Transponert matrise

I matematikk er den transponerte matrisen (eller transponerer ) av en matrise matrisen , også bemerket , eller , oppnådd ved å bytte radene og kolonnene til . $A \ in M _ {{m, n}} (K)$ ${\ displaystyle A ^ {\ mathsf {T}} \ i M_ {n, m} (K)}$ ${\ displaystyle A ^ {\ operatorname {t}}}$ ${\ displaystyle ^ {\ operatorname {t}} \! A}$ $PÅ'$ $PÅ$

Mer presist, hvis vi betegner for og for koeffisientene henholdsvis for og av for alt vi har . $a_ {i, j}$ ${\ displaystyle (i, j) \ in \ {1, \ ldots, m \} \ times \ {1, \ ldots, n \}}$ $b_ {i, j}$ ${\ displaystyle (i, j) \ in \ {1, \ ldots, n \} \ times \ {1, \ ldots, m \}}$ $PÅ$ $A ^ {{\ mathsf {T}}}$ ${\ displaystyle (i, j) \ in \ {1, \ ldots, n \} \ times \ {1, \ ldots, m \}}$ ${\ displaystyle b_ {i, j} = a_ {j, i}}$

For eksempel hvis

A = {\ begin {pmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 2 & 4 & 6 \ end {pmatrix}}

så

A ^ {{\ mathsf {T}}} = {\ begynn {pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \ end {pmatrix}}

Eiendommer

Vi antar her at K er en kommutativ ring . Vi betegner med og to matriser av og en skalar. $PÅ$ $B$ $M_ {m, n} (K)$ ${\ displaystyle \ alpha \ in K}$

"Transposisjon" -applikasjonen er lineær: ${\ displaystyle (A + B) ^ {\ mathsf {T}} = A ^ {\ mathsf {T}} + B ^ {\ mathsf {T}}, \ qquad (\ alpha A) ^ {\ mathsf {T }} = \ alpha A ^ {\ mathsf {T}}}$ .
Transponere av er . Derfor er "innarbeiding" program er bijective . Det er derfor en isomorfisme av vektorrom . Spesielt - for firkantede matriser - er det en involusjon av ; det er altså symmetrien sammenlignet med underrommet til de symmetriske matrisene , parallelt med de antisymmetriske matrisene . $A ^ {{\ mathsf {T}}}$ $PÅ$ ${\ displaystyle ^ {\ mathsf {T}}: \ mathrm {M} _ {m, n} (K) \ to \ mathrm {M} _ {n, m} (K)}$ ${\ displaystyle \ mathrm {M} _ {n} (K)}$
Transponeringen av produktet av to matriser er lik produktet av transponeringen av disse to matrisene, men i motsatt rekkefølge : ${\ displaystyle (AB) ^ {\ mathsf {T}} = B ^ {\ mathsf {T}} \, A ^ {\ mathsf {T}}}$ .
Hvis en kvadratmatrise er inverterbar , så er dens transponering også, og transponeringen av den inverse av er lik den inverse av dens transponering: $PÅ$ $PÅ$ ${\ displaystyle \ left (A ^ {- 1} \ right) ^ {\ mathsf {T}} = \ left (A ^ {\ mathsf {T}} \ right) ^ {- 1}}$ .
En firkantet matrise og dens transponering har samme hoveddiagonal (og derfor samme spor ). Spesielt enhver diagonal matrise er symmetrisk , det vil si lik dens transponerte.
Mer generelt har to kvadratiske matriser transponert fra hverandre de samme karakteristiske polynomene og derfor samme egenverdier , tellet med deres mangfoldigheter (spesielt ikke bare det samme sporet, men også den samme determinanten ), og det samme minimale polynomet . Bedre: på en kropp er de like . Dette kan vises ved å merke seg at de har samme likhetsinvariere , eller ved å bruke Jordans reduksjon , og ved å merke seg at der J er en Jordan-blokk og S en antidiagonal permutasjonsmatrise (en) . ${\ displaystyle SJS ^ {- 1} = J ^ {\ mathsf {T}}}$

Tolkning: dualitet

Euklidiske rom

I rammen av euklidiske mellomrom , hvis A representerer et lineært kart $f : E \to E '$ med hensyn til to ortonormale baser B og B' , så er dens transponere A T matrisen, i basene B ' og B , til operatøren Assistent $f *: E ' \to E$ , preget av

{\ displaystyle \ forall x \ i E, \ \ forall y \ i E ', \ quad \ langle x, f ^ {*} (y) \ rangle _ {E} = \ langle f (x), y \ rangle _ {E \, '}.}

Mer generelt, hvis A representerer et lineært kart med hensyn til to baser , så er dens transponere A T matrisen til transponeringen av kartet i forhold til de to basene (se " Dobbeltrom ").

Hypergrafier

I hypergraph- teorien , hvis vi representerer et hypergraph av matrisen med koeffisienter i {0,1} som er assosiert med den, blir dual hypergraph definert av transponeringen av denne matrisen.

Tilfelle av en ikke-kommutativ skalarring

Hvis er en ring som ikke er kommutativ , blir transponeringen betraktet som en matrise av som et element , som er den motsatte ringen av , for å opprettholde kompatibilitet med multiplikasjon $K$ $A ^ {{\ mathsf {T}}}$ $PÅ$ $M_ {m, n} (K)$ $M _ {{n, m}} (K ^ {{op}})$ $K ^ {op}$ $K$

{\ displaystyle (AB) ^ {\ mathsf {T}} = B ^ {\ mathsf {T}} \ cdot A ^ {\ mathsf {T}}}

Transposisjonen er med andre ord en antimorfisme .

Komplement La oss verifisere at ringen kan identifiseres med ringen , idet transponeringen er kompatibel med denne identifikasjonen: ved å identifisere settet med settet blir matrisene identifisert med deres respektive elementer . Anvendelsen av in er tydeligvis en isomorfisme av ringer, derav identifikasjon av ringen med ringen ; identifiserer seg spesielt med . Det gjenstår å vise at transponeringen er kompatibel med denne identifikasjonen. Ved å identifisere matrisene som er transponert til henholdsvis, har vi i henhold til ovenstående hvor er produktet av og i , nemlig . Følgelig ,, identifiserer derfor med , som uttrykker forventet kompatibilitet.