Laguerre polynom
I matematikk er Laguerre-polynomer , oppkalt etter Edmond Laguerre , de normaliserte løsningene av Laguerres ligning :
xy"+(1-x)y′+ikkey=0{\ displaystyle x \, y '' + (1-x) \, y '+ n \, y = 0 \,}som er en homogen lineær differensialligning av rekkefølge 2 og omskrives i form av Sturm-Liouville :
-ddx(xe-xdydx)=ikkee-xy.{\ displaystyle - {{\ rm {d}} \ over {\ rm {d}} x} \ venstre (x {\ rm {e}} ^ {- x} {{\ rm {d}} y \ over {\ rm {d}} x} \ right) = n {\ rm {e}} ^ {- x} y.}
Denne ligningen har ikke-entallige løsninger bare hvis n er et positivt heltall . Den løsninger L n danner en serie av ortogonale polynomer i L 2 (ℝ + , e - x D x ), og normaliseringen blir utført ved å tvinge dem til å være av en norm, og derfor for å danne en ortonormal familie . De danner til og med en Hilbert-basis av L 2 (ℝ + , e - x d x ).
Denne sekvensen av polynomer kan defineres av Rodrigues 'formel
Likke(x)=exikke!dikkedxikke(e-xxikke).{\ displaystyle L_ {n} (x) = {\ frac {\ mathrm {e} ^ {x}} {n!}} {\ frac {{\ rm {d}} ^ {n}} {{\ rm {d}} x ^ {n}}} \ venstre (\ mathrm {e} ^ {- x} x ^ {n} \ høyre).}Sekvensen av Laguerre polynomer er en Sheffer-sekvens .
Laguerre-polynomer vises i kvantemekanikk i den radiale delen av løsningen av Schrödinger-ligningen for et atom til ett elektron.
Den dominerende koeffisienten til L n er (–1) n / n ! . Fysikere bruker ofte en definisjon av Laguerre-polynomer der de multipliseres med (–1) n n ! , og oppnår dermed enhetspolynomer .
De første polynomene
Her er de første Laguerre-polynomene:
ikke
|
Likke(x){\ displaystyle L_ {n} (x) \,}
|
0 |
1{\ displaystyle 1 \,}
|
1 |
-x+1{\ displaystyle -x + 1 \,}
|
2
|
12(x2-4x+2){\ displaystyle {\ begin {matrix} {\ frac {1} {2}} \ end {matrix}} (x ^ {2} -4x + 2) \,}
|
3
|
16(-x3+9x2-18x+6){\ displaystyle {\ begin {matrix} {\ frac {1} {6}} \ end {matrix}} (- x ^ {3} + 9x ^ {2} -18x + 6) \,}
|
4
|
124(x4-16x3+72x2-96x+24){\ displaystyle {\ begin {matrix} {\ frac {1} {24}} \ end {matrix}} (x ^ {4} -16x ^ {3} + 72x ^ {2} -96x + 24) \, }
|
5
|
1120(-x5+25x4-200x3+600x2-600x+120){\ displaystyle {\ begin {matrix} {\ frac {1} {120}} \ end {matrix}} (- x ^ {5} + 25x ^ {4} -200x ^ {3} + 600x ^ {2} -600x + 120) \,}
|
6
|
1720(x6-36x5+450x4-2400x3+5400x2-4320x+720){\ displaystyle {\ begin {matrix} {\ frac {1} {720}} \ end {matrix}} (x ^ {6} -36x ^ {5} + 450x ^ {4} -2400x ^ {3} + 5400x ^ {2} -4320x + 720) \,}
|
Eiendommer
Laplace transform av Laguerre polynomer iR+{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {+}}
Ved å betegne H ( x ) som Heaviside-funksjonen , har vi likheten:
L{H(x)Likke(x)}=L{H(x)exikke!dikkedxikke(e-xxikke)}=ikke!z(z-1z)ikke{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ left \ {H (x) L_ {n} (x) \ right \} = {\ mathcal {L}} \ left \ {H (x) {\ frac {\ mathrm {e} ^ {x}} {n!}} {\ frac {{\ rm {d}} ^ {n}} {{\ rm {d}} x ^ {n}}} \ left (\ mathrm {e} ^ {- x} x ^ {n} \ høyre) \ høyre \} = {\ frac {n!} {z}} \ venstre ({\ frac {z-1} {z}} \ høyre) ^ {n}}
Demonstrasjon
- Beregning av:L{H(x).xikke}{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ {H (x) .x ^ {n} \}}
L{H(x)xikke}=PÅikke(z)=∫0+∞xikkee-zxdx{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ {H (x) x ^ {n} \} = A_ {n} (z) = \ int _ {0} ^ {+ \ infty} x ^ {n} e ^ {- zx} {\ rm {d}} x}Etter integrering av deler finner vi:
PÅikke(z)=ikkezPÅikke-1(z)=......=ikke!zikkePÅ0(z)=ikke!zikke+1{\ displaystyle A_ {n} (z) = {\ frac {n} {z}} A_ {n-1} (z) = ...... = {\ frac {n!} {z ^ {n }}} A_ {0} (z) = {\ frac {n!} {Z ^ {n + 1}}}- Beregning av L{H(x)xikkee-x}{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ {H (x) x ^ {n} {\ rm {e}} ^ {- x} \}}
Husk at: med
L{H(x)f(x)e-x}=F(z+1){\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ {H (x) f (x) {\ rm {e}} ^ {- x} \} = F (z + 1)}F(z)=L{H(x)f(x)}{\ displaystyle F (z) = {\ mathcal {L}} \ {H (x) f (x) \}}
Så:
L{H(x)xikkee-x}=∫0+∞xikkee-x(1+z)dx=Bikke(z)=PÅikke(z+1)=ikke!(z+1)ikke+1=L{H(x)e-xxikke}{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ {H (x) x ^ {n} {\ rm {e}} ^ {- x} \} = \ int _ {0} ^ {+ \ infty} x ^ {n} {\ rm {e}} ^ {- x (1 + z)} {\ rm {d}} x = B_ {n} (z) = A_ {n} (z + 1) = {\ frac {n!} {(z + 1) ^ {n + 1}}} = {\ mathcal {L}} \ {H (x) {\ rm {e}} ^ {- x} x ^ {n} \ }}- La oss nå beregne Laplace-transformasjonen avH(x)exdikkedxikke{xikkee-x}{\ displaystyle H (x) {\ rm {e}} ^ {x} {\ frac {{\ rm {d}} ^ {n}} {{\ rm {d}} x ^ {n}}} \ {x ^ {n} {\ rm {e}} ^ {- x} \}}
L{H(x)exdikkedxikke{xikkee-x}}=∫0+∞exdikkedxikke{xikkee-x}e-zxdx{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ left \ {H (x) {\ rm {e}} ^ {x} {\ frac {{\ rm {d}} ^ {n}} {{\ rm { d}} x ^ {n}}} \ {x ^ {n} {\ rm {e}} ^ {- x} \} \ right \} = \ int _ {0} ^ {+ \ infty} {\ rm {e}} ^ {x} {\ frac {{\ rm {d}} ^ {n}} {{\ rm {d}} x ^ {n}}} \ {x ^ {n} {\ rm {e}} ^ {- x} \} {\ rm {e}} ^ {- zx} {\ rm {d}} x}
Ved hjelp av
Leibniz formel :
(fg)(ikke)=∑s=0ikke(ikkes)f(s)g(ikke-s)⇒(xikkee-x)(ikke)=∑s=0ikke(ikkes)(xikke)(s)(e-x)(ikke-s)=∑s=0ikke(ikkes)ikke!(ikke-s)!xikke-s(-1)ikke-se-x{\ displaystyle (fg) ^ {(n)} = \ sum _ {p = 0} ^ {n} {n \ velg p} f ^ {(p)} g ^ {(np)} \ Rightarrow (x ^ {n} {\ rm {e}} ^ {- x}) ^ {(n)} = \ sum _ {p = 0} ^ {n} {n \ velg p} (x ^ {n}) ^ { (p)} ({\ rm {e}} ^ {- x}) ^ {(np)} = \ sum _ {p = 0} ^ {n} {n \ velg p} {\ frac {n!} {(np)!}} x ^ {np} (- 1) ^ {np} {\ rm {e}} ^ {- x}}
Derfor
L{H(x)exdikkedxikke{xikkee-x}}=∑s=0ikke(ikkes)ikke!(-1)ikke-s(ikke-s)!∫0+∞xikke-se-zxdx{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ left \ {H (x) {\ rm {e}} ^ {x} {\ frac {d ^ {n}} {dx ^ {n}}} \ {x ^ {n} {\ rm {e}} ^ {- x} \} \ right \} = \ sum _ {p = 0} ^ {n} {n \ velg p} {\ frac {n! (- 1 ) ^ {np}} {(np)!}} \ int _ {0} ^ {+ \ infty} x ^ {np} {\ rm {e}} ^ {- zx} {\ rm {d}} x }
Det resulterer
L{H(x)exikke!dikkedxikke(e-xxikke)}=ikke!z(z-1z)ikke{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ left \ {H (x) {\ frac {\ mathrm {e} ^ {x}} {n!}} {\ frac {{\ rm {d}} ^ { n}} {{\ rm {d}} x ^ {n}}} \ left (\ mathrm {e} ^ {- x} x ^ {n} \ right) \ right \} = {\ frac {n! } {z}} \ venstre ({\ frac {z-1} {z}} \ høyre) ^ {n}}
Den generator for Laguerre polynomer er .
∑ikke=0∞Likke(x)tikkeikke!=e-xt/(1-t)1-t{\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} L_ {n} (x) {\ frac {t ^ {n}} {n!}} \, = {\ frac {{\ rm {e }} ^ {- xt / (1-t)}} {1-t}}}
Demonstrasjon
La oss først beregne Laplace-transformasjonen av generatorfunksjonen til Laguerre polynomer:
L{∑ikke=0∞Likke(x)tikkeikke!}=∑ikke=0∞L{Likke(x)}tikkeikke!=∑ikke=0∞ikke!z(z-1z)ikketikkeikke!=1z∑ikke=0∞(t-tz)ikke{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ left \ {\ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} L_ {n} (x) {\ frac {t ^ {n}} {n!}} \ høyre \} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ mathcal {L}} \ {L_ {n} (x) \} {\ frac {t ^ {n}} {n!}} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {n!} {z}} \ left ({\ frac {z-1} {z}} \ right) ^ {n} {\ frac {t ^ {n}} {n!}} = {\ frac {1} {z}} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ left (t - {\ frac {t} {z} } \ høyre) ^ {n}}Konvergensen av denne serien er sikret for . Under disse forholdene har vi
|t-tz|<1{\ displaystyle \ left | t - {\ frac {t} {z}} \ right | <1}
∑ikke=0∞(t-tz)ikke=limikke→∞1-(t-tz)ikke+11-(t-tz)=11-t+tz{\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ left (t - {\ frac {t} {z}} \ right) ^ {n} = \ lim \ limits _ {n \ to \ infty } {\ frac {1- (t - {\ frac {t} {z}}) ^ {n + 1}} {1- (t - {\ frac {t} {z}})}} = {\ frac {1} {1-t + {\ frac {t} {z}}}}}Derfor
L{∑ikke=0∞Likke(x)tikkeikke!}=1z11-t+tz=11-t1z+t1-t=11-tL{e-xt1-t}{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ left \ {\ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} L_ {n} (x) {\ frac {t ^ {n}} {n!}} \ høyre \} = {\ frac {1} {z}} {\ frac {1} {1-t + {\ frac {t} {z}}}} = {\ frac {1} {1-t}} {\ frac {1} {z + {\ frac {t} {1-t}}}} = {\ frac {1} {1-t}} {\ mathcal {L}} \ venstre \ {{\ rm {e}} ^ {- x {\ frac {t} {1-t}}} \ høyre \}} fordi
L{e-påx}=1z+på{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ {{\ rm {e}} ^ {- ax} \} = {\ frac {1} {z + a}}}
Endelig utleder vi
∑ikke=0∞Likke(x)tikkeikke!=11-te-xt1-t{\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} L_ {n} (x) {\ frac {t ^ {n}} {n!}} = {\ frac {1} {1-t} } {\ rm {e}} ^ {- x {\ frac {t} {1-t}}}}
Diverse ligninger
Det tredje Laguerre-polynomet tilfredsstiller følgende differensialligning :
xLikke"(x)+(1-x)Likke′(x)+ikkeLikke(x)=0.{\ displaystyle xL_ {n} '' (x) + (1-x) L_ {n} '(x) + nL_ {n} (x) = 0. \,}Vi har også følgende gjentatte sekvens:
(ikke+1)Likke+1(x)+(x-2ikke-1)Likke(x)+ikkeLikke-1(x)=0.{\ displaystyle (n + 1) L_ {n + 1} (x) + (x-2n-1) L_ {n} (x) + nL_ {n-1} (x) = 0. \,}Polynomene tilfredsstiller eiendommen
xLikke′(x)-ikkeLikke(x)+ikkeLikke-1(x)=0.{\ displaystyle xL_ {n} '(x) -nL_ {n} (x) + nL_ {n-1} (x) = 0. \,}
Uttrykk med en konturintegral
Polynomer kan uttrykkes i form av en konturintegral
Likke(x)=12πJeg∮e-xt/(1-t)(1-t)tikke+1dt{\ displaystyle L_ {n} (x) = {\ frac {1} {2 \ pi {\ rm {i}}}} \ anoint {\ frac {{\ rm {e}} ^ {- xt / (1 -t)}} {(1-t) \, t ^ {n + 1}}} \, {\ rm {d}} t}der omrisset omgir opprinnelsen en gang mot klokken.
Generaliserte Laguerre-polynomer
Egenskapen til ortogonalitet nevnt ovenfor tilsvarer å si at hvis X er en tilfeldig variabel fordelt eksponentielt med sannsynlighetstetthetsfunksjonen
f(x)={e-xhvis x>0,0hvis x<0,{\ displaystyle f (x) = \ left \ {{\ begin {matrix} {\ rm {e}} ^ {- x} & {\ mbox {si}} \ x> 0, \\ 0 & {\ mbox {if}} \ x <0, \ end {matrix}} \ høyre.}så
E(Likke(X)Lm(X))=0 hvis ikke≠m.{\ displaystyle \ mathbb {E} (L_ {n} (X) L_ {m} (X)) = 0 \ {\ mbox {si}} \ n \ neq m.}Den eksponensielle fordelingen er ikke den eneste gammafordelingen . En sekvens av polynomer ortogonale med hensyn til gammadistribusjon hvis sannsynlighetstetthetsfunksjon er, for α > –1 ,
f(x)={xαe-x/Γ(1+α)hvis x>0,0hvis x<0,{\ displaystyle f (x) = \ left \ {{\ begin {matrix} x ^ {\ alpha} {\ rm {e}} ^ {- x} / \ Gamma (1+ \ alpha) & {\ mbox { if}} \ x> 0, \\ 0 & {\ mbox {si}} \ x <0, \ end {matrix}} \ right.}( jf. gammafunksjon ) er gitt av Rodrigues 'formel for generaliserte Laguerre-polynomer :
Likke(α)(x)=x-αexikke!dikkedxikke(e-xxikke+α).{\ displaystyle L_ {n} ^ {(\ alpha)} (x) = {x ^ {- \ alpha} {\ rm {e}} ^ {x} \ over n!} {{\ rm {d}} ^ {n} \ over {\ rm {d}} x ^ {n}} \ venstre ({\ rm {e}} ^ {- x} x ^ {n + \ alpha} \ høyre).}De kalles noen ganger de tilknyttede Laguerre-polynomene . Vi finner de enkle Laguerre-polynomene ved å ta α = 0 :
Likke(0)(x)=Likke(x).{\ displaystyle L_ {n} ^ {(0)} (x) = L_ {n} (x).}De generaliserte Laguerre-polynomene er ortogonale på [0, ∞ [ med hensyn til vektfunksjonen x α e - x :
∫0∞e-xxαLikke(α)(x)Lm(α)(x)dx=Γ(ikke+α+1)ikke!δikkem.{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ rm {e}} ^ {- x} x ^ {\ alpha} L_ {n} ^ {(\ alpha)} (x) L_ {m} ^ {(\ alpha)} (x) {\ rm {d}} x = {\ frac {\ Gamma (n + \ alpha +1)} {n!}} \ delta _ {nm}.}Generelle Laguerre-polynomer følger differensiallikningen
xLikke(α)′′(x)+(α+1-x)Likke(α)′(x)+ikkeLikke(α)(x)=0.{\ displaystyle xL_ {n} ^ {(\ alpha) \ prime \ prime} (x) + (\ alpha + 1-x) L_ {n} ^ {(\ alpha) \ prime} (x) + nL_ {n } ^ {(\ alpha)} (x) = 0. \,}
Eksempler på generaliserte Laguerre-polynomer
De første generaliserte Laguerre-polynomene er
L0(α)(x)=1{\ displaystyle L_ {0} ^ {(\ alpha)} (x) = 1}L1(α)(x)=-x+α+1{\ displaystyle L_ {1} ^ {(\ alpha)} (x) = - x + \ alpha +1}L2(α)(x)=x22-(α+2)x+(α+2)(α+1)2{\ displaystyle L_ {2} ^ {(\ alpha)} (x) = {\ frac {x ^ {2}} {2}} - (\ alpha +2) x + {\ frac {(\ alpha +2 ) (\ alpha +1)} {2}}}L3(α)(x)=-x36+(α+3)x22-(α+2)(α+3)x2+(α+1)(α+2)(α+3)6{\ displaystyle L_ {3} ^ {(\ alpha)} (x) = {\ frac {-x ^ {3}} {6}} + {\ frac {(\ alpha +3) x ^ {2}} {2}} - {\ frac {(\ alpha +2) (\ alpha +3) x} {2}} + {\ frac {(\ alpha +1) (\ alpha +2) (\ alpha +3) } {6}}}
Derivater av generaliserte Laguerre-polynomer
Beregningen av derivatet av orden k av serierepresentasjonen av en generalisert Laguerre-polynomtid fører til
dkdxkLikke(α)(x)=(-1)kLikke-k(α+k)(x).{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {k}} {\ mathrm {d} x ^ {k}}} L_ {n} ^ {(\ alpha)} (x) = (- 1) ^ {k} L_ {nk} ^ {(\ alpha + k)} (x).}
Forhold til Eremit-polynomer
Generaliserte Laguerre-polynomer vises i behandlingen av den kvanteharmoniske oscillatoren på grunn av deres forhold til Hermite-polynomer , som kan uttrykkes ved
H2ikke(x)=(-1)ikke22ikkeikke!Likke(-1/2)(x2){\ displaystyle H_ {2n} (x) = (- 1) ^ {n} \, 2 ^ {2n} n! \, L_ {n} ^ {(- 1/2)} (x ^ {2}) }og
H2ikke+1(x)=(-1)ikke22ikke+1ikke!xLikke(1/2)(x2){\ displaystyle H_ {2n + 1} (x) = (- 1) ^ {n} \, 2 ^ {2n + 1} n! \, xL_ {n} ^ {(1/2)} (x ^ { 2})}hvor er eremittpolynomene .
Hikke(x){\ displaystyle H_ {n} (x)}
Forhold til hypergeometriske funksjoner
Laguerre-polynomer kan relateres til hypergeometriske funksjoner , nærmere bestemt til den sammenflytende hypergeometriske funksjonen , ved
Likke(α)(x)=(ikke+αikke)M(-ikke,α+1,x)=(α+1)ikkeikke!1F1(-ikke,α+1,x){\ displaystyle L_ {n} ^ {(\ alpha)} (x) = {n + \ alpha \ velg n} M (-n, \ alpha + 1, x) = {\ frac {(\ alpha +1) _ {n}} {n!}} \, _ {1} F_ {1} (- n, \ alpha + 1, x)}hvor er Pochhammer-symbolet (som, i dette spesielle tilfellet, brukes til å representere den økende faktoren ).
(på)ikke{\ displaystyle (a) _ {n}} på(på+1)(på+2)...(på+ikke-1){\ displaystyle a (a + 1) (a + 2) ... (a + n-1)}
Merknader og referanser
-
(in) The Legendre and Laguerre Polynomials & the Elementary Quantum Mechanical Model of the Hydrogen Atom , Timothy Jones
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">