Maksimum ideal

Et maksimalt ideal er et konsept assosiert med teorien om ringer i matematikk og nærmere bestemt i algebra .

Et ideal for en kommutativ ring sies å være maksimal når den er inneholdt i nøyaktig to idealer, seg selv og hele ringen. Eksistensen av maksimale idealer er sikret av Krulls teorem .

Denne definisjonen gjør det mulig å generalisere forestillingen om ikke- reduserbart element til ringer som er forskjellige fra relative heltal . Noen av disse ringene har en viktig rolle i algebraisk tallteori og algebraisk geometri .

Motivasjoner

Den aritmetiske noen ganger krever arbeider med kompliserte kommutative ringer som noen av de algebraiske heltall . Teoremene som vanligvis brukes til å bygge teorien, som nedbrytningen i hovedfaktorer , er ikke lenger fullstendig bekreftet. I dette tilfellet er dekomponeringens unike egenskaper (unntatt rekkefølgen og de inverterbare elementene ) ikke eksakt.

For å være i stand til å konstruere teorien, forblir imidlertid et annet konsept operativt: idealene. Definisjonene som er gyldige for elementene, for eksempel irredusible , prime , prime in sig selv som en helhet , gcd eller til og med ppcm , har ofte ekvivalente definisjoner for ringer.

I en hovedring tilsvarer begrepet maksimalt ideal det med irredusible elementer. Det brukes spesielt i teorien om polynomer .

Definisjoner

Et maksimalt ideal for en kommutativ ring er et ideal slik at det er nøyaktig to idealer som inneholder den, seg selv og hele ringen.
Et irredusibelt element er et element som ikke er null, hvis genererte ideal er et maksimalt element i settet med hoved- og riktige idealer (det vil si forskjellig fra hele ringen).

Den siste definisjonen tilsvarer følgende:

Et irredusibelt element er et element slik at enhver nedbrytning i to faktorer inneholder ett og bare ett inverterbart element.

Eksempler

De maksimale idealene til den ( euklidiske , derfor viktigste ) ringen ℤ av relative heltall er idealene for formen p ℤ, for p et primtall . Å finne denne ringen gjør det mulig å definere ringene til p -adiske heltall .
Hvis K er et kommutativt felt , er de maksimale idealene til (euklidisk, derfor prinsipiell) ring K [ X ] idealene som genereres av de irredusible polynomene . I tilfelle der feltet er algebraisk lukket (for eksempel for feltet med komplekse tall ), er dette polynomene av grad 1. Å finne disse ringene fører til ringene i formelle serier .
I tilfelle av polynomet ring med koeffisienter i ringen av heltall, betyr en ikke-reduserbar polynom ikke nødvendigvis frembringer en maksimal ideell: den ideelle genereres av X er strengt tatt med i den som genereres ved 2 og X .
Hvis K er et kommutativt felt, er det eneste maksimale idealet {0}.
Ringer med bare ett maksimalt ideal er av spesiell betydning: dette er de lokale ringene . De oppnås vanligvis etter en lokaliseringsprosess som består i å gjøre nok elementer inverterbare slik at bare et maksimalt ideal forblir.

Eiendommer

Kvotient ring

Et ideelt I for en kommutativ ring A er maksimal hvis, og bare hvis kvotientringen A / I er et felt.

Følgelig er ethvert maksimalt ideal prime .

Denne egenskapen gjør det mulig for eksempel å konstruere bruddlegemet til et irredusibelt polynom.

Demonstrasjon

Anta at jeg er maksimal og viser at et ikke-null element x av A / I er inverterbart. Et slikt element x kvotient er klassen til et element a av A tilhører ikke jeg . Siden A er kommutativ, er I + aA et ideal. Ettersom dette ideelt strengt inneholder jeg er lik en . Dette betyr at det eksisterer et element i av I og et element b av A slik at i + ab = 1. Denne likheten viser at klassen x av a er inverterbar, omvendt klassen av b . Følgelig er A / I virkelig et legeme.
Omvendt, anta at A / jeg er en kropp og viser at hver ideelle J av A inneholder strengt jeg er lik en . Slik J inneholder har ikke tilhører jeg . Klassen har er en reversering element slik at det er et element b av A og et element i av I slik at I + ab = 1. Dette viser at like er et element i J og dermed J er lik A . Derfor er jeg virkelig maksimal.

Hovedring

Når det gjelder en hovedring , er forestillingene om irredusibilitet og primalitet forvirret:

For ethvert ideal I av en hovedring er følgende egenskaper ekvivalente:

Jeg er prime og ikke null;
I genereres av et ikke-null og ikke-inverterbart element som, hvis det deler et produkt ab , deler a eller b ;
Jeg er generert av et irredusjerbart element;
Jeg er maksimal.

En demonstrasjon er gitt i § “Hovedring” i artikkelen om hovedidealer .

Krulls teorem og inverterbare elementer

Den Krull teorem (tilsvarende det aksiom valg ) gir at i en hvilken som helst kommutative ringen, er en egen ideell alltid inkludert i det minste en maksimal ideell.

Følgelig er et element av ringen inverterbar hvis og bare hvis den ikke tilhører noe maksimalt ideal. Et element er faktisk ikke inverterbart hvis og bare hvis idealet det genererer er riktig.