagupta) : ${\ displaystyle (a_ {1} ^ {2} + a_ {2} ^ {2}) (b_ {1} ^ {2} + b_ {2} ^ {2}) = (a_ {1} b_ {1 } + a_ {2} b_ {2}) ^ {2} + (a_ {1} b_ {2} -a_ {2} b_ {1}) ^ {2},}$ som tilsvarer multiplikativiteten til modulen i kompleksene siden, ved å sette og , er denne formelen ekvivalent med ; ${\ displaystyle z_ {1} = a_ {1} + {\ rm {i}} a_ {2}}$ ${\ displaystyle z_ {2} = b_ {2} + {\ rm {i}} b_ {1}}$ ${\ displaystyle | z_ {1} z_ {2} | ^ {2} = | z_ {1} | ^ {2} | z_ {2} | ^ {2}}$
saken n = 3 er diskutert nedenfor, i avsnittet viet til kryssproduktet .

Demonstrasjon av den algebraiske versjonen

Følgende bevis tilsvarer en direkte algebraisk beregning, og er derfor gyldig i enhver kommutativ ring .

{\ displaystyle {\ begin {align} \ sum _ {1 \ leq i <j \ leq n} (a_ {i} b_ {j} -a_ {j} b_ {i}) ^ {2} & = \ sum _ {1 \ leq i <j \ leq n} (a_ {i} ^ {2} b_ {j} ^ {2} -2a_ {i} b_ {i} a_ {j} b_ {j} + a_ {j } ^ {2} b_ {i} ^ {2}) \\ & = \ sum _ {\ begin {smallmatrix} 1 \ leq i, j \ leq n \\ i \ neq j \ end {smallmatrix}} (a_ {i} ^ {2} b_ {j} ^ {2} -a_ {i} b_ {i} a_ {j} b_ {j}) \\ & = \ sum _ {1 \ leq i, j \ leq n } (a_ {i} ^ {2} b_ {j} ^ {2} -a_ {i} b_ {i} a_ {j} b_ {j}) \\ & = \ left (\ sum _ {i = 1 } ^ {n} a_ {i} ^ {2} \ høyre) \ left (\ sum _ {j = 1} ^ {n} b_ {j} ^ {2} \ høyre) - \ left (\ sum _ { i = 1} ^ {n} a_ {i} b_ {i} \ høyre) \ venstre (\ sum _ {j = 1} ^ {n} a_ {j} b_ {j} \ høyre). \ end {justert }}}

Lagrange sin identitet i ekstern algebra

Ved bruk av det eksterne produktet kan identiteten til Lagrange skrives:

{\ displaystyle (a \ cdot a) (b \ cdot b) - (a \ cdot b) ^ {2} = (a \ wedge b) \ cdot (a \ wedge b).}

Det gir derfor normen for det eksterne produktet av to vektorer i henhold til deres skalære produkt:

{\ displaystyle \ | a \ wedge b \ | = {\ sqrt {(\ | a \ | \ \ | b \ |) ^ {2} - \ | a \ cdot b \ | ^ {2}}}.}

Lagrange sin identitet og kryssproduktet

I tre dimensjoner sier Lagranges identitet at kvadratet til arealet til et parallellogram er lik summen av kvadratene i områdene av projeksjonene på de tre koordinatplanene. Algebraisk, hvis a og b er vektorer av ℝ 3 med norm | a | og | b |, kan vi skrive identiteten ved hjelp av kryssproduktet og det skalære produktet :

{\ displaystyle | \ mathbf {a} | ^ {2} | \ mathbf {b} | ^ {2} - (\ mathbf {a \ cdot b}) ^ {2} = | \ mathbf {a \ times b} | ^ {2}.}

Faktisk er venstre side

{\ displaystyle | \ mathbf {a} | ^ {2} | \ mathbf {b} | ^ {2} (1- \ cos ^ {2} \ theta) = | \ mathbf {a} | ^ {2} | \ mathbf {b} | ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}

hvor θ er vinkelen dannet av vektorene a og b ; er arealet av parallellogrammet av sidene | a | og | b | og vinkel θ (se også artikkelen Determinant (matematikk) ), og derfor er venstre side kvadratet i dette området. Korsproduktet til høyre er definert av

{\ displaystyle \ mathbf {a} \ times \ mathbf {b} = (a_ {2} b_ {3} -a_ {3} b_ {2}) \ mathbf {i} + (a_ {3} b_ {1} -a_ {1} b_ {3}) \ mathbf {j} + (a_ {1} b_ {2} -a_ {2} b_ {1}) \ mathbf {k},}

vektor hvis koordinater er (i absolutt verdi) områdene til projeksjonene av parallellogrammet på henholdsvis yz- , zx- og xy- planene .

I dimensjon 7

For vektorene a og b av ℝ 7 kan Lagrange-identiteten skrives, som i tilfelle ℝ 3 , i form:

{\ displaystyle | \ mathbf {a} | ^ {2} | \ mathbf {b} | ^ {2} - | \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} | ^ {2} = | \ mathbf {a } \ times \ mathbf {b} | ^ {2}.}

Imidlertid har det 7-dimensjonale kryssproduktet ikke alle egenskapene til det vanlige kryssproduktet. Så for eksempel verifiserer det ikke identiteten til Jacobi .

Tolkning av kvaternioner

Et kvaternion p er definert som summen av en skalar t og en vektor v :

{\ displaystyle p = t + \ mathbf {v} = t + x \ \ mathbf {i} + y \ \ mathbf {j} + z \ \ mathbf {k}.}

Produktet av to kvaternjoner p = t + v og q = s + w er definert av

{\ displaystyle pq = (st- \ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {w}) + s \ mathbf {w} + t \ mathbf {v} + \ mathbf {v} \ times \ mathbf {w}.}

Konjugatet av q er

{\ displaystyle {\ overline {q}} = t- \ mathbf {v},}

og firkanten av dens norm er

{\ displaystyle | q | ^ {2} = q {\ overline {q}} = t ^ {2} \ + \ x ^ {2} + \ y ^ {2} \ + \ z ^ {2}.}

Vi har multiplikativiteten til normen, det vil si at for kvaternjoner p og q har vi:

{\ displaystyle | pq | = | p || q |.}

Kvarternionene p og q sies å være imaginære (eller rene) hvis deres skalære del er null, eller hvis

{\ displaystyle p = \ mathbf {v}, \ quad q = \ mathbf {w}.}

Lagranges identitet (i dimensjon 3) tilsvarer ganske enkelt å hevde multiplikativiteten til normen for imaginære kvaternjoner

{\ displaystyle | \ mathbf {v} \ mathbf {w} | ^ {2} = | \ mathbf {v} | ^ {2} | \ mathbf {w} | ^ {2}}

siden, per definisjon,

{\ displaystyle | \ mathbf {v} \ mathbf {w} | ^ {2} = (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {w}) ^ {2} + | \ mathbf {v} \ times \ mathbf { w} | ^ {2}.}

(Multiplikativiteten for kvaternioner gir en annen viktig identitet: identiteten til de fire Euler-rutene .)

Referanser

(fr) Denne artikkelen er delvis eller helt hentet fra Wikipedia-artikkelen på engelsk med tittelen " Lagrange's identity " ( se listen over forfattere ) .

(in) Eric W. Weisstein , CRC Concise Encyclopedia of Mathematics , CRC Press , 2003, 2 nd ed. , 3252 s. ( ISBN 978-1-4200-3522-3 , les online ).
(in) Robert E. Greene og Steven G. Krantz , Function Theory of One Complex Variable , AMS , 2006, 3 e ed. , 504 s. ( ISBN 978-0-8218-3962-1 , leses online ) , “Oppgave 16” , s. 22.
(in) Vladimir A. Boichenko, Leonov Gennadii Alekseevich og Volker Reitmann, Dimension Theory for Ordinary Differential Equations , Vieweg + Teubner Verlag , 2005( ISBN 3-519-00437-2 , leses online ) , s. 26.
(i) J. Michael Steele , Cauchy-Schwarz Master klasse: En introduksjon til den Art of Mathematical Ulikheter , UPC ,2004, 306 s. ( ISBN 978-0-521-54677-5 , les online ) , “Oppgave 4.4: Lagranges identitet for komplekse tall” , s. 68-69.
Se for eksempel side 4 i kapittel 7 i denne boken av Frank Jones, Rice University .
(i) Howard og Chris Anton Rorres, Elementary Linear Algebra: Søknader versjon , John Wiley & Sons ,2010, 10 th ed. , 773 s. ( ISBN 978-0-470-43205-1 og 0-470-43205-5 , leses online ) , “Relasjoner mellom punkt- og kryssprodukter” , s. 162.
(i) Pertti Lounesto , Clifford algebraer og spinors , CUP,2001, 2 nd ed. , 338 s. ( ISBN 978-0-521-00551-7 , leses online ) , s. 94.
Lounesto 2001 . Se særlig § 7.4 Tverrprodukter i ℝ 7 , s. 96 .
(in) Jack B. Kuipers , Quaternions and Rotation Sequences: A Primer with Applications to Orbits, Aerospace and Virtual Reality , PUP ,2002, 371 s. ( ISBN 978-0-691-10298-6 , leses online ) , kap. § 5.6 (“Normen”) , s. 111.