Ortogonal matrise

En kvadratmatrise A ( n rader, n kolonner) med reelle koeffisienter sies å være ortogonal hvis t A A = I n , der t A er den transponerte matrisen til A og I n er identitetsmatrisen .

Eksempler

Eksempler på ortogonale matriser er rotasjonsmatriser , slik som matrisens rotasjonsplan for vinkelen θ

{\ begin {pmatrix} \ cos \ theta & - \ sin \ theta \\\ sin \ theta & \ cos \ theta \ end {pmatrix}}

eller permutasjonsmatriser , slik som

{\ begin {pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \ end {pmatrix}}.

Eiendommer

En ekte matrise A er ortogonale hvis og bare hvis det er inverterbar, og dens inverse er lik dens transponerte: A -1 = t A .
En kvadratisk matrise er ortogonale hvis og bare hvis dens kolonne vektorer er to og to ortogonale og av norm 1. Således en ortogonal matrise representerer en ortonormal basis .
Også en firkantet matrise er ortogonal hvis og bare hvis dens transponering er ( dvs. A t A = I n ), så hvis og bare hvis radvektorene er to til to ortogonale og av norm 1.
Den determinant av en ortogonal matrise er firkantet 1, det er, er det lik 1 eller -1 (det omvendte er trivielt false). En ortogonal matrise sies å være direkte hvis dens determinant er lik +1 og indirekte hvis den er lik –1.
Den kondisjonering av en ortogonal matrise er lik 1.
Multiplikasjon av en vektor med en ortogonal matrise bevarer den euklidske norm (forbundet med den kanoniske skalarproduktet av R n ) av denne vektoren.
Settet til disse matrisene er en gruppe kalt en ortogonal gruppe og bemerket O ( n , R ). Det tolkes geometrisk som settet vektor isometries, også kalt ortogonale automorphisms , av den euklidske plass R n . Mer presist, en endomorfisme i et euklidisk rom er ortogonal hvis, og bare hvis det er et ortonormalt grunnlag der matrisen er ortogonal (og i så fall vil matrisen på en hvilken som helst ortonormal basis fremdeles være ortogonal).
Settet med direkte ortogonale matriser (med determinant lik 1) danner en undergruppe av den ortogonale gruppen, kalt spesiell ortogonal gruppe og betegnet SO ( n , R ). I dimensjon 3 tolkes den på en geometrisk måte som det dreiesett av det euklidiske rommet R 3 (rotasjonsaksen er gitt av eget underområde assosiert med egenverdien +1).
Dette resultatet blir altså generalisert i en hvilken som helst dimensjon: hvilken som helst ortogonal matrise ligner , via en passasjematrise selv ortogonal, til en matrise av formen ${\ begin {pmatrix} {\ begin {matrix} R_ {1} && \\ & \ ddots & \\ && R_ {p} \ end {matrix}} og 0 \\ 0 & {\ begin {matrix} \ varepsilon _ {1} && \\ & \ ddots & \\ && \ varepsilon _ {q} \ end {matrix}} \\\ end {pmatrix}},$ der R i er matriser med plane rotasjoner og hver ε j er enten 1 eller –1.
Ortogonale matriser er enhetsmatriser med reelle koeffisienter.