M-matrise

I matematikk , en M-matrise er en ekte kvadratisk matrise som både er en P- matrise og en Z- matriks, hvilket betyr at alle sine store mindreårige er strengt positiv og dens ekstra diagonale elementer er negative. Andre karakteriseringer kan brukes, hvorav noen er gitt nedenfor.

Disse matrisene griper inn i studiet av problemene med lineær komplementaritet og i visse diskretiseringer av differensialoperatører, særlig de som adlyder et maksimalt prinsipp, som laplacian.

Denne klassen av matriser ser ut til å ha blitt introdusert av Alexander Ostrowski med henvisning til Hermann Minkowski .

Definisjoner

Begrepet M- matrise kan defineres på forskjellige måter, selvfølgelig ekvivalent. Begrepene Z- matrise , P- matrise og S- matrise brukes nedenfor .

M- matrise - Vi sier at en ekte firkantmatrise er en M- matrise hvis den er en Z- matrise, og hvis en av følgende ekvivalente egenskaper holder, tilsvarende under antagelsen at : $M \ in \ mathbb {R} ^ {{n \ times n}}$ $M \ in \ mathbf {Z}$

${\ displaystyle M \ in \ mathbf {P}}$ ,
${\ displaystyle M \ in \ mathbf {S}}$ ,
$M$ er inverterbar og (alle elementene i dens inverse er positive), ${\ displaystyle M ^ {- 1} \ geqslant 0}$
alle egenverdiene til har en strengt positiv reell del. $M$

Vi betegner M settet M- matriser av hvilken som helst rekkefølge. Kalt M -matricité tilhører en matrise for å tilhøre M .

Eiendommer

Lineær algebra

De LU faktorene av en M -matrix eksistere og kan beregnes på en stabil måte, uten dreiing. Denne eiendommen gjelder også for ufullstendig LU-faktorisering.

Lineær komplementaritet

Et lineært komplementaritetsproblem består i å finne en vektor slik at og I denne definisjonen er det å transponere og ulikhetene må forstås komponent for komponent. Dette problemet er noen ganger bemerket kompakt som følger ${\ displaystyle x \ geqslant 0,}$ $Mx + q \ geqslant 0$ ${\ displaystyle x ^ {\! \ top \!} (Mx + q) = 0.}$ ${\ displaystyle M \ in \ mathbb {R} ^ {n \ times n},}$ ${\ displaystyle q \ in \ mathbb {R} ^ {n},}$ ${\ displaystyle x ^ {\! \ top \!}}$ $x$

${\ displaystyle {\ mbox {CL}} (M, q) \ qquad 0 \ leqslant x \ perp (Mx + q) \ geqslant 0.}$

Det tillatte settet med dette problemet er notert

$\ mbox {Adm} (M, q): = \ {x \ in \ R ^ n: x \ geqslant 0, ~ Mx + q \ geqslant 0 \}.$

Betydningen av M- matriser i lineære komplementaritetsproblemer kommer av følgende resultat.

M- matrise og lineær komplementaritetsproblem - For en matriseer følgende egenskaper ekvivalente: $M \ in \ mathbb {R} ^ {{n \ times n}}$

${\ displaystyle M \ in \ mathbf {M}}$ ,
for alle , inneholder et minimum (for rekkefølgen av ) som gir en enestående løsning av , $q$ $\ operatorname {Adm} (M, q)$ $\ leqslant$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ $\ operatorname {CL} (M, q)$
for alle vektorer , løsningene for å verifisere . ${\ displaystyle q ^ {1} \ leqslant q ^ {2}}$ ${\ displaystyle {\ bar {x}} ^ {i}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {CL} (M, q ^ {i})}$ ${\ displaystyle {\ bar {x}} ^ {1} \ geqslant {\ bar {x}} ^ {2}}$

Vedlegg

Merknader

(in) Sider 134, 161 (2.3 og 6.1 vurderingsteorem i kapittel 6) i Bermon and Plemmons (1994).

Relaterte artikler

Bibliografi

(en) A. Bermon, RJ Plemmons (1994). Nonnegative matriser i matematisk vitenskap . Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia, USA. ( ISBN 0898713218 ) .
(no) RW Cottle, J.-S. Pang, RE Stone (2009). Det lineære komplementaritetsproblemet . Klassikere i anvendt matematikk 60. SIAM, Philadelphia, PA, USA.
(en) RA Horn, Ch. R. Jonhson (1991). Temaer i matriseanalyse . Cambridge University Press, New York, NY, USA.