Hovedideal

I matematikk , nærmere bestemt i teorien om ringer , er et hovedideal et ideal som genereres av et enkelt element.

Definisjon

La A være en ring .

• Et ideal til høyre Jeg sies å være prinsipp til høyre hvis det er lik idealet til høyre generert av et element a , det vil si om jeg = aA = { ax | x ∈ A }.
• Et ideal til venstre Jeg sies å være prinsipalt til venstre hvis det er lik idealet til venstre generert av et element a , det vil si om jeg = Aa  : = { xa | x ∈ A }.
• Et tosidig ideal I sies å være prinsipp hvis det er lik det tosidige idealet som genereres av et element a , det vil si om jeg = AaA  : = { x 1 ay 1 + ... + x n ay n | n ∈ N , x 1 , y 1 ,…, x n , y n ∈ A }.

Hvis A er kommutativ , faller disse tre forestillingene sammen og idealet som genereres av a blir notert ( a ).

Moteksempler

For integrert domene A som inneholder et element har ikke-null og ikke-inverterbar, er idealet som genereres av a og Y i ringen av polynomer A [ Y ] ikke prinsipielt.

Et eksempel på en slik situasjon er A = ℤ ringen av hele tall og et = et helt tall forskjellig fra 0, 1 og -1, eller, A = B [ X ] for å være en integrert B og a = X .

Hovedring

En ring av integritet der alle idealer er viktigste kalles en hovedring .

For eksempel er ℤ og K [ X ] for et kommutasjonsfelt K hovedringer.

Hovedidealer

La A være en kommutativ ring integrerer og har en ikke-null element av A .

• (a) er maksimal i settet med de rette hovedidealene til A hvis og bare hvis a er irredusibel  ;
• (a) er prime hvis og bare hvis a er prime  ;
• (a) er maksimal hvis og bare hvis a er ekstrem .

Hvis A er en GCD-ring , er de to første egenskapene ekvivalente. Hvis han er Bézout (spesielt hvis han er rektor), er alle tre det.

Merk

1. For en demonstrasjon, se for eksempel denne korrigerte øvelsen av leksjonen "Ring" på Wikiversity .