Feil integrert

I matematikk betegner den feilaktige integralen (eller generalisert integral ) en utvidelse av den vanlige integralen , definert av en form for passering til grensen i integraler. Vi betegner generelt de upassende integralene uten å skille dem fra de sanne integralene eller bestemte integralene , og er således: et klassisk eksempel på en konvergent upassende integral, men som ikke er definert i betydningen av de vanlige integrasjonsteoriene (om jeg er integrering av stykkevis kontinuerlig funksjoner , Riemann-integralen eller Lebesgue  ; et bemerkelsesverdig unntak er teorien om integrasjon av Kurzweil-Henstock ). ∫0+∞synd⁡ttdt{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {+ \ infty} {\ frac {\ sin t} {t}} \, \ mathrm {d} t}

I praksis blir man ført til å utføre en studie av konvergens av feil integral:

• når vi integrerer opp til en uendelig bånd;
• når vi integrerer opp til en grense der funksjonen ikke innrømmer en endelig grense;
• når man inkluderer et punkt med ikke-definisjon i integrasjonsintervallet.

I hvert tilfelle vil vi evaluere integralen definert som en funksjon av en av de to grensene, og vi vil ta grensen for funksjonen som oppnås når argumentet går mot verdien av grensen.

Den feilaktige integralen deler et visst antall elementære egenskaper med den bestemte integralen. Det tillater ikke å skrive grenseintegrerte inversjonsresultater med inversjonssetninger om ensartet konvergens. På den annen side eksisterer det en grenseintegral inversjonssetning tilpasset upassende integraler: det er den dominerte konvergenssatsen .

Definisjon

Definisjon av konvergensen til en feil integral

La (der a er reell, men b kan være uendelig ) en kontinuerlig funksjon eller, mer generelt, lokalt integrerbar , dvs. integrerbar på en hvilken som helst kompakt av [ a , b [ . Hvis grensenf:[på,b[→R{\ displaystyle f: [a, b [\ to \ mathbb {R}}

limx→b-∫påxf(t)dt{\ displaystyle \ lim _ {x \ to b ^ {-}} \ int _ {a} ^ {x} f (t) \, \ mathrm {d} t}

eksisterer og er endelig, kaller vi denne upassende integralgrensen på f på [ a , b [ .

På samme måte, la være en lokalt integrerbar funksjon. Hvis grensen f:]på,b]→R{\ displaystyle f: {] a, b]} \ to \ mathbb {R}}

limx→på+∫xbf(t)dt{\ displaystyle \ lim _ {x \ til a ^ {+}} \ int _ {x} ^ {b} f (t) \, \ mathrm {d} t}

eksisterer og er endelig, kaller vi denne upassende integrerte grensen for f på ] a , b ] .

I begge tilfeller kan vi merke oss denne grensen

∫påbf(t)dt{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (t) \, \ mathrm {d} t}, og man spesifiserer muligens hvis integralen er upassende for terminalen a eller for terminalen b .

Hvis grensen eksisterer og er endelig, sier vi at konvergerer; ellers sies det å avvike. ∫påbf(t)dt{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (t) \, {\ rm {d}} t}

Merknader

• Vi kan enkelt generalisere definisjonen til funksjoner som bare er definert på ] a , b [ (og lokalt integrerbar). Vi sier da det∫påbf(t)dt{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (t) \, \ mathrm {d} t}konvergerer når, for en vilkårlig, integralenevs.∈]på,b[{\ displaystyle c \ i {] a, b [}}∫påvs.f(t)dt og ∫vs.bf(t)dt{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {c} f (t) \, \ mathrm {d} t {\ text {et}} \ int _ {c} ^ {b} f (t) \, \ mathrm {d} t}konvergerer. I følge Chasles 'forhold for integraler , avhenger ikke denne definisjonen av valget av c .
• Det er en notasjon som gjør det mulig å avklare integralens feilaktige karakter:limx→b-∫påxf(t)dt{\ displaystyle \ lim _ {x \ to b ^ {-}} \ int _ {a} ^ {x} f (t) \, \ mathrm {d} t}kan skrives∫på→bf(t)dt.{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {\ to b} f (t) \, \ mathrm {d} t.}
• Hvis f faktisk er integrerbar i segmentet [ a , b ] , får vi ved disse definisjonene den samme verdien som om vi beregnet den bestemte integralen av f .

Definisjon av integrering av en funksjon

La jeg = ( a , b ) være et reelt intervall og en lokalt integrerbar funksjon. Vi sier at f er integrert over jeg hvis f:Jeg→R{\ displaystyle f: I \ to \ mathbb {R}}

∫påb|f(t)|dt{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} | f (t) | \, \ mathrm {d} t}

konvergerer. Vi sier da at integralen av f på I konvergerer absolutt .

Enhver absolutt konvergent integral er konvergent (jf. § “Øk” nedenfor ). Det omvendte er galt. En integral som ikke helt konvergerer sies å være semi-konvergent.

Teknikker for å etablere konvergens av en feil integral

Tilfelle av positive funksjoner

Hvis f (lokalt integrerbart på [ a , b [ ) er positivt, konvergerer den integrale (upassende i b ) i følge monotonisk konvergenssats hvis og bare hvis det eksisterer en reell M slik at

∀x∈[på,b[∫påxf(t) dt≤M,{\ displaystyle \ forall x \ i [a, b [\ quad \ int _ {a} ^ {x} f (t) ~ \ mathrm {d} t \ leq M,}

og integralet av f er da den øvre grensen for alle disse integralene.

Eksplisitt beregning

Noen ganger kan vi vise at en upassende integral konvergerer, det vil si at grensen som griper inn i definisjonen ovenfor eksisterer og er endelig, ved å beregne denne grensen eksplisitt etter å ha utført en beregning av primitive .

Eksempel Integralen konvergerer hvis og bare hvis den virkelige λ er strengt positiv.∫0+∞e-λtdt{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {+ \ infty} {\ rm {e}} ^ {- \ lambda t} \, \ mathrm {d} t}

Cauchy-kriterium

I henhold til Cauchy-kriteriet for en funksjon , en feil integral i b

∫påbf(t)dt{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (t) \, \ mathrm {d} t}

konvergerer hvis og bare hvis:∀ε>0∃vs.∈[på,b[∀x,y∈[vs.,b[|∫xyf(t)dt|≤ε.{\ displaystyle \ forall \ varepsilon> 0 \ quad \ eksisterer c \ i [a, b [\ quad \ forall x, y \ i [c, b [\ quad \ left | \ int _ {x} ^ {y} f (t) \, \ mathrm {d} t \ right | \ leq \ varepsilon.}

Mark-up

I henhold til Cauchy-kriteriet ovenfor, slik at en feil integral

∫påbf(t)dt{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (t) \, \ mathrm {d} t}

konvergerer, er det tilstrekkelig at det eksisterer en funksjon g ≥ | f | inkludert integralet

∫påbg(t)dt{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} g (t) \, \ mathrm {d} t}

konvergerer.

Forsømmelse

Vi anser to upassende integraler i b ,

∫påbf(t)dt og ∫påbg(t)dt.{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (t) \, \ mathrm {d} t {\ text {et}} \ int _ {a} ^ {b} g (t) \, \ mathrm {d} t.}

Hvis, når t → b , (spesielt hvis ) og g har konstant tegn , så: hvis integralet f(t)=O(g(t)){\ displaystyle f (t) = O (g (t))}f(t)=o(g(t)){\ displaystyle f (t) = o (g (t))}

∫påbg(t)dt{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} g (t) \, \ mathrm {d} t}

er konvergent, det integrerte

∫påbf(t)dt{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (t) \, \ mathrm {d} t}

er også (i henhold til § "Øke" ).

Merk "Konstant tegn" -tilstanden er viktig. For eksempel : ∫0+∞synd⁡ttdt{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {+ \ infty} {\ frac {\ sin t} {\ sqrt {t}}} \, \ mathrm {d} t} konvergerer , men ∫0+∞|synd⁡t|tdt{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {+ \ infty} {\ frac {| \ sin t |} {t}} \, \ mathrm {d} t} divergerer , men i + ∞ , |synd⁡t|t=o(synd⁡tt).{\ displaystyle {\ frac {| \ sin t |} {t}} = o \ left ({\ frac {\ sin t} {\ sqrt {t}}} \ right).}

Likestilling

Hvis f og g er ekvivalente med punktet b og med konstant tegn , er integralene av samme art med de samme notasjonene som i forrige avsnitt, siden f = O ( g ) og g = O ( f ) .

Eksempel Siden Sin ( s ) - s er lik 0 + til - s 3- / 6 '0 ,∫1+∞tλ(synd⁡(1t)-1t)dt{\ displaystyle \ int _ {1} ^ {+ \ infty} t ^ {\ lambda} \ left (\ sin \ left ({\ tfrac {1} {t}} \ right) - {\ tfrac {1} { t}} \ høyre) \, \ mathrm {d} t}konvergerer hvis og bare hvis λ <2 . Merk Betingelsen "med konstant tegn" er her igjen viktig (som i det analoge kriteriet for serie ). For eksempel, synd⁡tt+|synd⁡t|t og synd⁡tt{\ displaystyle {\ frac {\ sin t} {\ sqrt {t}}} + {\ frac {| \ sin t |} {t}} {\ text {et}} {\ frac {\ sin t} { \ sqrt {t}}}} er ekvivalente i + ∞, men integralene deres er ikke av samme art, ifølge merknaden til forrige §.

Abel hersker

En konsekvens av ovennevnte Cauchy-kriterium er følgende setning (for g lokalt integrerbar på [ a , b [ ):

Hvis f synker og har null grense i b og hvis funksjonen er avgrenset , så integreres integralet av fg på [ a , b [ .x↦∫påxg{\ displaystyle x \ mapsto \ int _ {a} ^ {x} g}

Eksempel: For ethvert reelt λ> 0 konvergerer integralen .∫1+∞eksp⁡(Jegt)tλ dt{\ displaystyle \ int _ {1} ^ {+ \ infty} {\ frac {\ exp (\ mathrm {i} t)} {t ^ {\ lambda}}} ~ \ mathrm {d} t}

Andre egenskaper

Integrering av deler

Den delvis integrasjon er en teknikk, blant andre, for å beregne en bestemt integral. For feil integraler kan denne teknikken også brukes. Men du må være forsiktig med definisjonen av "objekter oppnådd". Ja

∫påbf(t)g′(t)dt{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (t) g '(t) \, \ mathrm {d} t}

eksisterer, er dette ikke nødvendigvis tilfelle for

[f(t)g(t)]påb{\ displaystyle \ left [f (t) g (t) \ right] _ {a} ^ {b}} eller for ∫påbf′(t)g(t)dt.{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f '(t) g (t) \, \ mathrm {d} t.}

Så hvis vi prøver å beregne for eksempel integralen

∫påbf(t)g′(t)dt{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (t) g '(t) \, \ mathrm {d} t}

feil i b , kan vi skrive:

∫påxf(t)g′(t)dt=[f(t)g(t)]påx-∫påxf′(t)g(t)dt{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {x} f (t) g '(t) \, \ mathrm {d} t = \ left [f (t) g (t) \ right] _ {a} ^ {x} - \ int _ {a} ^ {x} f '(t) g (t) \, \ mathrm {d} t}

med a ≤ x < b så lager vi en grenseovergang ved å gjøre x → b . Vi observerer så at hvis vilkårene

[f(t)g(t)]på→b{\ displaystyle \ left [f (t) g (t) \ right] _ {a} ^ {\ to b}} og ∫på→bf′(t)g(t)dt{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {\ to b} f '(t) g (t) \, \ mathrm {d} t}

er definert, er integrering av deler mulig.

Eksempel For ethvert komplekst λ med en strengt positiv reell del , integralet ∫1+∞eksp⁡(Jegt)tλ dt{\ displaystyle \ int _ {1} ^ {+ \ infty} {\ frac {\ exp (\ mathrm {i} t)} {t ^ {\ lambda}}} ~ \ mathrm {d} t} Er lik [eksp⁡(Jegt)Jegtλ]1+∞+λ∫1+∞eksp⁡(Jegt)Jegtλ+1 dt=0-eksp⁡(Jeg)Jeg+λ∫1+∞eksp⁡(Jegt)Jegtλ+1 dt{\ displaystyle \ left [{\ frac {\ exp (\ mathrm {i} t)} {\ mathrm {i} t ^ {\ lambda}}} \ right] _ {1} ^ {+ \ infty} + \ lambda \ int _ {1} ^ {+ \ infty} {\ frac {\ exp (\ mathrm {i} t)} {\ mathrm {i} t ^ {\ lambda +1}}} ~ \ mathrm {d} t = 0 - {\ frac {\ exp (\ mathrm {i})} {\ mathrm {i}}} + \ lambda \ int _ {1} ^ {+ \ infty} {\ frac {\ exp (\ mathrm {i} t)} {\ mathrm {i} t ^ {\ lambda +1}}} ~ \ mathrm {d} t}, som beviser at den konvergerer.

Lineæritet

Den linearitet av feil integraler er mulig, men krever samme vilkår som for integrering av deler: “innhentet objekter” må defineres. Så vi kan skrive

∫1+∞(1t2-e-t)dt=∫1+∞1t2dt-∫1+∞e-tdt{\ displaystyle \ int _ {1} ^ {+ \ infty} \ left ({\ frac {1} {t ^ {2}}} - {\ rm {e}} ^ {- t} \ right) \, \ mathrm {d} t = \ int _ {1} ^ {+ \ infty} {\ frac {1} {t ^ {2}}} \, \ mathrm {d} t- \ int _ {1} ^ { + \ infty} {\ rm {e}} ^ {- t} \, \ mathrm {d} t}

fordi integralene

∫1+∞1t2dt og ∫1+∞e-tdt{\ displaystyle \ int _ {1} ^ {+ \ infty} {\ frac {1} {t ^ {2}}} \, \ mathrm {d} t {\ text {and}} \ int _ {1} ^ {+ \ infty} {\ rm {e}} ^ {- t} \, \ mathrm {d} t}

er konvergente.

Men på den annen side integralen

∫1+∞(synd⁡(1t)-1t)dt{\ displaystyle \ int _ {1} ^ {+ \ infty} \ left (\ sin \ left ({\ tfrac {1} {t}} \ right) - {\ tfrac {1} {t}} \ right) \, \ mathrm {d} t}

( konvergent ) kan ikke deles fordi integralene

∫1+∞synd⁡(1t)dt og ∫1+∞1tdt{\ displaystyle \ int _ {1} ^ {+ \ infty} \ sin \ left ({\ frac {1} {t}} \ right) \, \ mathrm {d} t {\ text {et}} \ int _ {1} ^ {+ \ infty} {\ frac {1} {t}} \, \ mathrm {d} t}

er divergerende.

Klassiske eksempler

Riemann eksempler

For alle x > 0, integralet

∫x+∞1tpådt{\ displaystyle \ int _ {x} ^ {+ \ infty} {\ frac {1} {t ^ {a}}} \, \ mathrm {d} t}

konvergerer hvis og bare hvis a > 1 . I dette tilfellet: . ∫x+∞1tpådt=x1-påpå-1{\ displaystyle \ int _ {x} ^ {+ \ infty} {\ frac {1} {t ^ {a}}} \, \ mathrm {d} t = {\ frac {x ^ {1-a}} {a-1}}}

For x > 0, integralet

∫0x1svs.ds{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {x} {\ frac {1} {s ^ {c}}} \, \ mathrm {d} s}

(feil ved 0 hvis c > 0 ) konvergerer hvis og bare hvis c <1 . I dette tilfellet: . ∫0x1svs.ds=x1-vs.1-vs.{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {x} {\ frac {1} {s ^ {c}}} \, \ mathrm {d} s = {\ frac {x ^ {1-c}} {1 -vs}}}

Bertrand integraler

Mer generelt :

• integralet∫e+∞1tαlnβ⁡tdt{\ displaystyle \ int _ {\ rm {e}} ^ {+ \ infty} {\ frac {1} {t ^ {\ alpha} \ ln ^ {\ beta} t}} \, \ mathrm {d} t }konvergerer hvis og bare hvis α> 1 eller (α = 1 og β> 1);
• integralet∫01/e1sγ|ln⁡(s)|βds{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1 / {\ rm {e}}} {\ frac {1} {s ^ {\ gamma} | \ ln (s) | ^ {\ beta}}} \, \ mathrm {d} s}konvergerer hvis og bare hvis γ <1 eller (γ = 1 og β> 1).

Dirichlet integrert

Integralet

∫0+∞synd⁡ttdt{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {+ \ infty} {\ frac {\ sin t} {t}} \, \ mathrm {d} t}

er semi-konvergent og er verdt . π2{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2}}}

Merknader og referanser

1. Se det første eksemplet på kapitlet "Generaliserte integraler " på Wikiversity .
2. Vi kan altså rettferdiggjøre konvergensen til integralen som definerer gammafunksjonen  : se for eksempel begynnelsen på den korrigerte oppgaven "Gamma-funksjon og Stirling-formel" på Wikiversity .
3. Se avsnittet "Abel-regel" på Wikiversity .
4. Et annet klassisk eksempel er den funksjonelle ligningen til gammafunksjonen, demonstrert i begynnelsen av den korrigerte oppgaven "Gamma-funksjon og Stirlings formel" på Wikiversity .Γ(x+1)=xΓ(x){\ displaystyle \ Gamma (x + 1) = x \, \ Gamma (x)}
5. Se avsnittet "Riemann-eksempel" på Wikiversity .
6. Se eksemplet “Bertrand integrals ” på Wikiversity .

Relaterte artikler

• Beregning av semikonvergente integraler og for∫0∞cos⁡ttαdt{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {\ cos t} {t ^ {\ alpha}}} \, \ mathrm {d} t}∫0∞synd⁡ttαdt{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {\ sin t} {t ^ {\ alpha}}} \, \ mathrm {d} t}Re(α)∈]0,1[{\ displaystyle \ mathrm {Re} (\ alpha) \ in \ left] 0.1 \ right [}
• Full-serie sammenligning
• Gaussisk integral
• Integrering ved endring av variabel
• Fourier transformasjon
• Poincaré-Bertrand-setning

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">