Logikken til Łukasiewicz

I matematikk er logikken Łukasiewicz ( / l u k ə ʃ ɛ v ɪ tʃ / ) en logisk allsidig , ikke-klassisk . Det ble opprinnelig definert i begynnelsen av XX th århundre av januar Lukasiewicz som en trefoldig logikk ; det ble deretter generalisert til n -verdi (for alle n endelige) så vel som til en uendelig mengde med flere verdier, begge er proposisjonelle og første orden. Versjonen ℵ 0 -verdi ble utgitt i 1930 av iewukasiewicz og Alfred Tarski ; derfor blir det noen ganger referert til som Łukasiewicz-Tarski-logikken . Dette tilhører klassene t-norm uklar logikk og substrukturell logikk .

Denne artikkelen presenterer logikken til Łukasiewicz [-Tarski] i all sin allmenhet. For en elementær introduksjon til ternær instantiering Ł 3 , se ternær logikk .

Språk

De proposisjonelle koblingene til Łukasiewicz-logikken er involvering , fornektelse , ekvivalens , inkluderende konjunksjon , eksklusiv konjunksjon , inkluderende disjunksjon , eksklusiv disjunksjon , og proposisjonelle konstanter og . Tilstedeværelsen av konjunksjon og disjunksjon er et vanlig trekk ved de substrukturelle logikkene uten sammentrekningsregelen, som Łukasiewicz-logikken tilhører. $\ høyre pil$ $\ neg$ $\ venstrehåndspil$ $\ kile$ $\ ganger$ $\ vee$ $\ oplus$ ${\ displaystyle {\ overline {0}}}$ $\ overline {1}$

Aksiomer

Łukasiewicz opprinnelige system av aksiomer for logikk bruker implikasjon og negasjon som primitive sammenhenger:

{\ displaystyle A \ rightarrow (B \ rightarrow A)}

{\ displaystyle (A \ rightarrow B) \ rightarrow ((B \ rightarrow C) \ rightarrow (A \ rightarrow C))}

{\ displaystyle ((A \ rightarrow B) \ rightarrow B) \ rightarrow ((B \ rightarrow A) \ rightarrow A)}

{\ displaystyle (\ neg B \ rightarrow \ neg A) \ rightarrow (A \ rightarrow B).}

Łukasiewiczs logikk kan også aksiomatiseres ved å legge til følgende aksiomer i det aksiomatiske systemet for monoidal t-normlogikk :

Separasjonsevne: ${\ displaystyle (A \ wedge B) \ rightarrow (A \ otimes (A \ rightarrow B))}$
Dobbel negasjon: ${\ displaystyle \ neg \ neg A \ rightarrow A.}$

Lukasiewiczs endelige verdilogikk krever ytterligere aksiomer.

Semantikk av reelle verdier

Łukasiewiczs logikk er logikk med virkelig verdi der proposisjonsberegninger kan tildeles en sannhetsverdi på null eller en , men også et reelt tall i mellom (f.eks. 0,25). Evalueringer har en rekursiv definisjon der:

${\ displaystyle w (\ theta \ circ \ phi) = F _ {\ circ} (w (\ theta), w (\ phi))}$ for en binær kontakt ${\ displaystyle \ circ,}$
${\ displaystyle w (\ neg \ theta) = F _ {\ neg} (w (\ theta)),}$
${\ displaystyle w ({\ overline {0}}) = 0}$ og ${\ displaystyle w ({\ overline {1}}) = 1,}$

og hvor definisjonene av operasjoner er som følger:

Implikasjon: ${\ displaystyle F _ {\ rightarrow} (x, y) = \ min \ {1,1-x + y \}}$
Ekvivalens: ${\ displaystyle F _ {\ leftrightarrow} (x, y) = 1- | xy |}$
Negasjon: ${\ displaystyle F _ {\ neg} (x) = 1-x}$
Inkluderende konjunktur: ${\ displaystyle F _ {\ wedge} (x, y) = \ min \ {x, y \}}$
Inkluderende disjunksjon: ${\ displaystyle F _ {\ vee} (x, y) = \ max \ {x, y \}}$
Eksklusiv forbindelse: ${\ displaystyle F _ {\ otimes} (x, y) = \ max \ {0, x + y-1 \}}$
Eksklusiv disjunksjon: ${\ displaystyle F _ {\ oplus} (x, y) = \ min \ {1, x + y \}.}$

Sannhetsfunksjonen (eksklusiv forbindelse) er Łukasiewiczs t-norm, og sannhetsfunksjonen (eksklusiv disjunksjon) er dens doble t-form . Sannhetsfunksjonen er resten av Łukasiewicz t-normen. Alle sannhetsfunksjonene til grunnkonjunktjonene er kontinuerlige. ${\ displaystyle F _ {\ otimes}}$ ${\ displaystyle F _ {\ oplus}}$ ${\ displaystyle F _ {\ rightarrow}}$

Per definisjon er en formel en tautologi av Łukasiewicz-logikken, hvis den evalueres til 1 i intervallet [0, 1].

Se også

Referanser

(fr) Denne artikkelen er helt eller delvis hentet fra den engelske Wikipedia- artikkelen med tittelen “ Łukasiewicz logic ” ( se forfatterlisten ) .

Łukasiewicz J., 1920, O logice trójwartościowej (på polsk).
Hay, LS, 1963, aksiomatisering av den uendelig-verdsatte predikatregningen.
(in) Ikke-kommutative flervurderte logiske algebraer , skinke, springer,2013, 276 s. ( ISBN 978-3-319-01589-7 , leses online ) , vii
Hájek P., 1998, Metamathematics of Fuzzy Logic .
Ono, H., 2003, "Substructural logics and restuated gattices - an Introduction".

Videre lesning

Rose, A.: 1956, Formalization of the Implicative Propositional Calculus ℵ 0 Verdier av Łukasiewicz, CR Acad. Sci . Paris 243, 1183–1185.