Snell-Descartes lover

De lover Snell beskrive oppførselen til lys i grenselandet mellom to medier. Disse lovene er fire i antall, to for refleksjon og to for brytning . Med den rettlinjede forplantningen av lys i homogene og isotrope medier, er disse lovene grunnlaget for geometrisk optikk . Navnet deres refererer til Willebrord Snell og René Descartes som samtidig men uavhengig oppdaget disse lovene i det XVII - tallet .

Celerimetrisk profil og Snells lover bestemmer banen til strålene i vann. De samme lovene gjør det mulig å bestemme den ideelle krumningen til øyets hornhinne i atmosfæren eller i vannmiljøet. En av disse lovene forklarer også det enkle matematiske forholdet som eksisterer mellom innfallsvinkelen til en lysstråle og vinkelen som brytes av vann eller fenomenet kjent som Snells vindu .

Historisk

Oppdagelsen av brytningslovene tilskrives Ibn Sahl (ca. 940-1000) i 983. Disse lovene er representert i figuren motsatt av de to trekantene øverst til venstre. Ibn Sahl brukte disse lovene til å designe en linse med hyperbolsk form, med perfekt fokus (en stråle av parallelle stråler konvergerer deretter på nøyaktig samme punkt: fokuset).

Imidlertid forblir Ibn Sahls avhandling gåtefull, fordi forholdet vises uten noen eksperimentelle data eller teoretisk grunnlag. I tillegg er ingen konstant ekvivalent med den optiske indeksen definert. Videre er det vanskelig å tro at Ibn al-Haytham (Alhazen) ikke tok opp den grunnleggende oppdagelsen av sin mester Ibn Sahl. Forholdet synes bare å være glemt. En mulig tolkning er at dette er en øvelse med linsedesign, vurdert i det rent geometriske domenet, uten at den fysiske loven er etablert.

Senere er regnbue-teorien kjent i den muslimske verden ( Al Farisi ).

Så, gjennom den latinske oversettelsen av optisk avhandling av Ibn al-Haytham , sprer optikk seg i Europa: Oxford ( Robert Grosseteste , Roger Bacon ), Paris, Praha. Loven om små vinkler er kjent: Witelo (aka Vitellion ) ville ha tatt de eksperimentelle avvikstabellene som ble etablert av Ptolemaios , men det var da Kepler som i Paralipomena til Vitellion eksplisitt uttalte forholdet mellom de (små) innfallsvinklene og brytning. Thomas Harriot er kreditert for å dekke bord via sinesloven (1601) og forklare regnbuen (1606); men han publiserer ikke.

Snell utviklet arbeidet sitt samtidig som han publiserte sin sinetabell (1621).
Descartes publiserte loven i 1637 i sin avhandling La Dioptrique (i vedlegget til Discourse on Method ).
Lovene til Snell kan trekkes fullstendig fra Fermats prinsipp , og moderne fysikk Maxwell-ligninger av elektromagnetisme .

I Vest-Europa, den prioriterte krangel - Snell eller Descartes? - ble omfattende diskutert; med tanke på Ibn Sahl, Harriot, Kepler, er det en "gammel" krangel (se kontroverser om kartesianisme , dioptrisk).

Den gamle krangelen

I Vest-Europa tilskrives uttalelsen om loven om sines både Descartes og Snell , og dette faktum vil være gjenstand for en prioritert krangel så ofte på dette tidspunktet (tidlig på 1600-tallet): kontroversen om spørsmålet om Descartes selv oppdaget denne loven eller bare hadde kunnskap om det som Snell hadde etablert en kort tid før, sistnevnte hadde dødd uten å ha publisert den. Hvis Leibniz og Huygens mente at Descartes faktisk ikke kunne ha vært uten å kjenne loven som er foreskrevet av Snell, er historienes meninger ikke så klare. B. Maitte fremkaller den kunnskapen som Descartes ville ha hatt av Snells upubliserte manuskript (som ifølge J.-P. Maury ville blitt betrodd Rivet, professor i teologi i forhold til Mersenne , som selv tilsvarer mye med Descartes) . Men ifølge P. Costabel er det ingen bevis i den nåværende tilstanden til den historiske dokumentasjonen på at Descartes hadde formidling av resultatet av Snell. Andre forfattere fremkaller fremtiden til Harriot, som ville ha funnet nevnte lov, men bare ville ha gitt Kepler målingstabellene uten tolkning.

De historiske dokumentene som er funnet, tillater oss ikke å kjenne Snells tilnærming. Når det gjelder Descartes, fører noen indikasjoner til at ideen om sines var direkte knyttet til søket etter formen på en linse kalt "perfekt", det vil si i stand til å konvergere nøyaktig på et punkt. En stråle av parallelle stråler. Den forventede dioptreprofilen var en hyperbol, og det er den geometriske studien av denne profilen - kvalifisert som anaklastisk - som bekreftet Descartes i gyldigheten av en sinuslov: overbevisning, for ikke å si beviset, resulterte fra en sett med betraktninger, eksperimentell (produksjon ved grensen for muligheten for en slik linse av Ferrier) og teoretisk (demonstrasjon av at den hyperbolske formen samsvarer godt med et forhold mellom vinklene av geometeret Mydorge og av matematikeren Beeckman ). La oss her legge til at denne bekymringen oppsto fra oppfinnelsen av teleskopet, et teleskop forbedret av Galileo og overført til Kepler som ga en første forklaring.

Snell-Descartes lover for refleksjon

Den lysstråle sies å være innfallende før etter å ha støtt på den reflekterende overflate, sies det å være reflektert etterpå.

Møtestedet for hendelsesstrålen og den reflekterende overflaten kalles innfallspunktet .

Linjen vinkelrett på den reflekterende overflaten ved innfallspunktet kalles normal (til den reflekterende overflaten).

Flyet som inneholder den innfallende strålen og det normale mot den reflekterende overflaten ved innfallspunktet kalles for innfallsplanet .

Den orienterte vinkelen θ 1 tatt mellom det normale ved innfallspunktet og innfallsstrålen kalles innfallsvinkelen .

Den orienterte vinkelen θ 2 tatt mellom det normale ved innfallspunktet og den reflekterte strålen kalles refleksjonsvinkelen .

Vinklene θ 1 og θ 2 er positive hvis de er orientert mot klokken , ellers negative. Merk: noen forfattere bruker andre konvensjoner.

Refleksjonslovene er angitt som følger:

den reflekterte strålen, den innfallende strålen og det normale (til dioptre) er inneholdt i plan for innfall;
hendelsen og reflekterte vinkler er like i absolutte verdier; θ 1 og θ 2 verifiserer: θ 2 = - θ 1 .

Snell-Descartes lover for brytning

Snell-Descartes brytningslover uttrykker endringen i retning av en lysstråle når de krysser en vegg, og skiller mellom to forskjellige medier. Hvert medium er preget av sin evne til å "bremse" lys, modellert av dets brytningsindeks n som uttrykkes i form:

ikke=vs.v{\ displaystyle n = {\ frac {c} {v}}} ${\ displaystyle n = {\ frac {c} {v}}}$ eller:

v er lysets hastighet i dette mediet;
det er lysets hastighet i vakuum.

Den lys ray sies å være hendelsen før du har møtt den brytende flates (kalt dioptri), sies det å være brytes etterpå.

Møtestedet for hendelsesstrålen og diopteren kalles innfallspunktet.

Flyet som inneholder den innfallende strålen og det normale til dioptre, ved innfallspunktet, kalles for innfallsplanet.

Den orienterte vinkelen θ 1 tatt mellom det normale ved innfallspunktet og innfallsstrålen kalles innfallsvinkelen.

Den orienterte vinkelen θ 2 tatt mellom det normale ved innfallspunktet og den bryte strålen kalles brytningsvinkelen.

Vinklene θ 1 og θ 2 er positive hvis de er orientert mot klokken, ellers negative.

La n 1 være brytningsindeksen til mediet der den innfallende strålen forplanter seg og n 2 den til mediet der den brytede strålen forplantes.

Lovene om refraksjon er oppgitt som følger:

den refrakterte strålen, den innfallende strålen og den normale (til dioptre) er i samme plan, innfallsplanet;
forholdet som knytter brytningsindeksene n 1 og n 2 for hvert av mediene og innfallsvinklene θ 1 og bryt θ 2 , kalt forholdet Snell-Descartes, er skrevet:

ikke1synd⁡θ1=ikke2synd⁡θ2{\ displaystyle n_ {1} \, \ sin \ theta _ {1} = n_ {2} \, \ sin \ theta _ {2}} ${\ displaystyle n_ {1} \, \ sin \ theta _ {1} = n_ {2} \, \ sin \ theta _ {2}}$

For n 1 > n 2 (og henholdsvis n 1 < n 2 ) nærmer den brytede (eller innfallende) strålen diopteren raskere enn den innfallende (eller bryte) strålen. Når den bryte (eller innfallende) strålen er funnet matematisk på dioptre (dens grense), blir det total refleksjon .

De empiriske lovene om refleksjon og refraksjon kan tolkes av forskjellige modeller: Huygens bølgemodell (Huygens prinsipp ), Fermat minste handlingsmodell (Fermat prinsipp ), Maxwell elektromagnetisk bølgemodell .

Snell-Descartes lover brukes også i ultralydrefleksjon.

Snell-Descartes lover og Galileos relativitet

Lovene til Snell-Descartes er faktisk en konsekvens, direkte, men ikke triviell, av relativitetsprinsippet til Galileo , det vil si av invariansen i fysikkens lover under en oversettelse i rommet eller i tid.

Demonstrasjon

La være en monokromatisk planbølge (skrevet i kompleks form ), og bølgen overføres gjennom (eller reflekteres på) et uendelig plan P som skiller to lineære og homogene medier. Lovene som foreskriver den overførte bølgen og den reflekterte bølgen, må være uforanderlige under en tidsmessig ( ) og romlig ( ) oversettelse , der den er parallell med P (slik at planet forblir uforanderlig). Da multipliseres med og med . Uforanderligheten av de fysiske lovene under en romtidsmessig oversettelse pålegger at den derfor skal være uendret , uansett oversettelse: ${\ displaystyle \ psi _ {0} = A_ {0} \ exp \ left [\ mathrm {i} \, ({\ vec {k}} _ {0} \ cdot {\ vec {r}} - \ omega _ {0} t) \ right]}$ ${\ displaystyle \ psi = A \ exp \ left [\ mathrm {i} \, ({\ vec {k}} \ cdot {\ vec {r}} - \ omega t + \ varphi) \ right]}$ ${\ displaystyle t \ rightarrow t- \ tau}$ ${\ displaystyle {\ vec {r}} \ rightarrow {\ vec {r}} - {\ vec {a}}}$ ${\ vec a}$ ${\ displaystyle \ psi _ {0}}$ ${\ displaystyle C_ {0} = \ exp [\ mathrm {i} \, (\ omega _ {0} \ tau - {\ vec {k}} _ {0} \ cdot {\ vec {a}})] }$ $\ psi$ ${\ displaystyle C = \ exp [\ mathrm {i} \, (\ omega \ tau - {\ vec {k}} \ cdot {\ vec {a}})]}$ ${\ displaystyle A / {A_ {0}}}$ $C = C_ {0}$

${\ displaystyle \ omega = \ omega _ {0}}$ , overføring og refleksjon sparer frekvens ;
${\ displaystyle {\ vec {k}} _ {\ parallel} = {\ vec {k}} _ {0 \ parallel}}$ (projeksjonene av og på flyet), hvorfra det lett kan utledes at refraksjons- og refleksjonsplanene (definert av og , komponenten vinkelrett på planet) sammenfaller med innfallsplanet (definert av og ); ${\ vec k}$ ${\ displaystyle {\ vec {k}} _ {0}}$ ${\ displaystyle {\ vec {k}} _ {\ parallel}}$ ${\ displaystyle {\ vec {k}} _ {\ perp}}$ ${\ vec k}$ ${\ displaystyle {\ vec {k}} _ {0 \ parallel}}$ ${\ displaystyle {\ vec {k}} _ {0 \ perp}}$
${\ displaystyle {\ frac {\ sin \ theta} {c}} = {\ frac {\ sin \ theta _ {0}} {c_ {0}}}}$ hvor og er henholdsvis innfallsvinkelen og hastigheten av bølgene i det første medium, og og vinkelen brytnings og hastigheten av det andre medium (eller refleksjonsvinkelen og hastigheten av det første medium); denne relasjonen følger av forholdet binding og (eller og ) : (og ved enkel geometri ). $\ theta _ {0}$ $c_ {0}$ $\ theta$ $vs.$ ${\ displaystyle \ | {\ vec {k}} \ |}$ $vs.$ ${\ displaystyle \ | {\ vec {k}} _ {0} \ |}$ $c_ {0}$ ${\ displaystyle c \ | {\ vec {k}} \ | = \ omega = \ omega _ {0} = c_ {0} \ | {\ vec {k}} _ {0} \ |}$ ${\ displaystyle \ | {\ vec {k}} \ | \ sin \ theta = \ | {\ vec {k}} _ {\ parallel} \ | = \ | {\ vec {k}} _ {0 \ parallel } \ | = \ | {\ vec {k}} _ {0} \ | \ sin \ theta _ {0}}$

Disse forholdene (og spesielt den tredje) forblir gyldige når det er flere reflekterte og overførte bølger (tilfelle av seismiske bølger ), når media er anisotrope , og selv når den overførte bølgen er unnvikende ( "total" refleksjon , ren imaginær ). ${\ displaystyle k _ {\ perp}}$

Vektorform av Snell-Descartes lover

Den vektorform gjør det mulig å uttrykke retnings vektorer av de reflekterte og avbøyde stråler fra den retningsvektor for innfallende stråle. Resultatet er det samme som for skalære former , men som vektorer i stedet for vinkler.

Gitt retningsvektoren til hendelsesstrålen (kommer fra en lyskilde og i retning av diopteren) og den normale vektoren til hendelsesplanet, har vi: ${\ displaystyle {\ vec {I}}}$ ${\ vec {n}}$

{\ displaystyle \ cos \ theta _ {1} = {\ vec {n}} \ cdot (- {\ vec {I}})}

{\ displaystyle \ cos \ theta _ {2} = {\ sqrt {1- \ left ({\ frac {n_ {1}} {n_ {2}}} \ right) ^ {2} \ left (1- \ cos ^ {2} \ theta _ {1} \ right)}}}

{\ displaystyle {\ vec {v}} _ {\ mathrm {r {\ acute {e}} fl {\ acute {e}} chi}} = {\ vec {I}} + \ left (2 \, \ cos \ theta _ {1} \ right) {\ vec {n}}}

{\ displaystyle {\ vec {v}} _ {\ mathrm {r {\ acute {e}} fract {\ acute {e}}}} = \ left ({\ frac {n_ {1}} {n_ {2 }}} \ høyre) {\ vec {I}} + \ venstre ({\ frac {n_ {1}} {n_ {2}}} \ cos \ theta _ {1} - \ cos \ theta _ {2} \ right) {\ vec {n}}}

Merk: må være positiv. Ellers må du bruke: ${\ displaystyle {\ vec {n}} \ cdot (- {\ vec {I}})}$

{\ displaystyle {\ vec {v}} _ {\ mathrm {r {\ acute {e}} fract {\ acute {e}}}} = \ left ({\ frac {n_ {1}} {n_ {2 }}} \ høyre) {\ vec {I}} + \ venstre ({\ frac {n_ {1}} {n_ {2}}} \ cos \ theta _ {1} + \ cos \ theta _ {2} \ høyre) {\ vec {n}}.}

Den totale refleksjonen oppstår når radikanten med formelen for cos ( θ 2 ) er negativ.

Generalisering av refleksjons- og refraksjonslover

I oktober 2011, en gruppe internasjonale forskere som jobber ved Harvard University i USA, generaliserte lovene om refleksjon og refraksjon. Ideen består i å modifisere grensesnittet som skiller de to mediene for å innføre en faseforskyvning på lysstrålen som ikke lenger er ensartet, men som avhenger av rommet. For å gjøre dette dekorerte de grensesnittet med en matrise av plasmoniske antenner av nanoskopisk størrelse, som gjør det mulig å introdusere en konstant fasegradient langs grensesnittet.

De nye refleksjons- og refraksjonslovene oppnås ved å vurdere Fermats prinsipp , og ta hensyn til denne fasegradienten. Størrelsen på de plasmoniske antennene som ble brukt, var mye mindre enn lysets bølgelengde. Fasegradienten innføres plutselig når man krysser grensesnittet, og frakobler dermed fasen akkumulert under forplantning og hopping. Fase introdusert av nanostrukturer.

Den generaliserte brytningsloven blir da uttalt som følger:

{\ displaystyle n_ {2} \, \ sin \ theta _ {2} -n_ {1} \, \ sin \ theta _ {1} = {\ frac {\ lambda} {2 \, \ pi}} \; {\ frac {\ mathrm {d} \ phi} {\ mathrm {d} x}}}

eller:

${\ textstyle {\ frac {\ mathrm {d} \ phi} {\ mathrm {d} x}}}$ representerer fasegradienten som plutselig ble introdusert ved grensesnittet.

Den generaliserte refleksjonsloven er uttalt:

{\ displaystyle \ sin \ theta _ {r} - \ sin \ theta _ {i} = {\ frac {\ lambda} {2 \, \ pi \, n_ {i}}} \; {\ frac {\ mathrm {d} \ phi} {\ mathrm {d} x}}}

eller:

θ i er innfallsvinkelen;
θ r er refleksjonsvinkelen.

Loven om refleksjon er overraskende: refleksjonsvinkelen er ikke lenger nødvendigvis lik innfallsvinkelen.

Visualisering av Snell-Descartes 'lov: overflaten av treghet

Vi kaller treghetsvektor, vektoren som bæres av forplantningsretningen for bølgen og av modul som er lik den omvendte av fasens hastighet i denne retningen. Langsomhetens overflater er stedet for ekstremiteten til denne vektoren for alle retninger for forplantning av bølgene.

Per definisjon er langsomhetsflaten stedet for endene på treghetsvektoren , tegnet fra et fast punkt O når forplantningsretningen varierer. ${\ displaystyle {\ displaystyle {\ vec {m}}}}$ ${\ displaystyle {\ displaystyle {\ vec {n}}}}$

Sakte vektor:

{\ displaystyle {\ vec {m}} = {\ frac {\ vec {n}} {V}}}

Retningene for bølgeforplantning kan bestemmes grafisk fra overflaten til tregheten. Faktisk tilsvarer Snell-Descartes-lovene bevaringen av projeksjonen på grensesnittet til de langsomme vektorene til alle bølgene (innfallende, reflektert (e) og overført (e)), som illustrert i figuren motsatt.

Isotropisk medium

I isotropiske medier (fast eller flytende), hvor hastigheten til en bølge er den samme uansett retning, overflatene med langsomhet er kuler; sirkler i innfallsplanet (en for langsgående bølger og en større for tverrgående bølger ).

Anisotropisk medium

For et anisotropisk medium avviker langsomhetsflatene fra den rent sfæriske representasjonen knyttet til isotrope legemer. Et snitt i et plan av langsomhetens overflater for et anisotropisk materiale er gitt i figuren motsatt.

Merknader og referanser

(i) A. Kwan, JM Dudley, E. Lantz, "Hvem oppdaget egentlig Snells lov?", Physics World 15 (2002): 64-84. og Roshdi Rashed , Geometry and Dioptrics in Classical Islam (London: al-Furqan, 2005), XIII-1178-VI s., ( ISBN 1 873992 99 8 )
(no) Gorden Videen "Whose Law of Refraction?", Optics and Photonics News, publisert av OSA http://www.osa-opn.org/print.aspx?path=%2FArchives%2F0508% 2Fdepartments% 2Fviewpoint.aspx
R. Rashed, " Modellen av gjennomsiktig sfære og forklaring av regnbuen himmelen: Ibn al-Haytham - Farisi ," History of Science Journal og applikasjoner , ingen bein 23- 2,1970, s. 109-140 ( les online ).
B. Maitte History of the rainbow. Paris: Seuil, Open Science, 2005
J.-P.Maury Opprinnelsen til vitenskapelig forskning: Mersenne. Paris: Vuibert, 2003
B. Rochot Den vitenskapelige korrespondanse Far Mersenne. Paris: Discovery Palace, 1966.
P. Costabel Opprinnelige tilnærminger fra lærde Descartes. Paris: Vrin, 1982.
Jean-Pierre Provost og Gérard Vallée, Maths in physics: Physics through the filter of mathematics , Paris, Éditions Dunod , coll. "Sup Sciences",Mars 2004, 1 st ed. , 331 s. ( ISBN 2-10-004652-7 ) , s. 82-83.
(i) Andrew S. Glassner , En introduksjon til Ray Tracing , Morgan Kaufmann,1989, 327 s. ( ISBN 0-12-286160-4 , les online )
Nanfang Yu, Patrice Genevet, Mikhail Kats, Francesco Aieta, Jean-Philippe Tetienne, Federico Capasso, Zeno Gaburro, Lett forplantning med fasediskontinuiteter : Generaliserte lover for refleksjon og refraksjon , vitenskap, 334, 333, 2011.
" Formering og ikke-destruktiv testing på ACO3-faste stoffer "
" PARVIZ NAVI: Akustiske egenskaper til materialer: Formering av harmoniske planbølger. "