Z-matrise

I matematikk , en -matrix er en ekte kvadratisk matrise hvis ekstra diagonale elementer er negative. Disse matrisene gir spesielle egenskaper til problemene med lineær komplementaritet . ${\ mathbf {Z}}$

Det motsatte av en -matrise er en Metzler-matrise (og omvendt). ${\ mathbf {Z}}$

Definisjoner

En ekte firkantmatrise er en -matrise hvis alle ekstra diagonale elementer er negative: $M \ in \ mathbb {R} ^ {{n \ times n}}$ ${\ mathbf {Z}}$

$\ forall \, (i, j) \ i \ {1, \ ldots, n \} ^ 2 ~ \ mbox {med} ~ i \ ne j ~ \ mbox {vi har} ~ M_ {ij} \ leqslant 0.$

Elementene i diagonalen kan ha et vilkårlig tegn. $M$

Vi betegner settet med -matriser av enhver ordre. Vi kaller -matricity egenskapen til en matrise å tilhøre ${\ mathbf {Z}}$ ${\ mathbf {Z}}$ ${\ mathbf {Z}}$ $\ mathbf {Z}.$

Eiendom

Lineær komplementaritet

De -matrices bringe særlige egenskaper til problemene med lineær komplementaritet . La oss huske definisjonen av disse problemene. ${\ mathbf {Z}}$

For en vektor betyr notasjonen at alle komponentene i vektoren er positive. Gitt en virkelig kvadratisk matrise og en vektor , et lineært komplementaritet problem består i å finne en vektor slik at , og som er skrevet i en forkortet måte som følger: $v \ in \ mathbb {R} ^ {n}$ $v \ geqslant 0$ $v_ {i}$ $M \ in \ mathbb {R} ^ {{n \ times n}}$ $q \ in \ mathbb {R} ^ {n}$ $x \ in \ mathbb {R} ^ {n}$ $x \ geqslant 0$ $Mx + q \ geqslant 0$ $x ^ {\! \ top} (Mx + q) = 0$

$\ mbox {CL} (M, q): \ qquad 0 \ leqslant x \ perp (Mx + q) \ geqslant 0.$

Det tillatte settet med dette problemet er notert

$\ mbox {Adm} (M, q): = \ {x \ in \ R ^ n: x \ geqslant 0, ~ Mx + q \ geqslant 0 \}.$

${\ mathbf {Z}}$ -matrise og lineær komplementaritetsproblem - For en matrise er følgende egenskaper ekvivalente: $M \ in \ mathbb {R} ^ {{n \ times n}}$

$M \ in \ mathbf {Z}$ ,
for alt gjør det mulig, inneholder et minimum (for rekkefølgen av ) som er løsning av . $q$ $\ operatorname {CL} (M, q)$ $\ operatorname {Adm} (M, q)$ $\ leqslant$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ $\ operatorname {CL} (M, q)$

Vi trekker ut av dette resultatet at

\ mathbf {Z} \ subset \ mathbf {Q} _0.

hvor er settet med matriser slik at a har en løsning på alt som gjør komplementaritetsproblemet tillatt. $\ mathbf {Q} _0$ $M$ $\ operatorname {CL} (M, q)$ $q \ in \ mathbb {R} ^ {n}$

applikasjoner

Kjemi

I kjemi er en Z-matrise en representasjon av atomer i et molekyl (eller et hvilket som helst system av atomer). I stedet for å representere atomet kartesiske koordinater , er Z-matrisen i de interne koordinatene , som spesifiserer atomenes posisjoner i form av lengder på kobling , bindingsvinkler og tosvinkler . Etter konvensjon, når vi konverterer til kartesiske koordinater, er det første atomet i utgangspunktet og det andre er på z-aksen (derav navnet "Z-matrise"). Anvendelsen av Z-matriser er svært vanlig i beregnings kjemi og molekylær modellering , fordi en gjengivelse i indre koordinater reduserer beregningstiden.

For eksempel ville metan i kartesiske koordinater og ångströms- enheter blitt representert som:

C 0.000000 0.000000 0.000000 H 0.628736 0.628736 0.628736 H -0.628736 -0.628736 0.628736 H -0.628736 0.628736 -0.628736 H 0.628736 -0.628736 -0.628736

Z-matrisen ville være det

C H 1 1.089000 H 1 1.089000 2 109.4710 H 1 1.089000 2 109.4710 3 120.0000 H 1 1.089000 2 109.4710 3 -120.0000

Mye mindre verdier bør brukes; faktisk er bare lengden på koblingen mellom karbon og hydrogener ikke spesifisert av symmetrien til molekylet.

Vedlegg

Relaterte artikler

Bibliografi

(no) RW Cottle, J.-S. Pang, RE Stone (2009). Det lineære komplementaritetsproblemet . Klassikere i anvendt matematikk 60. SIAM, Philadelphia, PA, USA.