Montering av Lemma

I matematikk er lemmaet om montering en uttalelse av algebra som hvis M er en enhet som ikke kan dekomponeres og er endelig, er hver endomorfisme av M enten bijektiv eller nilpotent . Det følger at ringen av endomorfismer av M er lokal .

Stater

Hvis $M$ er en modul av endelig lengde $n$ og $f$ en endomorfisme av $M$ da

{\ displaystyle M = \ ker (f ^ {n}) \ oplus \ mathrm {im} (f ^ {n}).}

Ved antagelse om lengden på $M$ , har vi

{\ displaystyle \ ker (f ^ {n + 1}) = \ ker (f ^ {n}) \ quad {\ text {et}} \ quad \ mathrm {im} (f ^ {n + 1}) = \ mathrm {im} (f ^ {n}).}

Fra disse likhetene trekker vi ut henholdsvis

{\ displaystyle \ ker (f ^ {n}) \ cap \ mathrm {im} (f ^ {n}) = 0 \ quad {\ text {and}} \ quad \ ker (f ^ {n}) + \ mathrm {im} (f ^ {n}) = M.}

Under antagelsene fra lemmaet er $f$ begrenset til en nilpotent endomorfisme av $ker ( f n )$ og en automorfisme av $im ( f n )$ .
Hvis $M$ dessuten ikke kan dekomponeres, er $f$ enten nullpotent eller inverterbar, og ringen $End ( M )$ er lokal.
Dette lemmaet tillater oss å bevise Krull-Schmidt-setningen om det unike ved dekomponering av en modul av endelig lengde til en direkte sum av indekomponerbare.

(in) Alberto Facchini , Module Theory: endomorphism Rings and Direct Sum Decompositions in Some Classes of Modules , Birkhauser , al. "Fremgang i matematikk" ( nr . 167),1998, 288 s. ( ISBN 978-3-7643-5908-9 , leses online ) , s. 47
(i) Louis Halle Rowen , Ring Theory , vol. 1, Boston, Academic Press , koll. "Pure and Applied Mathematics" ( n o 127),1988( ISBN 978-0-12-599841-3 , leses online ) , s. 239
(in) Paul M. Cohn , Introduction to Ring Theory , Springer , al. "Undergraduate Mathematics Series",2000, 229 s. ( ISBN 978-1-85233-206-8 , leses online ) , s. 80-81

(en) Joachim Lambek , Foredrag om ringer og moduler , AMS Chelsea ,2009, 3 e ed. , 187 s. ( ISBN 978-0-8218-4900-2 , leses online ) , s. 23
(no) " Fitting's Lemma " , på PlanetMath

(in) Thomas W. Hungerford (in) , Algebra , al. " GTM " ( N o 73)1974( les online ) , s. 84 - Montering lemma for grupper.