Trippelprodukt av Jacobi
I matematikk er tredobbeltproduktet Jacobi et forhold som uttrykker theta-funksjonene til Jacobi , vanligvis skrevet som serie , som uendelig produkt . Denne relasjonen generaliserer flere andre resultater, for eksempel det femkantede tallsetningen .
La x og z av de komplekse tallene , med | x | <1 og z ≠ 0. Deretter
∏m∈IKKE∗(1-x2m)(1+x2m-1z)(1+x2m-1z-1)=∑ikke∈Zxikke2zikke{\ displaystyle \ prod _ {m \ in \ mathbb {N} ^ {*}} \ left (1-x ^ {2m} \ right) \ left (1 + x ^ {2m-1} z \ right) \ venstre (1 + x ^ {2m-1} z ^ {- 1} \ høyre) = \ sum _ {n \ i \ mathbb {Z}} x ^ {n ^ {2}} z ^ {n}}![{\ displaystyle \ prod _ {m \ in \ mathbb {N} ^ {*}} \ left (1-x ^ {2m} \ right) \ left (1 + x ^ {2m-1} z \ right) \ venstre (1 + x ^ {2m-1} z ^ {- 1} \ høyre) = \ sum _ {n \ i \ mathbb {Z}} x ^ {n ^ {2}} z ^ {n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9c6c6276dcb42b07f1c46a31fe36f0ad13fec95)
.
Omformuleringer
Dette kan sees på som et forhold som involverer theta-funksjoner . Ta og ; høyre side er da theta-funksjonen:
x=eksp(Jegπτ){\ displaystyle x = \ exp (\ mathrm {i} \ pi \ tau)}
z=eksp(2Jegπs){\ displaystyle z = \ exp (2 \ mathrm {i} \ pi s)}![{\ displaystyle z = \ exp (2 \ mathrm {i} \ pi s)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/653f2f2277408f7478a9e44a0de3b89d4035e723)
ϑ(s;τ)=∑ikke=-∞∞eksp(Jegπikke2τ+2Jegπikkes){\ displaystyle \ vartheta (s; \ tau) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} \ exp (\ mathrm {i} \ pi n ^ {2} \ tau +2 \ mathrm {i } \ pi ns)}![{\ displaystyle \ vartheta (s; \ tau) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} \ exp (\ mathrm {i} \ pi n ^ {2} \ tau +2 \ mathrm {i } \ pi ns)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52b0bb9e1d0e12455b5a598f5ae6ae884a800195)
.
Jacobis tredobbelte produkt får en veldig kompakt form i form av q -serier : ved å posere og omskrives
q=x2{\ displaystyle q = x ^ {2}}
vs.=x-1z{\ displaystyle c = x ^ {- 1} z}![{\ displaystyle c = x ^ {- 1} z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de487a394c08b371dfa8499d8c9016393c73b1a7)
(q;q)∞(-vs.q;q)∞(-1/vs.;q)∞=∑ikke∈Zvs.ikkeqikke(ikke+1)/2(J1){\ displaystyle (q; q) _ {\ infty} \; (- cq; q) _ {\ infty} \; (- 1 / c; q) _ {\ infty} = \ sum _ {n \ in \ mathbb {Z}} c ^ {n} q ^ {n (n + 1) / 2} \ quad (J_ {1})}
eller
(q;q)∞(-vs.q;q)∞(-q/vs.;q)∞=∑ikke∈IKKE(1-vs.+vs.2-⋯+vs.2ikke)vs.-ikkeqikke(ikke+1)/2(J2){\ displaystyle (q; q) _ {\ infty} \; (- cq; q) _ {\ infty} \; (- q / c; q) _ {\ infty} = \ sum _ {n \ in \ mathbb {N}} (1-c + c ^ {2} - \ dots + c ^ {2n}) c ^ {- n} q ^ {n (n + 1) / 2} \ quad (J_ {2} )}![{\ displaystyle (q; q) _ {\ infty} \; (- cq; q) _ {\ infty} \; (- q / c; q) _ {\ infty} = \ sum _ {n \ in \ mathbb {N}} (1-c + c ^ {2} - \ dots + c ^ {2n}) c ^ {- n} q ^ {n (n + 1) / 2} \ quad (J_ {2} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce0d92d178db75fc33435e214a1641f7274ff4f6)
,
hvor er q -Symboler Pochhammer : .
(på;q)∞{\ displaystyle (a; q) _ {\ infty}}
(på;q)∞=∏k∈IKKE(1-påqk){\ displaystyle (a; q) _ {\ infty} = \ prod _ {k \ in \ mathbb {N}} (1-aq ^ {k})}![{\ displaystyle (a; q) _ {\ infty} = \ prod _ {k \ in \ mathbb {N}} (1-aq ^ {k})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61c51f2361a83646b0c33167bcd768a3e77fa1cd)
Det tar også en spesielt elegant form når det uttrykkes med theta-funksjonen Ramanujan (en) (ved å sette q = ab og c = 1 / b ) for ,
|påb|<1{\ displaystyle | ab | <1}![{\ displaystyle | ab | <1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc0361918940275397f7e26c9c53ad6d3bfcccf3)
(påb;påb)∞(-på;påb)∞(-b;påb)∞=∑ikke∈Zpåikke(ikke+1)/2bikke(ikke-1)/2{\ displaystyle (ab; ab) _ {\ infty} \; (- a; ab) _ {\ infty} \; (- b; ab) _ {\ infty} = \ sum _ {n \ in \ mathbb { Z}} a ^ {n (n + 1) / 2} b ^ {n (n-1) / 2}}![{\ displaystyle (ab; ab) _ {\ infty} \; (- a; ab) _ {\ infty} \; (- b; ab) _ {\ infty} = \ sum _ {n \ in \ mathbb { Z}} a ^ {n (n + 1) / 2} b ^ {n (n-1) / 2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3054bf1c4cd3a11b6d36892c48653b1a470f606d)
.
Resultatene
De antallet femkantede teorem av Euler utledes trippel produktet Jacobi taking og i . Vi får da uttrykk for Euler-funksjonen :
q=X3{\ displaystyle q = X ^ {3}}
vs.=-1/X{\ displaystyle c = -1 / X}
(J1){\ displaystyle (J_ {1})}![{\ displaystyle (J_ {1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4fa4bc9938efd860d0c4349e853908d28184527)
ϕ(X): =(X;X)∞=(X3;X3)∞(X2;X3)∞(X;X3)∞=∑ikke∈Z(-1)ikkeXikke(3ikke+1)/2{\ displaystyle \ phi (X): = (X; X) _ {\ infty} = (X ^ {3}; X ^ {3}) _ {\ infty} (X ^ {2}; X ^ {3 }) _ {\ infty} (X; X ^ {3}) _ {\ infty} = \ sum _ {n \ in \ mathbb {Z}} (- 1) ^ {n} X ^ {n (3n + 1) / 2}}![{\ displaystyle \ phi (X): = (X; X) _ {\ infty} = (X ^ {3}; X ^ {3}) _ {\ infty} (X ^ {2}; X ^ {3 }) _ {\ infty} (X; X ^ {3}) _ {\ infty} = \ sum _ {n \ in \ mathbb {Z}} (- 1) ^ {n} X ^ {n (3n + 1) / 2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3bea7b68f1ae82a0dd2d8c00ccfd5dbd6e838e6)
.
Ved å ta inn får vi:
vs.=±1{\ displaystyle c = \ pm 1}
(J2){\ displaystyle (J_ {2})}![{\ displaystyle (J_ {2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24b1da6841f2077ddc331d74eb0c10cdb0a56fad)
∏k∈IKKE∗(1-Xk)3=∑ikke∈IKKE(-1)ikke(2ikke+1)Xikke(ikke+1)/2og∑ikke∈IKKEXikke(ikke+1)/2=∏k∈IKKE∗(1-X2k)(1+Xk)=∏k∈IKKE∗1-X2k1-X2k-1{\ displaystyle \ prod _ {k \ in \ mathbb {N} ^ {*}} (1-X ^ {k}) ^ {3} = \ sum _ {n \ in \ mathbb {N}} (- 1 ) ^ {n} (2n + 1) X ^ {n (n + 1) / 2} \ quad {\ text {and}} \ quad \ sum _ {n \ in \ mathbb {N}} X ^ {n (n + 1) / 2} = \ prod _ {k \ in \ mathbb {N} ^ {*}} (1-X ^ {2k}) (1 + X ^ {k}) = \ prod _ {k \ in \ mathbb {N} ^ {*}} {\ frac {1-X ^ {2k}} {1-X ^ {2k-1}}}}![{\ displaystyle \ prod _ {k \ in \ mathbb {N} ^ {*}} (1-X ^ {k}) ^ {3} = \ sum _ {n \ in \ mathbb {N}} (- 1 ) ^ {n} (2n + 1) X ^ {n (n + 1) / 2} \ quad {\ text {and}} \ quad \ sum _ {n \ in \ mathbb {N}} X ^ {n (n + 1) / 2} = \ prod _ {k \ in \ mathbb {N} ^ {*}} (1-X ^ {2k}) (1 + X ^ {k}) = \ prod _ {k \ in \ mathbb {N} ^ {*}} {\ frac {1-X ^ {2k}} {1-X ^ {2k-1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4fda67e8a494707b241afe090d368d8279b2879)
.
Jacobi trippelproduktet kan brukes til å demonstrere identiteten til det femdobbelte produktet :
∏m∈IKKE∗(1-xm)(1-xmz)(1-xm-1z-1)(1-x2m-1z2)(1-x2m-1z-2)=∑ikke∈Zxikke(3ikke+1)/2(z3ikke-z-3ikke-1){\ displaystyle \ prod _ {m \ in \ mathbb {N} ^ {*}} (1-x ^ {m}) (1-x ^ {m} z) (1-x ^ {m-1} z ^ {- 1}) (1-x ^ {2m-1} z ^ {2}) (1-x ^ {2m-1} z ^ {- 2}) = \ sum _ {n \ in \ mathbb { Z}} x ^ {n (3n + 1) / 2} (z ^ {3n} -z ^ {- 3n-1})}![{\ displaystyle \ prod _ {m \ in \ mathbb {N} ^ {*}} (1-x ^ {m}) (1-x ^ {m} z) (1-x ^ {m-1} z ^ {- 1}) (1-x ^ {2m-1} z ^ {2}) (1-x ^ {2m-1} z ^ {- 2}) = \ sum _ {n \ in \ mathbb { Z}} x ^ {n (3n + 1) / 2} (z ^ {3n} -z ^ {- 3n-1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3e85995738b191bd96a856d1350003d137ad13e)
.
Merknader og referanser
(fr) Denne artikkelen er delvis eller helt hentet fra Wikipedia-artikkelen på
engelsk med tittelen
" Jacobi triple product " ( se forfatterlisten ) .
-
GH Hardy og EM Wright ( oversatt fra engelsk av François Sauvageot, pref. Catherine Goldstein ), Introduksjon til tallteorien [“ En introduksjon til teorien om tall ”] [ detalj av utgaven ], s. 364 , th. 352.
-
(in) Tom M. Apostol , Introduction to Analytic Number Theory , Springer ,1976, kap. 14, s. 304-328, th. 14.6.
-
(no) Victor Kac og Pokman Cheung, Quantum Calculus , Springer,2002( les online ) , s. 35-36
-
(in) Daniel Duverney, Number Theory , World Scientific ,2010( les online ) , s. 104-105.
-
Et bevis på formell identitet , basert på Eulers to identiteter , finner du i leksjonen "Introduksjon til tallteori" på Wikiversity .
-
Hardy og Wright , s. 367, th. 353.
-
Apostol 1976 , s. 321.
-
(in) L. Carlitz og MV Subbarao (in) , " single A proof of the quintuple product identity " , Proc. Bitter. Matte. Soc. , vol. 32,1972, s. 42-44 ( les online ).
Relaterte artikler
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">