Lov om χ ikke sentrert

Lov om ikke-sentrert χ{\ displaystyle \ chi}
Innstillinger	k∈{1,2,...}{\ displaystyle k \ in \ {1,2, \ dots \} \,}( frihetsgrader ) λ>0{\ displaystyle \ lambda> 0 \,}
Brukerstøtte	x∈[0;+∞[{\ displaystyle x \ i [0; + \ infty [\,}
Sannsynlighetstetthet	e-(x2+λ2)/2xkλ(λx)k/2Jegk/2-1(λx){\ displaystyle {\ frac {e ^ {- (x ^ {2} + \ lambda ^ {2}) / 2} x ^ {k} \ lambda} {(\ lambda x) ^ {k / 2}}} I_ {k / 2-1} (\ lambda x)}
Håp	π2L1/2(k/2-1)(-λ22){\ displaystyle {\ sqrt {\ frac {\ pi} {2}}} L_ {1/2} ^ {(k / 2-1)} \ left ({\ frac {- \ lambda ^ {2}} { 2}} \ høyre) \,}
Forskjell	k+λ2-μ2{\ displaystyle k + \ lambda ^ {2} - \ mu ^ {2} \,}

I sannsynlighetsteori og statistikk er loven om ikke-sentrertχ{\ displaystyle \ chi} en generalisering av loven til χ . Hvis , er k tilfeldige variabler uavhengig av normal lov om gjennomsnitt og respektive standardavvik og deretter XJeg,Jeg=1,...,k{\ displaystyle \ scriptstyle X_ {i}, \, i = 1, \ prikker, k} μJeg,Jeg=1,...,k{\ displaystyle \ scriptstyle \ mu _ {i}, \, i = 1, \ prikker, k}σJeg,Jeg=1,...,k{\ displaystyle \ scriptstyle \ sigma _ {i}, i = 1, \ dots, k}

X=∑1k(XJegσJeg)2{\ displaystyle X = {\ sqrt {\ sum _ {1} ^ {k} \ left ({\ frac {X_ {i}} {\ sigma _ {i}}} \ right) ^ {2}}}}

er en ikke-sentrert tilfeldig variabel . Denne loven har to parametere: et helt tall som spesifiserer antall frihetsgrader (dvs. antall variabler ), og et reelt forhold til gjennomsnittet av variablene etter formelen: χ{\ displaystyle \ chi}k{\ displaystyle k}XJeg{\ displaystyle X_ {i}}λ>0{\ displaystyle \ lambda> 0}XJeg{\ displaystyle X_ {i}}

λ=∑1k(μJegσJeg)2{\ displaystyle \ lambda = {\ sqrt {\ sum _ {1} ^ {k} \ left ({\ frac {\ mu _ {i}} {\ sigma _ {i}}} \ right) ^ {2} }}}

Vi vil si at X følger en lov om χ ikke sentrert med k frihetsgrader og parameter λ, vil vi merke ossX∼IKKEVSχk(λ){\ displaystyle X \ sim NC \ chi _ {k} (\ lambda)}

Eiendommer

Den sannsynlighetstettheten er gitt ved:

f(x;k,λ)=e-(x2+λ2)/2xkλ(λx)k/2Jegk/2-1(λx){\ displaystyle f (x; k, \ lambda) = {\ frac {e ^ {- (x ^ {2} + \ lambda ^ {2}) / 2} x ^ {k} \ lambda} {(\ lambda x) ^ {k / 2}}} I_ {k / 2-1} (\ lambda x)}

hvor er den modifiserte Bessel-funksjonen av den første typen. Jegν(z){\ displaystyle I _ {\ nu} (z)}

De første øyeblikkene er:

μ1′=π2L1/2(k/2-1)(-λ22){\ displaystyle \ mu '_ {1} = {\ sqrt {\ frac {\ pi} {2}}} L_ {1/2} ^ {(k / 2-1)} \ left ({\ frac {- \ lambda ^ {2}} {2}} \ høyre)} μ2′=k+λ2{\ displaystyle \ mu '_ {2} = k + \ lambda ^ {2}} μ3′=3π2L3/2(k/2-1)(-λ22){\ displaystyle \ mu '_ {3} = 3 {\ sqrt {\ frac {\ pi} {2}}} L_ {3/2} ^ {(k / 2-1)} \ left ({\ frac { - \ lambda ^ {2}} {2}} \ høyre)} μ4′=(k+λ2)2+2(k+2λ2){\ displaystyle \ mu '_ {4} = (k + \ lambda ^ {2}) ^ {2} +2 (k + 2 \ lambda ^ {2})}

hvor er det generaliserte Laguerre-polynomet . Merk at det andre øyeblikket er det samme som det n- øyeblikket av den ikke-sentrerte ed²-loven der parameteren erstattes av . Likke(på)(z){\ displaystyle L_ {n} ^ {(a)} (z)}λ{\ displaystyle \ lambda}λ2{\ displaystyle \ lambda ^ {2}}

Koblinger til andre lover

• Hvis er en usentrert random²-lov tilfeldig variabel , er den tilfeldige variabelen en usentrert χ-lov tilfeldig variabel.X{\ displaystyle X}X2{\ displaystyle X ^ {2}}
• Hvis er lov χ , så er loven ikke sentrert χ: . Loven til χ er med andre ord et spesielt tilfelle av loven om χ som ikke er sentrert med parameteren .X{\ displaystyle X}X∼χk{\ displaystyle X \ sim \ chi _ {k}}X{\ displaystyle X}X∼IKKEVSχk(0){\ displaystyle X \ sim NC \ chi _ {k} (0)}λ=0{\ displaystyle \ lambda = 0}
• Loven om χ ikke sentrert med to grader av frihet er lik loven om ris med .σ=1{\ displaystyle \ sigma = 1}
• Hvis X følger en ikke-sentrert lov på χ med en grad av frihet og parameteren λ, følger σ X en brettet normal lov med parametrene σλ og σ 2 for en hvilken som helst verdi på σ.

Ulike lover om ogχ{\ displaystyle \ chi}χ2{\ displaystyle \ chi ^ {2}}

Lover	som en funksjon av normalfordelingsvariabler
lov av χ²	∑Jeg=1k(XJeg-μJegσJeg)2{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {k} \ left ({\ frac {X_ {i} - \ mu _ {i}} {\ sigma _ {i}}} \ right) ^ {2} }
lov av not² ikke sentrert	∑Jeg=1k(XJegσJeg)2{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {k} \ left ({\ frac {X_ {i}} {\ sigma _ {i}}} \ right) ^ {2}}
lov av χ	∑Jeg=1k(XJeg-μJegσJeg)2{\ displaystyle {\ sqrt {\ sum _ {i = 1} ^ {k} \ left ({\ frac {X_ {i} - \ mu _ {i}} {\ sigma _ {i}}} \ høyre) ^ {2}}}}
lov av χ ikke sentrert	∑Jeg=1k(XJegσJeg)2{\ displaystyle {\ sqrt {\ sum _ {i = 1} ^ {k} \ left ({\ frac {X_ {i}} {\ sigma _ {i}}} \ right) ^ {2}}}}

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">