Den Douady kanin er sett av Julia fylt med visse kvadratiske polynomer hvor kritiske punktet er periodisk med periode 3. Det ble navngitt i hyllest til Adrien Douady , en fransk matematiker som døde i 2006 .
Douadys kanin er Julia-settet fylt med det kvadratiske polynomet P c ( z ) = z 2 + c , hvor c er slik at:
Det første punktet er omformulert i:
dvs. etter nøyaktig tre applikasjoner av P , blir punkt 0 returnert til seg selv.
Vi viser at den dynamiske studiet av komplekse kvadratiske polynomer beløper seg til studiet av komplekse polynomer P c ( z ) av formen P c ( z ) = z 2 + c . Faktisk er ethvert kvadratisk polynom konjugert via en kompleks affinetransformasjon til et enkelt polynom av formen ovenfor. Det komplekse tallet c er derfor en parameter som bestemmer de dynamiske egenskapene til alle de holomorfe (raffinement) kvadratiske polynomene konjugert til P c .
I holomorf dynamikk er den dynamiske oppførselen til det kritiske punktet for den vurderte funksjonen en viktig determinant for den globale dynamikken. Det eneste (endelige) kritiske punktet i polynomet P c er punktet 0. Definisjonen av Douady-kaninen er derfor basert på aspektet av den globale dynamikken til Julia-settet.
Det er to forskjellige verdier av c som tilfredsstiller betingelsene i definisjonen, den ene er konjugert av den andre, men de tilsvarende Julia-settene blir utledet fra hverandre ved symmetri i forhold til den virkelige aksen . Disse verdiene er funnet som følger.
Verdiene av c for hvilken det kritiske punkt til polynomet P c ( z ) = z 2 + c er periodisk med periode 3 er løsninger av ligningen
er
Når parameteren c er slik at det kritiske punktet er løst, tilfredsstiller den også ovenstående ligning. Imidlertid er den eneste verdien av c som det kritiske punktet er løst for, c = 0. Som bringer oss tilbake til ligningen:
Vi ser således at det eksisterer en reell løsning og to konjugerte komplekse løsninger som er verdiene til parametrene som tilsvarer kaninen av Douady:
Julia-settet til den virkelige parameterløsningen i ovenstående ligning (for ) kalles "plan". Når det gjelder Douadys kanin, er det kritiske punktet periodisk med periode 3, likevel er bane helt ekte og utseendet til dette settet med Julia skiller seg betydelig fra kaninens.
Det kritiske punktet er periodisk, det indre av Douady-kaninen består av tre tilkoblede komponenter som inneholder banen til det kritiske punktet, sammen danner det umiddelbare tiltrekkingsbassenget til det kritiske punktets bane og deres forhåndsbilder . Dette er også tilfelle for flyet.
Det som kjennetegner Douady-kaninen er det faktum at grensene til de tre komponentene i det umiddelbare bassenget til den kritiske banen krysser seg på et enkelt punkt. Dette er punktet hvor ørene eller bena på kaninen er festet (avhengig av valg av innstilling).
Laminering (i) av settet av Julia av kaninen av Douady.
En kopi av Douadys kanin i den eksponentielle familien .
Seksjon (med hensyn til "xy" -planet) i Julia quaternion sett med parameter c = −0,123 + 0,745i. Douadys kanin er synlig på seksjonen.
Douady-kaninen (nivåkurver for antall iterasjoner før "rømmer").
Forfatter: Adrien Douady, produsent: Lytt til Voir, regissører: François Tisseyre og Dan Sorensen, " The dynamics of the rabbit " , på Canal-U ,1996