Handling ved bøyning
I matematikk , og mer presist i gruppeteori , er en handling ved bøyning et spesielt tilfelle av gruppehandling . Den satt på hvilken gruppe G opptrer er her G i seg selv.
Definisjoner
Merk her for ethvert element g av G ,
den indre automorphism av G er knyttet til g ( det er en automorphism av G ). Deretter er kartet g ↦ aut g , fra G til S G , en gruppemorfisme .
Faktisk, aut g ∘ aut h = aut gh .
Den tilhørende gruppeaksjonen , definert av
kalles handlingen ved bøying av G på seg selv.
For alle x som tilhører G , kalles banen til x under denne handlingen bøyningsklassen til x og er betegnet med C x :
Elementene kalles konjugatene til x .
applikasjoner
- Konjugasjonsklasser brukes til bevis på Wedderburns teorem om at hvert endelig felt er kommutativt .
- Innenfor rammen av teorien om representasjoner av en endelig gruppe , er konjugasjonsklassene i bunnen av definisjonen av de sentrale funksjonene til en endelig gruppe , de brukes til å definere vektorområdet , karakterene til representasjonene . I samme sammenheng finner vi dem for analyse av sentrum for en algebra for en gruppe .
- Indre automorfismer brukes til bevis på Sylows teoremer , Frattinis teorem og i mange bevis om grupper.
- Den diagonaliseringen av matriser består i å finne en god virkning ved konjugering lik en gitt matrise.
- Bøyningen av et rent imaginært kvartær av et enhetlig kvartær tilsvarer rotasjonen av en tredimensjonal romvektor. Bøyningen av et rent imaginært kvaternion av ethvert kvaternion tilsvarer en likhet .
Eksempler
- Konjugasjonsklassene til en symmetrisk gruppe består av produkter av usammenhengende støttede ringer med samme struktur. Dette betyr at antall sykluser av samme lengde er det samme for hvert element i en konjugasjonsklasse.
- Bøyningsklassene til en vekslende gruppe og en enkel gruppe av orden 168 er studert i den tilhørende artikkelen.
Eiendommer
- Når G er kommutativ, er handlingen ved bøyning identitet.
- Bøyningsklassene utgjør en partisjon av G assosiert med ekvivalensforholdet:
- Et element g av G fikser et bestemt element x hvis og bare hvis g er et element i sentraliseringen Z x av x :.Den formelen for de klasser så viser at, hvis C x betegner konjugering klasse av x :spesielt kardinal eventuelle skille konjugering klasse Cardinal G .
- Et element g av G faste derfor et hvilket som helst element G hvis og bare hvis g hører til senteret Z ( G ) av G . Mer generelt, iff g = g ' mod Z ( G ). Følgelig induserer handlingen av G (på G ) en handling (på G ) av kvotientgruppen G / Z ( G ).
- Banen C x reduseres til { x } hvis og bare hvis x representerer sentrum av G . Ved å velge en representativ x i per konjugasjonsklasse som er usammenhengende fra sentrum, gir den forrige formelen derfor ligningen til klassene :
