Levys lov

Lévy distribusjon
Sannsynlighetstetthet for forskjellige verdier av c .
Distribusjonsfunksjon for forskjellige verdier av c .
Innstillinger	μ∈R{\ displaystyle \ mu \ in \ mathbb {R}} vs.>0{\ displaystyle c> 0 \,}
Brukerstøtte	x∈]μ,+∞[{\ displaystyle x \ in] \ mu, + \ infty [\,}
Sannsynlighetstetthet	vs.2π⋅1(x-μ)3/2e-vs.2(x-μ){\ displaystyle {\ sqrt {\ frac {c} {2 \ pi}}} \ cdot {\ frac {1} {(x- \ mu) ^ {3/2}}} \ mathrm {e} ^ {- {\ frac {c} {2 (x- \ mu)}}}}
Distribusjonsfunksjon	erfvs. vs.2(x-μ){\ displaystyle \ mathrm {erfc} ~ {\ sqrt {\ frac {c} {2 (x- \ mu)}}}!
Håp	+∞{\ displaystyle + \ infty \,}
Median	vs./2(erf-1(1/2))2{\ displaystyle c / 2 ({\ textrm {erf}} ^ {- 1} (1/2)) ^ {2} \,} til μ=0{\ displaystyle \ mu = 0}
Mote	vs.3{\ displaystyle {\ frac {c} {3}} \,} til μ=0{\ displaystyle \ mu = 0}
Forskjell	+∞{\ displaystyle + \ infty \,}
Asymmetri	ikke definert
Normalisert kurtose	ikke definert
Entropi	1+3γ+ln⁡(16πvs.2)2{\ displaystyle {\ frac {1 + 3 \ gamma + \ ln (16 \ pi c ^ {2})} {2}} \,}
Moment-genererende funksjon	ikke definert
Karakteristisk funksjon	eJegμt--2Jegvs.t{\ displaystyle e ^ {i \ mu t - {\ sqrt {-2ict}}} \,}

I sannsynlighetsteori og statistikk er Levys lov , oppkalt etter matematikeren Paul Lévy , en kontinuerlig sannsynlighetslov . I fysikk , nærmere bestemt i spektroskopi , bærer den navnet på van der Waals- profilen og beskriver profilen til visse spektrallinjer .

Denne loven avhenger av to parametere: en posisjonsparameter som forskyver støtten , og en skalaparameter . μ∈R{\ displaystyle \ mu \ in \ mathbb {R}}[μ,∞[{\ displaystyle [\ mu, \ infty [} vs.{\ displaystyle c}

Hvis X følger en Lévy, note: . X∼Levy(μ,vs.){\ displaystyle X \ sim \ mathrm {Levy} (\ mu, c)}

Med Cauchy lov og normal loven , er det en av de tre skal være stabil ved konvolusjon og å ha en analytisk uttrykkes sannsynlighetstetthet .

Kjennetegn

Sannsynlighetstetthet

Den sannsynlighetstettheten ved Lévy lov er gitt ved:

f(x;μ,vs.)={vs.2π1(x-μ)3/2e-vs.2(x-μ) hvis x>μ0 Hvis ikke{\ displaystyle f (x; \ mu, c) = {\ begin {cases} \ displaystyle {\ sqrt {\ frac {c} {2 \ pi}}} {\ frac {1} {(x- \ mu) ^ {3/2}}} e ^ {- {\ frac {c} {2 (x- \ mu)}}} & {\ text {si}} x> \ mu \\ 0 & {\ text {ellers }} \ end {cases}}}

hvor er posisjonsparameteren og er skalaparameteren . Som alle stabile lover er det en standard form for loven, definert av tettheten som vi får fra endringen av variabelen: i uttrykket for . μ∈R{\ displaystyle \ mu \ in \ mathbb {R}}vs.>0{\ displaystyle c> 0}f(x;0,1){\ displaystyle f (x; 0,1)}y=x-μvs.{\ displaystyle y = {\ frac {x- \ mu} {c}}}f(x;μ,σ){\ displaystyle f (x; \ mu, \ sigma)}

Levys lov har en tung hale , uttrykt med formelen:

f(x;μ,vs.)∼x→∞vs.2π 1x3/2.{\ displaystyle f (x; \ mu, c) \, {\ undersett {x \ rightarrow \ infty} {\ sim}} \, {\ sqrt {\ frac {c} {2 \ pi}}} ~ {\ frac {1} {x ^ {3/2}}}.}

Denne egenskapen er illustrert ved fremstilling av tettheten på en logglogg-referanse .

Distribusjonsfunksjon

Den fordelingsfunksjonen for Lévy lov er gitt ved:

F(x;μ,vs.)={erfc(vs./2(x-μ)) hvis x>μ0 Hvis ikke{\ displaystyle F (x; \ mu, c) = {\ begin {cases} \ displaystyle {\ textrm {erfc}} \ left ({\ sqrt {c / 2 (x- \ mu)}} \ right) & {\ text {si}} x> \ mu \\ 0 og {\ text {ellers}} \ slutt {cases}}}

hvor erfc er den komplementære feilfunksjonen .

Karakteristisk funksjon

Den karakteristiske funksjonen til Lévy's lov er:

φ(t;μ,vs.)=eJegμt--2Jegvs.t.{\ displaystyle \ varphi (t; \ mu, c) = e ^ {i \ mu t - {\ sqrt {-2ict}}}.}

Vi kan skrive denne karakteristiske funksjonen i den mer klassiske formen av stabile lover:

φ(t;μ,vs.)=eJegμt-|vs.t|1/2 (1-Jeg skilt(t)).{\ displaystyle \ varphi (t; \ mu, c) = e ^ {i \ mu t- | ct | ^ {1/2} ~ (1-i ~ {\ textrm {sign}} (t))}. }

Øyeblikk

For den n th tiden av Levy lov formelt gitt ved: μ=0{\ displaystyle \ mu = 0}

mikke =def vs.2π∫0∞e-vs./2xxikkex3/2dx.{\ displaystyle m_ {n} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ {\ sqrt {\ frac {c} {2 \ pi}}} \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {e ^ {- c / 2x} \, x ^ {n}} {x ^ {3/2}}} \, {\ rm {d}} x.}

Denne integralen divergerer for alle n > 0, så øyeblikkene til Lévy's lov er ikke definert. Den øyeblikket genererer funksjon er formelt gitt ved:

M(t;vs.) =def vs.2π∫0∞e-vs./2x+txx3/2dx.{\ displaystyle M (t; c) \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ {\ sqrt {\ frac {c} {2 \ pi}}} \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {e ^ {- c / 2x + tx}} {x ^ {3/2}}} \, {\ rm {d}} x.}

Integralet divergerer for og er således udefinert over ethvert intervall rundt null, så den momentgenererende funksjonen er udefinert. t>0{\ displaystyle t> 0}

Koblinger til andre lover

• Hvis daX∼Levy(μ,vs.){\ displaystyle X \ sim {\ textrm {Levy}} (\ mu, c) \,}kX+b∼Levy(kμ+b,kvs.){\ displaystyle kX + b \ sim {\ textrm {Levy}} (k \ mu + b, kc) \,}
• Hvis da ( omvendt gammalov )X∼Levy(0,vs.){\ displaystyle X \, \ sim \, {\ textrm {Levy}} (0, c)}X∼Inv-Gamma(12,vs.2){\ displaystyle X \, \ sim \, {\ textrm {Inv-Gamma}} ({\ tfrac {1} {2}}, {\ tfrac {c} {2}})}
• Lévy's lov er et spesielt tilfelle av en type V Pearson-funksjon .
• Hvis ( normalfordeling ) daY∼Vanlig(μ,σ2){\ displaystyle Y \, \ sim \, {\ textrm {Normal}} (\ mu, \ sigma ^ {2})}(Y-μ)-2∼Levy(0,1/σ2){\ displaystyle {(Y- \ mu)} ^ {- 2} \ sim \, {\ textrm {Levy}} (0,1 / \ sigma ^ {2})}
• Hvis daX∼Vanlig(μ,1σ){\ displaystyle X \ sim {\ textrm {Normal}} (\ mu, {\ tfrac {1} {\ sqrt {\ sigma}}}) \,}(X-μ)-2∼Levy(0,σ){\ displaystyle {(X- \ mu)} ^ {- 2} \ sim {\ textrm {Levy}} (0, \ sigma) \,}
• Hvis da ( stabil lov )X∼Levy(μ,vs.){\ displaystyle X \, \ sim \, {\ textrm {Levy}} (\ mu, c)}X∼Stabil(1/2,1,vs.,μ){\ displaystyle X \, \ sim \, {\ textrm {Stable}} (1 / 2,1, c, \ mu) \,}
• Hvis da ( omvendt lov-changed² endret skala)X∼Levy(0,vs.){\ displaystyle X \, \ sim \, {\ textrm {Levy}} (0, c)}X∼Skala-inv-χ2(1,vs.){\ displaystyle X \, \ sim \, {\ textrm {Scale-inv -}} \ chi ^ {2} (1, c)}
• Hvis da ( brettet normalfordeling )X∼Levy(μ,vs.){\ displaystyle X \, \ sim \, {\ textrm {Levy}} (\ mu, c)}(X-μ)-12∼Brettet Normalt(0,1/vs.){\ displaystyle {(X- \ mu)} ^ {- {\ tfrac {1} {2}}} \ sim \, {\ textrm {Foldnormal}} (0,1 / {\ sqrt {c}})}

Henvisning

(fr) Denne artikkelen er delvis eller helt hentet fra Wikipedia-artikkelen på engelsk med tittelen "  Lévy distribution  " ( se listen over forfattere ) . <img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">