Lov om sines

I trigonometri er sinesloven et forhold mellom proporsjonaliteten mellom lengdene på sidene av en trekant og sinesene i henholdsvis motsatte vinkler . Det gjør det mulig å kjenne lengden på de andre sidene ved å kjenne to vinkler og en side.

Det er en sinusformel for lignende presentasjon i sfærisk trigonometri .

Disse lovene er oppgitt og demonstrert, for kuleformen, Abu Nasr Mansur i begynnelsen av XI th århundre, til flat form, Nasir al-Din Tusi i begynnelsen av XIII th århundre.

Lov om sines i plangeometri

Stater

Tenk på hvilken som helst trekant ABC, vist i fig. 1 motsatt, der vinklene er betegnet med små bokstaver, og sidene motsatt vinklene med tilsvarende latinske små bokstaver:

a = BC og α = vinkel dannet av [AB] og [AC];
b = AC og β = vinkel dannet av [BA] og [BC];
c = AB og γ = vinkel dannet av [CA] og [CB].

Den såkalte sinusformelen er da:

\, {\ frac {a} {\ sin \ alpha}} = {\ frac {b} {\ sin \ beta}} = {\ frac {c} {\ sin \ gamma}}

Vi har til og med bedre:

\, {\ frac {a} {\ sin \ alpha}} = {\ frac {b} {\ sin \ beta}} = {\ frac {c} {\ sin \ gamma}} = {\ frac {abc} {2S}} = 2R

hvor R er radiusen til sirkelen som er begrenset til trekanten ABC og

S = {\ sqrt {p (pa) (pb) (pc)}}

er arealet av trekanten gitt fra den halve omkretsen p av Herons formel .

Forholdet til proporsjonalitet er noen ganger oppsummert som følger:

\, a \ ,: \, b \ ,: \, c = \ sin \ alpha \ ,: \, \ sin \ beta \ ,: \, \ sin \ gamma

Teoremet kan brukes

for å bestemme radiusen til den omskrevne sirkelen
$\, R = {\ frac {a} {2 \ sin \ alpha}}$
å løse en trekant som vi kjenner to vinkler og en side av.

Demonstrasjoner

Ved å uttrykke en høyde på to måter

Vi betrakter en trekant med sider a , b , og c , og α, β, y dens vinkler ved hjørnene A , B , og C henholdsvis. Høyden fra C deler trekanten ABC i to høyre trekanter. La oss betegne denne høyden med h ; vi kan bruke definisjonen av sinus i de to små høyre trekantene for å uttrykke h :

{\ displaystyle \ sin \ alpha = {\ frac {h} {b}} {\ text {et}} \ sin \ beta = {\ frac {h} {a}}.}

Derfra henter vi to uttrykk for h :

h = b \ sin \ alpha = a \ sin \ beta \,

og så :

{\ frac {a} {\ sin \ alpha}} = {\ frac {b} {\ sin \ beta}}.

Ved å gjøre det samme med høyden fra A får vi:

{\ frac {b} {\ sin \ beta}} = {\ frac {c} {\ sin \ gamma}}.

Ved å beregne arealet av trekanten

Arealet S av trekanten kan beregnes ved å velge siden AB = c som base og h som høyden. Vi får da:

{\ displaystyle S = {\ frac {c \ times h} {2}} = {\ frac {c \ times b \ sin \ alpha} {2}}.}

Ved å multiplisere med utleder vi: ${\ displaystyle {\ tfrac {a} {S \ sin \ alpha}}}$

{\ displaystyle {\ frac {a} {\ sin \ alpha}} = {\ frac {abc} {2S}}.}

Det demonstrerer vi også

{\ displaystyle {\ frac {b} {\ sin \ beta}} = {\ frac {abc} {2S}} \ quad {\ rm {et}} \ quad {\ frac {c} {\ sin \ gamma} } = {\ frac {abc} {2S}}.}

Ved den innskrevne vinkelsetningen

Ved å erstatte $C$ med punktet $D$ diametralt motsatt $A$ på den omskrevne sirkelen , finner vi (fig. 3 og 4):

{\ displaystyle \ sin \ gamma = {\ frac {c} {2R}} \ quad {\ rm {derfor}} \ quad {\ frac {c} {\ sin \ gamma}} = 2R.}

Hvis $A$ og $B$ er diametralt motsatte , er denne konstruksjonen ikke mulig, men likhet er øyeblikkelig (figur 5).

Det demonstrerer vi også

{\ displaystyle {\ frac {b} {\ sin \ beta}} = 2R \ quad {\ rm {et}} \ quad {\ frac {a} {\ sin \ alpha}} = 2R.}

Sinusformel i sfærisk trigonometri

Betrakt en trekant $ABC$ på en sfære sentrum O . Vi betegner vinkelen til trekanten ved toppunktet A (henholdsvis B og C ) med α (henholdsvis β og γ ). Vi betegner ved a , b og c vinklene som er senket i midten av kule O av den tilsvarende delen av den store sirkelen. Således et betegner den vinkel BOC , etc. Lengden på sidene blir selvfølgelig utledet fra a , b og c ved å multiplisere dem med sfærens radius.

Sinusformelen blir deretter angitt som følger: ${\ displaystyle {\ frac {\ sin a} {\ sin \ alpha}} = {\ frac {\ sin b} {\ sin \ beta}} = {\ frac {\ sin c} {\ sin \ gamma}} .}$

Det fremhever en dualitet mellom vinklene i midten og vinklene i toppunktene.

I høyere dimensjoner

Mer generelt, for en n - simpleks (for eksempel en tetraeder ( $n = 3$ ), et pentachorus ( $n = 4$ ) osv.; Trekanten tilsvarer saken n = 2) i et euklidisk rom med dimensjon n , verdien absolutt av den polære sinusen til settet med vektorer som er normale mot ansiktene rundt et toppunkt, delt på arealet av ansiktet motsatt dette toppunktet, avhenger ikke av dette toppunktet, og er lik , hvor V er volumet av simplex, og P produktet av områdene med ansiktene. ${\ displaystyle {\ frac {(nV) ^ {n-1}} {(n-1)! P}}}$

Merknader og referanser

( fr ) Denne artikkelen er delvis eller helt hentet fra Wikipedia-artikkelen på engelsk med tittelen " Law of sines " ( se listen over forfattere ) .

Marie-Thérèse Debarnot, "Trigonometry" , i Roshdi Rashed (red.), Histoire des sciences arabe: Mathématiques et physique , t. 2, terskel,1997, s. 161-198, s. 173 og 184
R. Bastin, B. Baudelet, S. Bouzette og P. Close, matematikk 4 , de Boeck, coll. "Adam",2009( ISBN 978-2-80410143-5 , leses online ) , s. 241-242.
" Sines Law - A Simple Demonstration " , på blogdemaths.wordpress.com ,2011.

Se også

Eksterne linker

(no) Eric W. Weisstein , “ Law of Sines ” , på MathWorld
(en) Eric W. Weisstein , “ Generalized Law of Sines ” , på MathWorld

Relaterte artikler

Trigonometri :
- bihuler ;
- trigonometrisk funksjon ;
- sfærisk trigonometri ;
- triangulering .
Geometri av trekanten :
- lov om kosinus ;
- tangens lov ;
- oppløsning av en trekant .