Modal logikk

I matematisk logikk er en logikk Modal en type formell logikk som utvider proposisjonslogikken , logikken til første orden eller høyere ordenslogikk med modaliteter . En modalitet spesifiserer sannhetens egenskaper . For eksempel kan et forslag som "det regner" innledes med en modalitet:

• Det er nødvendig at det regner;
• I morgen regner det;
• Christopher Columbus synes det regner;
• Det er vist at det regner;
• Det er obligatorisk at det regner.

Det finnes en rekke modalogikker som tidslogikk , epistemisk logikk (kunnskapslogikk). I datavitenskap brukes modalogikk for sin ekspressivitet og algoritmiske aspekter. For eksempel brukes timinglogikk til å spesifisere programmer og deretter verifisere dem .

Aletisk modalogikk

I aletisk modalogikk (eller aristotelisk eller klassisk) identifiserer vi fire modaliteter:

• nødvendig (som ikke kan være sant), bemerket ;◻{\ displaystyle \ Box}
• kontingent (som kan være feil), bemerket ;¬◻{\ displaystyle \ neg \ Box}
• mulig (som kan være sant), bemerket ;◊{\ displaystyle \ Diamond}
• umulig (som ikke kan være galt), bemerket.¬◊{\ displaystyle \ neg \ Diamond}

Disse 4 modalitetene er koblet sammen, bare en er nok til å definere de tre andre.

Den intuitive tolkningen (ikke delt av hele det filosofiske-logiske samfunnet) er som følger:

• Nødvendig ≡ umulig ikke;
• Kvote ≡ ikke nødvendig ≡ ikke mulig;
• Mulig ≡ ikke umulig.
• Umulig = ikke mulig.

Vi skiller derfor to unary dobbeltkontakter fra hverandre:

• Det nødvendige  ;◻{\ displaystyle \ Box}
• Det mulige .◊{\ displaystyle \ Diamond}

◻{\ displaystyle \ Box}p betyr at p nødvendigvis er sant, mens p betyr at p muligens er sant, det vil si kompatibel med nåværende kunnskap. ◊{\ displaystyle \ Diamond}

Eksempler:

• ¬◻{\ displaystyle \ neg \ Box} arbeid: det er ikke nødvendig at elevene jobber;
• ¬◊{\ displaystyle \ neg \ Diamond} arbeid: det er ikke mulig for elevene å jobbe;
• ◻¬{\ displaystyle \ Box \ neg} trav: det er nødvendig at elevene ikke jobber;
• ◊¬{\ displaystyle \ Diamond \ neg} trav: det er mulig at studentene ikke jobber.

I aletisk modalogikk (eller aristotelisk eller klassisk) kan vi uttrykke de fire operatørene ved å bruke bare en (her nødvendighet) og negasjonen. Så:

• Umulig er  ;◻¬{\ displaystyle \ square \ neg}
• Mulig er .¬◻¬{\ displaystyle \ neg \ square \ neg}

En nødvendig proposisjon kan ikke være falsk uten å antyde en motsigelse , en kontrast til en betinget proposisjon som kan være falsk uten å antyde en motsetning.

Ulike modalogikker

Andre typer modal logikk brukes også, hvis modus er:

• epistemi (relatert til kunnskap):
  • kjent for agenten , bemerketJeg{\ displaystyle i}VSJeg{\ displaystyle C_ {i}}
  • tvilsom
  • ekskludert
  • sannsynlig
  • felles kjennskap til gruppen agenter, bemerketG{\ displaystyle G}VSKG{\ displaystyle CK_ {G}}
  • delt kunnskap om agenten, bemerket (alle vet)G{\ displaystyle G}EKG{\ displaystyle EK_ {G}}
• deontics (moral):
  • obligatorisk , bemerket O
  • forbudt , bemerket jeg
  • tillatelse , bemerket P
  • valgfri , betegnet F
• tidsmessig  :
  • alltid , bemerket eller G◻{\ displaystyle \ Box}
  • en dag , bemerket , eller noen ganger F◊{\ displaystyle \ Diamond}
  • aldri notert¬◊{\ displaystyle \ neg \ Diamond}
  • i morgen , bemerket X
  • til , binær operatør betegnet med U
  • alltid tidligere , bemerket H
  • en dag gikk , bemerket P
• doksastisk (om tro):
  • rå , bemerket B
  • felles tro hos gruppen agenter, bemerketG{\ displaystyle G}VSBG{\ displaystyle CB_ {G}}
• motfakta  :
  • Hvis A var sant , hvor vi vet at A ikke er sant.
• dynamikk (effekt av handlinger, bemerket a , på proposisjoner):
  • Det eksisterer en utførelse av en slik at etter a , p er sant , bemerket⟨på⟩s{\ displaystyle \ langle a \ rangle p}
  • p er sant etter enhver utførelse av a , bemerket .[på]s{\ displaystyle [a] p}

Aksiomer av modal logikk

Hver modalogikk er utstyrt med en serie aksiomer som definerer hvordan modalitetene fungerer.

Vi kan dermed konstruere forskjellige systemer i henhold til de tillatte aksiomene.

• K-systemet designet av Kripke og kalt det normale eller Kripke-systemet. Han innrømmer følgende to aksiomer:
  • (K) (Kripkes distribusjonsaksiom);◻(PÅ→B)→(◻PÅ→◻B){\ displaystyle \ Box (A \ rightarrow B) \ rightarrow (\ Box A \ rightarrow \ Box B)}
  • (RN) (eller (N) eller (NEC) ) Hvis er en teorem, så også (nødvendighetsregel).PÅ{\ displaystyle A}◻PÅ{\ displaystyle \ Box A}

• D-systemet, designet ved å legge aksiomet (D) til K-systemet:
  • (D ) (i aristotelisk logikk uttrykker dette at nødvendighet innebærer mulighet ).◻P→◊P{\ displaystyle \ Box P \ rightarrow \ Diamond P}

• T-systemet designet av Robert Feys i 1937 ved å legge til aksiomet (T) til K-systemet:
  • (T) (eller (M) ): (i aristotelisk logikk uttrykker dette at faktum innebærer muligheten ).P→◊P{\ displaystyle P \ rightarrow \ Diamond P}

• S4- og S5-systemene definert av Clarence Irving Lewis .
  • For å konstruere S4 legger vi til systemet T aksiomet (4)  :
    • (4) .◻s→◻◻s{\ displaystyle \ Box p \ rightarrow \ Box \ Box p}
  • For å konstruere S5 legger vi til systemet T aksiomet (5)  :
    • (5) (eller (E) ) .◊s→◻◊s{\ displaystyle \ Diamond p \ rightarrow \ Box \ Diamond p}

• B (eller Brouwérien) -systemet, designet av Oskar Becker i 1930, ved å legge aksiomet (B) til T-systemet.
  • (B)  : .s→◻◊s{\ displaystyle p \ rightarrow \ Box \ Diamond p}

Vi sier at ett system er svakere enn et annet når alt som demonstreres i det første systemet er demonstrert i det andre, men ikke omvendt.

Dette prioriterer systemene K, T, S4 og S5, fra svakeste til sterkeste. På samme måte er K svakere enn D og T er svakere enn B.

Serien av systemene K til S5 danner et nestet hierarki som utgjør kjernen i normal modalogikk. Axiom (D) brukes derimot hovedsakelig i deontisk, doksastisk og epistemisk logikk.

Modale logikkmodeller

Kripkes modeller, eller modeller av mulige verdener , gir semantikk til modalogikk. En Kripke-modell er dataene:

• av et ikke-tomt sett med mulige verdener  ;W{\ displaystyle W}
• en binær relasjon mellom mulige verdener kalt forhold av tilgjengelighet;R{\ displaystyle R}
• av en verdivurdering som gir en sannhetsverdi til hver proposisjonsvariabel i hver mulig verden.V{\ displaystyle V}

Semantikken til en modaloperatør er definert fra en tilgjengelighetsrelasjon som følger: formelen er sann i en verden w hvis, og bare hvis formelen er sann i alle verdener tilgjengelig fra w av relasjonen . ◻PÅ{\ displaystyle \ square A}PÅ{\ displaystyle A}R{\ displaystyle R}

Klassifisering av modale logiske systemer

Modale logiske systemer er organisert i henhold til regler for slutning og aksiomene som kjennetegner dem.

Klassiske modalogikker

Klassiske modale logiske systemer er de som aksepterer følgende inferensregel:

(RE)PÅ↔B◻PÅ↔◻B{\ displaystyle (RE) {\ frac {A \ leftrightarrow B} {\ Box A \ leftrightarrow \ Box B}}}

Det er vanlig at et slikt system får et kanonisk navn av typen , der det er navnene på aksiomene til systemet. Eξ1ξ2⋯ξikke{\ displaystyle E \ xi _ {1} \ xi _ {2} \ cdots \ xi _ {n}}ξJeg{\ displaystyle \ xi _ {i}}

Monotone modal logikk

Monotone modale logiske systemer er de som godtar RM-inferensregelen:

(RM)PÅ→B◻PÅ→◻B{\ displaystyle (RM) {\ frac {A \ to B} {\ Box A \ to \ Box B}}}

Settet med monotone systemer er inkludert i settet med konvensjonelle systemer.

Regelmessig modal logikk

Vanlige modale logiske systemer er de som godtar RR-inferensregelen:

(RR)(PÅ∧B)→VS(◻PÅ∧◻B)→◻VS{\ displaystyle (RR) {\ frac {(A \ wedge B) \ to C} {(\ Box A \ wedge \ Box B) \ to \ Box C}}}

Settet med vanlige systemer er inkludert i settet med monotone systemer.

Normal modal logikk

Normale logiske systemer er de som godtar RK-inferensregelen:

(RK)(PÅ1∧⋯PÅikke)→B(◻PÅ1∧⋯◻PÅikke)→◻B{\ displaystyle (RK) {\ frac {(A_ {1} \ wedge \ cdots A_ {n}) \ to B} {(\ Box A_ {1} \ wedge \ cdots \ Box A_ {n}) \ to \ Ramme B}}}

Settet med normale systemer er inkludert i settet med vanlige systemer.

En ekvivalent og mer vanlig definisjon av normale systemer er som følger: et modalt logisk system sies å være normalt hvis det har aksiomet (K) og aksepterer nødvendighetsregelen (RN) som slutningsregelen:

(K)◻(PÅ→B)→(◻PÅ→◻B){\ displaystyle (K) \ Box (A \ til B) \ til (\ Box A \ til \ Box B)}

(RIKKE)PÅ◻PÅ{\ displaystyle (RN) {\ frac {A} {\ Box A}}}

De normale systemene er de mest brukte, fordi de er de som tilsvarer Kripkes semantikk . Det er imidlertid mulig å finne semantikk for ikke-normal klassisk logikk, men de har generelt dårligere egenskaper.

Kobling til annen logikk

Den intuisjonistiske logikken kan bygges på logikken som en modal logikk. Modalogikk er et fragment av førsteordenslogikk.

Merknader og referanser

1. Jacques Paul Dubucs "ukonvensjonell logikk", i Encyclopaedia Universalis , bind 13, Paris, 1990, s. 977-992.

Se også

Relaterte artikler

• Kvote
• Dilemma
• Modal fiksjonalisme
• Sahlqvist formel
• Logikk av bevisbarhet
• Deontisk logikk
• Flerverdige logikker
• Ontologisk bevis på Gödel
• Kripke semantikk
• Löbs teorem
• Dezert-Smarandache teori

Eksterne linker

• (no) James Garson, Modal Logic , The Stanford Encyclopedia of Philosophy , Edward N. Zalta (red.), 2007.
• (no) S4 prover ved tablåmetode , S4 prover
• (en) Ross Kirsling, Modal Logic Playground

Bibliografi

• Patrick Blackburn, Maarten de Rijke og Yde Venema, Modal Logic , Cambridge University Press, 2001
• (no) Brian F. Chellas, Modalogic , en introduksjon , Cambridge University Press,1980[ detalj av utgaven ]
• L. Fontaine, modal logikk og antropologi. Fra reglene til ordet blant Yucuna-indianerne til den colombianske Amazonas . L'Homme , n.184, 2007, 131-153.
• P. Gochet, P. Gribomont, A. Thayse, Logique, Vol. 3: metoder for kunstig intelligens, Paris, Hermès-Lavoisier, 2000, 394p. (Veldig komplett sammendrag på fransk av de viktigste modalogikkene).

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">