Rogers-Ramanujan Identities

I kombinatorikk er Rogers-Ramanujan-identitetene følgende to hypergeometriske q-serie- likheter (en) , som kan tolkes som likheter mellom antall partisjoner av heltall :

{\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {q ^ {\ color {Red} n ^ {2}}} {(1-q) (1-q ^ {2}) \ cdots (1-q ^ {n})}} = \ prod _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {(1-q ^ {5k \ color {Red} +1}) (1-q ^ {5k \ color {Red} +4})}},}

{\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {q ^ {\ color {Red} n (n + 1)}} {(1-q) (1-q ^ {2} ) \ cdots (1-q ^ {n})}} = \ prod _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {(1-q ^ {5k \ color {Red} +2} ) (1-q ^ {5k \ color {Red} +3})}}.}

Historie

De ble oppdaget og bevist først av Leonard James Rogers (i) i 1894, deretter funnet (men uten bevis) av Srinivasa Ramanujan kort før 1913. Ramanujan oppdaget Rogers 'seksjon i 1917; deretter publiserte de sammen et nytt bevis. Issai Schur oppdaget også disse identitetene og demonstrerte dem (uavhengig) i 1917.

Definisjon

Ved hjelp av Pochhammer q-symbolet er Rogers-Ramanujan-identitetene:

G (q) = \ sum _ {{n = 0}} ^ {\ infty} {\ frac {q ^ {{n ^ {2}}}} {(q; q) _ {n}}} = { \ frac {1} {(q; q ^ {5}) _ {\ infty} (q ^ {4}; q ^ {5}) _ {\ infty}}} = 1 + q + q ^ {2} + q ^ {3} + 2q ^ {4} + 2q ^ {5} + 3q ^ {6} + \ cdots \,

(forts. A003114 fra OEIS )

H (q) = \ sum _ {{n = 0}} ^ {\ infty} {\ frac {q ^ {{n ^ {2} + n}}} {(q; q) _ {n}}} = {\ frac {1} {(q ^ {2}; q ^ {5}) _ {\ infty} (q ^ {3}; q ^ {5}) _ {\ infty}}} = 1 + q ^ {2} + q ^ {3} + q ^ {4} + q ^ {5} + 2q ^ {6} + \ cdots \,

(fortsettelse A003106 av OEIS ).

Pochhammer-symboler

Pochhammer-symbolene som spiller inn er:

{\ displaystyle (q; q) _ {n} = \ prod _ {k = 1} ^ {n} (1-q ^ {k}) = (1-q) (1-q ^ {2}) \ cdots (1-q ^ {n})}

{\ displaystyle (q; q ^ {5}) _ {\ infty} = \ prod _ {k = 0} ^ {\ infty} (1-q ^ {5k + 1})}

{\ displaystyle (q ^ {4}; q ^ {5}) _ {\ infty} = \ prod _ {k = 0} ^ {\ infty} (1-q ^ {5k + 4})}

{\ displaystyle (q ^ {2}; q ^ {5}) _ {\ infty} = \ prod _ {k = 0} ^ {\ infty} (1-q ^ {5k + 2})}

{\ displaystyle (q ^ {3}; q ^ {5}) _ {\ infty} = \ prod _ {k = 0} ^ {\ infty} (1-q ^ {5k + 3})}

Kombinatoriske tolkninger

For den første identiteten ( $G$ ) kan høyre side tolkes som antall partisjoner av n hvis deler avviker med minst 2, og venstre side er antall partisjoner av n i deler som er kongruente til ± 1 modulo 5 (1 , 4, 6, 9 osv. ).

For andre ( $H$ ):

${\ displaystyle {\ frac {q ^ {n ^ {2} + n}} {(q; q) _ {n}}}}$ er serien som genererer partisjoner i n deler slik at to tilstøtende deler skiller seg med minst 2 og slik at den minste delen er minst 2.
${\ displaystyle {\ frac {1} {(q ^ {2}; q ^ {5}) _ {\ infty} (q ^ {3}; q ^ {5}) _ {\ infty}}}}$ er seriegenererende partisjoner slik at hver del er kongruent til 2 eller 3 modulo 5.

Antall partisjoner av n slik at to tilstøtende deler skiller seg ut med minst 2 og slik at den minste delen er minst 2 er lik antall partisjoner av n slik at hver del er kongruent til 2 eller 3 modulo 5.

Merknader og referanser

(fr) Denne artikkelen er helt eller delvis hentet fra den engelske Wikipedia- artikkelen med tittelen “ Rogers - Ramanujan identities ” ( se forfatterliste ) .

GH Hardy og EM Wright ( oversatt fra engelsk av F. Sauvageot), Introduksjon til tallteorien [" En introduksjon til teorien om tall "], Vuibert -Springer,2007, s. 375, th. 362 og 363.
(i) Leonard James Rogers , " Third Memoir on the expansion of some Infinite Products " , Proc. London matematikk. Soc. , vol. 26, n o 1,1894, s. 15-32 ( DOI 10.1112 / plms / s1-26.1.15 ).
Han kommuniserte dem til Percy Alexander MacMahon som inkluderte dem i sin bok Combinatory Analysis , Cambridge University Press, Vol. 2, 1916, uten demonstrasjon.
(i) Leonard James Rogers og Srinivasa Ramanujan , " Bevis på noen identiteter i kombinasjonsanalyse " , Cambr. Phil. Soc. Proc. , vol. 19, 1919, s. 211-216.
(De) Issai Schur , " Ein Beitrag zur additiven Zahlentheorie und zur Theorie der Kettenbrüche " , Sitzungsberichte der Berliner Akademie ,1917, s. 302-321.
Hardy og Wright 2007 , s. 376, th. 364.
" Identity of Rogers-Ramanujan " , på Publimath .

Se også

Bibliografi

(en) Cilanne Boulet og Igor Pak (en) , “ A combinatorial proof of the Rogers-Ramanujan and Schur identities ” , Journal of Combinatorial Theory , a, vol. 113, n o 6,2006, s. 1019-1030 ( DOI 10.1016 / j.jcta.2005.09.007 , arXiv math / 0411072 , les online )
(no) David Bressoud , “ Et enkelt bevis på Rogers-Ramanujan-identitetene ” , J. Number Theory , vol. 16, n o to1983, s. 235-241 ( DOI 10.1016 / 0022-314X (83) 90043-4 )

Relaterte artikler

Ekstern lenke

(no) Eric W. Weisstein , “ Rogers-Ramanujan Identities ” , på MathWorld